Страница 44, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

198 В таблице приведены данные об изменении роста сосны в зависимости от её возраста.

Возраст сосны $t$ (в годах): 0, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100

Высота сосны $h$ (в метрах): 0, 2,8, 5,6, 8,2, 10,6, 13, 14,8, 16, 16,4, 17,2, 17,6

Построй на миллиметровой бумаге график этой зависимости и определи по графику:

a) высоту сосны в 25 лет, 42 года, 76 лет, 84 года;

б) возраст сосны, когда её высота была 5 м, 10 м, 15 м, 17 м;

в) на сколько метров выросла сосна за первые 15 лет, с 55 до 70 лет.

Для решения задачи сначала построим график зависимости высоты сосны $h$ (в метрах) от её возраста $t$ (в годах). Для этого на миллиметровой бумаге начертим систему координат. На горизонтальной оси (оси абсцисс) будем откладывать возраст $t$, а на вертикальной (оси ординат) — высоту $h$. Выберем удобный масштаб, например: по оси $t$ — 1 см соответствует 10 годам, а по оси $h$ — 1 см соответствует 2 метрам. Отметим на координатной плоскости точки с координатами из таблицы: (0; 0), (10; 2,8), (20; 5,6), (30; 8,2), (40; 10,6), (50; 13), (60; 14,8), (70; 16), (80; 16,4), (90; 17,2) и (100; 17,6). Соединим эти точки плавной линией. Полученный график будем использовать для нахождения ответов.

а) высоту сосны в 25 лет, 42 года, 76 лет, 84 года;

Чтобы найти высоту сосны в определенном возрасте, находим это значение возраста на горизонтальной оси $t$, восстанавливаем перпендикуляр до пересечения с графиком, а от точки пересечения проводим перпендикуляр к вертикальной оси $h$. Значение на оси $h$ будет искомой высотой.

• При $t = 25$ лет, находим на оси $t$ точку 25. По графику ей соответствует высота $h \approx 6,9$ м.
• При $t = 42$ года, находим на оси $t$ точку 42. По графику ей соответствует высота $h \approx 11,1$ м.
• При $t = 76$ лет, находим на оси $t$ точку 76. По графику ей соответствует высота $h \approx 16,2$ м.
• При $t = 84$ года, находим на оси $t$ точку 84. По графику ей соответствует высота $h \approx 16,7$ м.

Ответ: Высота сосны в 25 лет приблизительно равна 6,9 м; в 42 года — 11,1 м; в 76 лет — 16,2 м; в 84 года — 16,7 м.

б) возраст сосны, когда её высота была 5 м, 10 м, 15 м, 17 м;

Чтобы найти возраст сосны по её высоте, находим значение высоты на вертикальной оси $h$, проводим перпендикуляр до пересечения с графиком, а от точки пересечения опускаем перпендикуляр на горизонтальную ось $t$. Значение на оси $t$ будет искомым возрастом.

• При высоте $h = 5$ м, находим на графике соответствующий возраст $t \approx 18$ лет.
• При высоте $h = 10$ м, находим на графике соответствующий возраст $t \approx 38$ лет.
• При высоте $h = 15$ м, находим на графике соответствующий возраст $t \approx 62$ года.
• При высоте $h = 17$ м, находим на графике соответствующий возраст $t \approx 88$ лет.

Ответ: Высота сосны была 5 м в возрасте примерно 18 лет; 10 м — в 38 лет; 15 м — в 62 года; 17 м — в 88 лет.

в) на сколько метров выросла сосна за первые 15 лет, с 55 до 70 лет.

Чтобы найти, на сколько выросла сосна за определенный период, нужно найти её высоту в начале и в конце этого периода по графику, а затем вычислить разность этих значений.

1. Рост за первые 15 лет.

   Высота в 0 лет: $h(0) = 0$ м.

   По графику находим высоту в 15 лет: $h(15) \approx 4,2$ м.

   Прирост высоты: $\Delta h = h(15) - h(0) = 4,2 - 0 = 4,2$ м.

2. Рост с 55 до 70 лет.

   По графику находим высоту в 55 лет: $h(55) \approx 13,9$ м.

   Из таблицы высота в 70 лет: $h(70) = 16$ м.

   Прирост высоты: $\Delta h = h(70) - h(55) = 16 - 13,9 = 2,1$ м.

Ответ: За первые 15 лет сосна выросла примерно на 4,2 м; с 55 до 70 лет сосна выросла примерно на 2,1 м.

198 В таблице приведены данные об изменении роста сосны в зависимости от ее возраста.

Построй на миллиметровой бумаге график этой зависимости и определи по графику:

а) высоту сосны в 25 лет, 42 года, 76 лет, 84 года;

б) возраст сосны, когда ее высота была 5 м, 10 м, 15 м, 17 м;

в) на сколько метров выросла сосна за первые 15 лет, с 55 до 70 лет?

199 Сумма трёх последовательных целых чисел равна (-6). Чему равно их произведение?

Для решения задачи обозначим три последовательных целых числа через переменную. Удобнее всего обозначить среднее число как $n$. Тогда предыдущее число будет $n-1$, а следующее за ним — $n+1$.

Таким образом, мы имеем три последовательных целых числа: $n-1$, $n$ и $n+1$.

По условию, сумма этих чисел равна -6. Составим уравнение:

$(n-1) + n + (n+1) = -6$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$n - 1 + n + n + 1 = -6$

$3n = -6$

Теперь решим уравнение, чтобы найти значение $n$:

$n = \frac{-6}{3}$

$n = -2$

Мы нашли среднее число, оно равно -2. Теперь найдем два других числа:

Первое число: $n-1 = -2 - 1 = -3$

Третье число: $n+1 = -2 + 1 = -1$

Следовательно, искомые три последовательных целых числа — это -3, -2 и -1.

Проверим их сумму: $(-3) + (-2) + (-1) = -6$. Условие выполняется.

Теперь найдем произведение этих чисел, как того требует вопрос:

$(-3) \times (-2) \times (-1) = 6 \times (-1) = -6$

Ответ: -6

199 Сумма трех последовательных целых чисел равна $(-6)$. Чему равно их произведение?

200 Сумма двух чисел равна 100. При делении большего из них на меньшее в частном получается 5 и в остатке 10. Меньшее число увеличили на треть, а большее – уменьшили на 20 %. Чему теперь равны частное и остаток от деления большего числа на меньшее?

Решение задачи можно разделить на три основных шага: нахождение исходных чисел, вычисление измененных чисел и определение нового частного и остатка.

Нахождение исходных чисел

Обозначим большее число как $a$, а меньшее как $b$.

Из условий задачи составим систему уравнений:

1. Сумма чисел равна 100: $a + b = 100$.

2. При делении $a$ на $b$ в частном получается 5 и в остатке 10. Это можно записать как: $a = 5b + 10$.

Получаем систему:

$ \begin{cases} a + b = 100 \\ a = 5b + 10 \end{cases} $

Для решения подставим второе уравнение в первое:

$(5b + 10) + b = 100$

$6b + 10 = 100$

$6b = 90$

$b = \frac{90}{6} = 15$

Мы нашли меньшее число. Теперь найдем большее число, используя первое уравнение:

$a = 100 - b = 100 - 15 = 85$

Таким образом, исходные числа — это 85 и 15.

Вычисление новых чисел

Теперь вычислим новые значения чисел согласно условию.

Меньшее число (15) увеличили на треть:

Новое меньшее число: $15 + \frac{1}{3} \cdot 15 = 15 + 5 = 20$.

Большее число (85) уменьшили на 20%:

Новое большее число: $85 - 85 \cdot \frac{20}{100} = 85 - 17 = 68$.

Новые числа — это 68 и 20.

Нахождение нового частного и остатка

Осталось найти частное и остаток от деления нового большего числа (68) на новое меньшее (20).

Выполним деление с остатком: $68 \div 20$.

Частное — это наибольшее целое число, при умножении которого на делитель (20) результат не превышает делимое (68). В данном случае это 3, так как $3 \cdot 20 = 60$, а $4 \cdot 20 = 80 > 68$.

Остаток вычисляется как разность между делимым и произведением частного на делитель:

Остаток: $68 - (3 \cdot 20) = 68 - 60 = 8$.

Таким образом, при делении 68 на 20 получается частное 3 и остаток 8.

Ответ: частное равно 3, остаток равен 8.

200 Сумма двух чисел равна 100. При делении большего из них на меньшее в частном получается 5 и в остатке 10. Меньшее число увеличили на треть, а большее – уменьшили на 20%. Чему теперь равны частное и остаток от деления большего числа на меньшее?

201 Составь выражение и найди его значение, если $a = -\frac{1}{2}$; $b = 0,5$; $c = -1$:

а) произведение квадрата суммы чисел $a$ и $b$ и куба разности чисел $a$ и $c$;

б) частное удвоенного куба числа $a$ и разности квадратов чисел $b$ и $c$.

а) произведение квадрата суммы чисел a и b и куба разности чисел a и c;

Сначала составим математическое выражение на основе словесного описания.

Квадрат суммы чисел $a$ и $b$ записывается как $(a + b)^2$.

Куб разности чисел $a$ и $c$ записывается как $(a - c)^3$.

"Произведение" означает, что мы должны перемножить эти два результата. Таким образом, искомое выражение: $(a + b)^2 \cdot (a - c)^3$.

Теперь найдем значение этого выражения, подставив заданные значения: $a = -\frac{1}{2}$, $b = 0,5$ и $c = -1$. Для удобства вычислений представим $a$ в виде десятичной дроби: $a = -0,5$.

Подставляем значения в выражение:

$(a + b)^2 \cdot (a - c)^3 = (-0,5 + 0,5)^2 \cdot (-0,5 - (-1))^3$

Выполним вычисления по шагам:

1. Вычисляем первую скобку: $-0,5 + 0,5 = 0$.

2. Вычисляем вторую скобку: $-0,5 - (-1) = -0,5 + 1 = 0,5$.

3. Подставляем результаты обратно в выражение: $0^2 \cdot (0,5)^3$.

4. Возводим в степень: $0 \cdot 0,125$.

5. Находим произведение: $0 \cdot 0,125 = 0$.

Ответ: 0.

б) частное удвоенного куба числа a и разности квадратов чисел b и c.

Сначала составим математическое выражение.

Удвоенный куб числа $a$ записывается как $2a^3$.

Разность квадратов чисел $b$ и $c$ записывается как $b^2 - c^2$.

"Частное" означает, что мы должны разделить первое выражение на второе. Таким образом, искомое выражение: $\frac{2a^3}{b^2 - c^2}$.

Теперь найдем значение этого выражения при $a = -0,5$, $b = 0,5$ и $c = -1$.

Подставляем значения в выражение:

$\frac{2 \cdot (-0,5)^3}{(0,5)^2 - (-1)^2}$

Вычислим отдельно числитель и знаменатель:

1. Числитель: $2 \cdot (-0,5)^3 = 2 \cdot (-0,125) = -0,25$.

2. Знаменатель: $(0,5)^2 - (-1)^2 = 0,25 - 1 = -0,75$.

Теперь найдем частное (результат деления):

$\frac{-0,25}{-0,75}$

При делении отрицательного числа на отрицательное результат будет положительным. Дробь можно упростить, умножив числитель и знаменатель на 100:

$\frac{25}{75} = \frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}$.

201 Составь выражение и найди его значение, если $a = -\frac{1}{2}$; $b = 0,5$; $c = -1$:

a) произведение квадрата суммы чисел $a$ и $b$ и куба разности чисел $a$ и $c$;

б) частное удвоенного куба числа $a$ и разности квадратов чисел $b$ и $c$.

202. Реши задачи способом пропорций.

а) Мотоциклист проехал за некоторое время расстояние 43,2 км. Если он увеличит скорость на 2 км/ч, то за это же время проедет на 4,8 км больше. С какой скоростью ехал мотоциклист?

б) Цена тетради снизилась на 2 р. Теперь за 80 тетрадей надо заплатить столько же, сколько раньше за 70 тетрадей. Чему равна новая цена тетради?

а)

Пусть $v$ км/ч — первоначальная скорость мотоциклиста. Тогда его новая скорость равна $(v + 2)$ км/ч. Первоначальное расстояние составляет 43,2 км. Если мотоциклист увеличит скорость, то за то же время он проедет на 4,8 км больше, то есть новое расстояние составит $43,2 + 4,8 = 48$ км.

Поскольку время движения постоянно, расстояние прямо пропорционально скорости. Это означает, что отношение расстояний равно отношению скоростей. Составим пропорцию:

$\frac{43,2}{48} = \frac{v}{v+2}$

Используем основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних) для решения уравнения:

$43,2 \cdot (v + 2) = 48 \cdot v$
$43,2v + 86,4 = 48v$
$48v - 43,2v = 86,4$
$4,8v = 86,4$
$v = \frac{86,4}{4,8}$
$v = 18$

Таким образом, первоначальная скорость мотоциклиста была 18 км/ч.

Ответ: 18 км/ч.

б)

Пусть $p$ р. — первоначальная цена тетради. После снижения цены на 2 р., новая цена стала $(p - 2)$ р. За одну и ту же сумму денег раньше можно было купить 70 тетрадей, а по новой цене — 80 тетрадей.

При постоянной общей стоимости количество товара обратно пропорционально его цене. Это означает, что отношение старой цены к новой равно обратному отношению количеств (нового к старому). Составим пропорцию:

$\frac{p}{p-2} = \frac{80}{70}$

Сократим дробь в правой части и решим уравнение, используя основное свойство пропорции:

$\frac{p}{p-2} = \frac{8}{7}$
$7 \cdot p = 8 \cdot (p - 2)$
$7p = 8p - 16$
$8p - 7p = 16$
$p = 16$

Первоначальная цена тетради составляла 16 рублей. Теперь найдем новую цену:

$16 - 2 = 14$ (р.)

Ответ: 14 р.

202 Реши задачи способом пропорций:

а) Мотоциклист проехал за некоторое время расстояние 43,2 км. Если он увеличит скорость на 2 км/ч, то за это же время проедет на 4,8 км больше. С какой скоростью ехал мотоциклист?

б) Цена тетради снизилась на 2 рубля. Теперь за 80 тетрадей надо заплатить столько же, сколько раньше за 70 тетрадей. Чему равна новая цена тетради?

203 На сколько процентов число A больше числа B.

$A = (20.6 \cdot 4.5 + 7.35) \cdot (166.116 : 32.7) - 498.264$;

$B = (-1.632 : (-0.8) + 15.5 \cdot (-0.4) - 3.573) : 3.7 + 11.09$.

Для ответа на вопрос необходимо последовательно вычислить значения A и B, а затем найти процентную разницу.

A

Найдем значение выражения A:

$A = (20,6 \cdot 4,5 + 7,35) \cdot (166,116 : 32,7) - 498,264$

Выполним вычисления по действиям:

1. $20,6 \cdot 4,5 = 92,7$
2. $92,7 + 7,35 = 100,05$
3. $166,116 : 32,7 = 5,08$
4. $100,05 \cdot 5,08 = 508,254$
5. $508,254 - 498,264 = 9,99$

Ответ: $A = 9,99$.

B

Найдем значение выражения B:

$B = (-1,632 : (-0,8) + 15,5 \cdot (-0,4) - 3,573) : 3,7 + 11,09$

Выполним вычисления по действиям:

1. $-1,632 : (-0,8) = 2,04$
2. $15,5 \cdot (-0,4) = -6,2$
3. $2,04 + (-6,2) - 3,573 = -4,16 - 3,573 = -7,733$
4. $-7,733 : 3,7 = -2,09$
5. $-2,09 + 11,09 = 9$

Ответ: $B = 9$.

На сколько процентов число A больше числа B

Чтобы найти, на сколько процентов число A больше числа B, воспользуемся формулой процентной разницы, где B является базовым значением для сравнения:

$\frac{A - B}{B} \cdot 100\%$

Подставляем найденные значения $A = 9,99$ и $B = 9$:

$\frac{9,99 - 9}{9} \cdot 100\% = \frac{0,99}{9} \cdot 100\% = 0,11 \cdot 100\% = 11\%$

Ответ: число A больше числа B на 11%.

203 На сколько процентов число A больше числа B:

$A = (20.6 \cdot 4.5 + 7.35) \cdot (166.116 / 32.7) - 498.264;$

$B = (-1.632 / (-0.8) + 15.5 \cdot (-0.4) - 3.573) / 3.7 + 11.09.$

204. Найди значение выражения

$-\frac{\displaystyle -3\frac{1}{3} \cdot \left(-2\frac{4}{15}\right) : \frac{-6,8}{0,9} - 1\frac{7}{9} \cdot (-0,75) : \left(-\frac{1}{6}\right)}{\displaystyle -8\frac{1}{3} \cdot 16,2 : (-22,5)}$

Для того чтобы найти значение выражения, выполним вычисления по действиям. Для удобства расчетов предварительно преобразуем все смешанные числа и десятичные дроби в неправильные обыкновенные дроби.

$ -3\frac{1}{3} = -\frac{10}{3} $
$ -2\frac{4}{15} = -\frac{34}{15} $
$ \frac{-6,8}{0,9} = \frac{-68}{9} $
$ 1\frac{7}{9} = \frac{16}{9} $
$ -0,75 = -\frac{75}{100} = -\frac{3}{4} $
$ -8\frac{1}{3} = -\frac{25}{3} $
$ 16,2 = \frac{162}{10} = \frac{81}{5} $
$ -22,5 = -\frac{225}{10} = -\frac{45}{2} $

Теперь выполним действия в числителе и знаменателе по порядку.

1) Вычислим первое произведение в числителе:

$ -3\frac{1}{3} \cdot (-2\frac{4}{15}) = -\frac{10}{3} \cdot (-\frac{34}{15}) = \frac{10 \cdot 34}{3 \cdot 15} = \frac{2 \cdot 34}{3 \cdot 3} = \frac{68}{9} $

2) Выполним деление в первой части числителя:

$ \frac{68}{9} : \frac{-6,8}{0,9} = \frac{68}{9} : (-\frac{68}{9}) = -1 $

3) Вычислим произведение во второй части числителя:

$ 1\frac{7}{9} \cdot (-0,75) = \frac{16}{9} \cdot (-\frac{3}{4}) = -\frac{16 \cdot 3}{9 \cdot 4} = -\frac{4 \cdot 1}{3 \cdot 1} = -\frac{4}{3} $

4) Выполним деление во второй части числителя:

$ (-\frac{4}{3}) : (-\frac{1}{6}) = \frac{4}{3} \cdot \frac{6}{1} = \frac{4 \cdot 6}{3} = 4 \cdot 2 = 8 $

5) Найдем значение всего числителя:

Для этого из результата действия (2) вычтем результат действия (4):

$ -1 - 8 = -9 $

6) Вычислим произведение в знаменателе:

$ -8\frac{1}{3} \cdot 16,2 = -\frac{25}{3} \cdot \frac{81}{5} = -\frac{25 \cdot 81}{3 \cdot 5} = -5 \cdot 27 = -135 $

7) Выполним деление в знаменателе:

$ -135 : (-22,5) = -135 : (-\frac{45}{2}) = 135 \cdot \frac{2}{45} = 3 \cdot 2 = 6 $

8) Найдем итоговое значение всего выражения:

Разделим значение числителя (результат действия 5) на значение знаменателя (результат действия 7):

$ \frac{-9}{6} = -\frac{3}{2} = -1,5 $

Ответ: $ -1,5 $

204 Найди значение выражения:

$\frac{-3\frac{1}{3} \cdot (-2\frac{4}{15}) : \frac{-6,8}{0,9} - 1\frac{7}{9} \cdot (-0,75) : (-\frac{1}{6})}{-8\frac{1}{3} \cdot 16,2 : (-22,5)}$

205 Из дома в школу Саша вышел на 3 мин позже своей сестры, но шёл в 1,5 раза быстрее неё. Через сколько минут он её догнал?

Это задача на движение вдогонку. Чтобы найти, через сколько минут Саша догонит сестру, нужно составить уравнение, приравняв расстояния, которые они пройдут от дома до точки встречи.

Пусть $v$ (м/мин) — скорость сестры. Тогда скорость Саши, который шёл в 1,5 раза быстрее, будет равна $1.5 \cdot v$.

Пусть $t$ (мин) — искомое время, то есть время, которое Саша будет находиться в пути до момента встречи с сестрой.

Поскольку Саша вышел на 3 минуты позже, его сестра к моменту встречи будет идти на 3 минуты дольше, то есть её время в пути составит $t + 3$ минут.

В момент встречи они оба пройдут одинаковое расстояние $S$ от дома. Расстояние вычисляется по формуле "скорость умножить на время" ($S = v \cdot t$).

Составим уравнение, приравняв расстояния, пройденные Сашей и сестрой:

Расстояние, которое прошла сестра: $S_{сестры} = v \cdot (t + 3)$

Расстояние, которое прошёл Саша: $S_{Саши} = 1.5v \cdot t$

Так как $S_{сестры} = S_{Саши}$, получаем:

$v \cdot (t + 3) = 1.5v \cdot t$

Поскольку скорость сестры $v$ не может быть равна нулю, разделим обе части уравнения на $v$:

$t + 3 = 1.5t$

Теперь решим полученное уравнение относительно $t$:

$3 = 1.5t - t$

$3 = 0.5t$

$t = \frac{3}{0.5}$

$t = 6$

Таким образом, Саша догнал сестру через 6 минут после своего выхода.

Ответ: 6 минут.

205 Из дома в школу Саша вышел на 3 мин позже своей сестры, но шел в 1,5 раза быстрее нее. Через сколько минут он ее догнал?

206 Докажи, что если к трёхзначному числу приписать справа (или слева) то же самое число, то полученное шестизначное число будет кратно 11.

Пусть $N$ — это произвольное трёхзначное число. Докажем утверждение для обоих случаев, описанных в задаче.

справа

Если к трёхзначному числу $N$ приписать справа такое же число, мы получим шестизначное число $M$. Например, если $N = 123$, то получится число $123123$.

Математически это новое число можно представить как $N$, умноженное на $1000$ (чтобы "сдвинуть" его на три разряда влево), плюс само число $N$:

$M = N \times 1000 + N$

Вынесем $N$ за скобки:

$M = N \times (1000 + 1) = N \times 1001$

Чтобы доказать, что $M$ кратно 11, достаточно показать, что один из его множителей делится на 11. Проверим число 1001:

$1001 \div 11 = 91$

Так как $1001 = 11 \times 91$, то наше число $M$ можно представить в виде $M = N \times 11 \times 91$. Поскольку в произведении есть множитель 11, то и всё число $M$ делится на 11 без остатка.

Ответ: Утверждение доказано.

слева

Если к трёхзначному числу $N$ приписать слева такое же число, мы получим то же самое шестизначное число $M$. Например, для $N = 123$ мы снова получим $123123$.

В этом случае приписанное слева число $N$ становится тысячными разрядами, что эквивалентно $N \times 1000$, а к нему прибавляется исходное число $N$. Полученное число будет равно:

$M = N \times 1000 + N$

Это выражение полностью идентично тому, что мы получили в первом случае. Следовательно, дальнейшие рассуждения и вывод остаются теми же: число $M$ равно $N \times 1001$ и кратно 11.

Ответ: Утверждение доказано.

206 Докажи, что если к трехзначному числу приписать справа (или слева) то же самое число, то полученное шестизначное число будет кратно 11.