Страница 40, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

147 Пусть $A(x)$ – некоторое предложение. Преобразуй его с помощью кванторов общности и существования в высказывание. Построй отрицание получившихся высказываний, используя вместо символа $\neg A(x)$ символ $\overline{A}(x)$.

Использование квантора общности
Исходное предложение (предикат): $A(x)$.
Преобразуем его в высказывание с помощью квантора общности ($\forall$ - "для любого", "для всех"). Это означает, что свойство $A(x)$ выполняется для всех возможных значений $x$ из некоторой предметной области.
Полученное высказывание: $ \forall x A(x) $.
Смысл: "Для любого $x$ верно $A(x)$".
Теперь построим отрицание этого высказывания. Отрицание высказывания "$ \forall x A(x) $" записывается как $ \neg(\forall x A(x)) $.
Согласно правилам де Моргана для кванторов, отрицание квантора общности равносильно квантору существования от отрицания предиката:
$ \neg(\forall x A(x)) \equiv \exists x (\neg A(x)) $
По условию, вместо символа $ \neg A(x) $ нужно использовать символ $ \bar{A}(x) $. Таким образом, отрицание имеет вид:
$ \exists x \bar{A}(x) $
Смысл: "Существует такой $x$, для которого неверно $A(x)$".
Ответ: высказывание $ \forall x A(x) $ и его отрицание $ \exists x \bar{A}(x) $.

Использование квантора существования
Исходное предложение (предикат): $A(x)$.
Преобразуем его в высказывание с помощью квантора существования ($\exists$ - "существует", "найдется"). Это означает, что существует хотя бы одно значение $x$, для которого свойство $A(x)$ выполняется.
Полученное высказывание: $ \exists x A(x) $.
Смысл: "Существует такой $x$, для которого верно $A(x)$".
Теперь построим отрицание этого высказывания: $ \neg(\exists x A(x)) $.
Согласно правилам де Моргана для кванторов, отрицание квантора существования равносильно квантору общности от отрицания предиката:
$ \neg(\exists x A(x)) \equiv \forall x (\neg A(x)) $
Используя заданное обозначение $ \bar{A}(x) $ вместо $ \neg A(x) $, получаем:
$ \forall x \bar{A}(x) $
Смысл: "Для любого $x$ неверно $A(x)$" (или "Не существует такого $x$, для которого $A(x)$ было бы верным").
Ответ: высказывание $ \exists x A(x) $ и его отрицание $ \forall x \bar{A}(x) $.

147 Пусть $A(x)$ – некоторое предложение. Преобразуй его с помощью кванторов общности и существования в высказывание. Построй отрицание получившихся высказываний, используя вместо символа $\neg A(x)$ символ $\overline{A}(x)$.

Л 148 Счёт-тест

Тест 1 (3 мин)

$3 \frac{5}{6} - 2 \frac{8}{15};$ $3 \frac{7}{15} + \frac{2}{3};$ $7 - 3 \frac{4}{9};$ $5 \frac{1}{8} - 4 \frac{3}{5}.

Тест 2 (4 мин)

$\frac{3}{14} \cdot 21;$ $\frac{12}{7} : 4;$ $\frac{10}{27} \cdot \frac{9}{25};$ $5 \frac{1}{4} : \frac{7}{18};$

$2 \frac{5}{6} \cdot 12;$ $6 \frac{2}{5} : 2;$ $1 \frac{7}{9} \cdot 3 \frac{3}{4};$ $\frac{3}{8} \cdot 2 \frac{2}{3} : \frac{11}{15} \cdot 2 \frac{1}{5}.$

Тест 1 (3 мин)

$3\frac{5}{6} - 2\frac{8}{15}$
Для вычитания смешанных чисел приведем их дробные части к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для чисел 6 и 15 равно 30.
$3\frac{5}{6} = 3\frac{5 \cdot 5}{6 \cdot 5} = 3\frac{25}{30}$
$2\frac{8}{15} = 2\frac{8 \cdot 2}{15 \cdot 2} = 2\frac{16}{30}$
Теперь выполним вычитание целых и дробных частей отдельно:
$3\frac{25}{30} - 2\frac{16}{30} = (3 - 2) + (\frac{25}{30} - \frac{16}{30}) = 1 + \frac{9}{30} = 1\frac{9}{30}$
Сократим дробную часть $\frac{9}{30}$ на 3:
$1\frac{9:3}{30:3} = 1\frac{3}{10}$
Ответ: $1\frac{3}{10}$

$3\frac{7}{15} + \frac{2}{3}$
Приведем дроби к общему знаменателю 15.
$\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{10}{15}$
Теперь выполним сложение:
$3\frac{7}{15} + \frac{10}{15} = 3 + (\frac{7}{15} + \frac{10}{15}) = 3 + \frac{17}{15}$
Дробь $\frac{17}{15}$ является неправильной. Выделим из нее целую часть:
$\frac{17}{15} = 1\frac{2}{15}$
Прибавим к целой части исходного числа:
$3 + 1\frac{2}{15} = 4\frac{2}{15}$
Ответ: $4\frac{2}{15}$

$7 - 3\frac{4}{9}$
Представим число 7 в виде смешанного числа со знаменателем 9:
$7 = 6 + 1 = 6 + \frac{9}{9} = 6\frac{9}{9}$
Теперь выполним вычитание:
$6\frac{9}{9} - 3\frac{4}{9} = (6 - 3) + (\frac{9}{9} - \frac{4}{9}) = 3 + \frac{5}{9} = 3\frac{5}{9}$
Ответ: $3\frac{5}{9}$

$5\frac{1}{8} - 4\frac{3}{5}$
Приведем дробные части к общему знаменателю. НОК(8, 5) = 40.
$5\frac{1}{8} = 5\frac{1 \cdot 5}{8 \cdot 5} = 5\frac{5}{40}$
$4\frac{3}{5} = 4\frac{3 \cdot 8}{5 \cdot 8} = 4\frac{24}{40}$
Поскольку дробная часть уменьшаемого ($\frac{5}{40}$) меньше дробной части вычитаемого ($\frac{24}{40}$), "займем" единицу у целой части уменьшаемого:
$5\frac{5}{40} = 4 + 1 + \frac{5}{40} = 4 + \frac{40}{40} + \frac{5}{40} = 4\frac{45}{40}$
Теперь выполним вычитание:
$4\frac{45}{40} - 4\frac{24}{40} = (4 - 4) + (\frac{45}{40} - \frac{24}{40}) = 0 + \frac{21}{40} = \frac{21}{40}$
Ответ: $\frac{21}{40}$

Тест 2 (4 мин)

$\frac{3}{14} \cdot 21$
Представим натуральное число 21 в виде дроби $\frac{21}{1}$ и выполним умножение:
$\frac{3}{14} \cdot \frac{21}{1} = \frac{3 \cdot 21}{14 \cdot 1}$
Сократим дробь до умножения, разделив 14 и 21 на их общий делитель 7:
$\frac{3 \cdot 21^3}{14_2 \cdot 1} = \frac{3 \cdot 3}{2 \cdot 1} = \frac{9}{2}$
Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:
$\frac{9}{2} = 4\frac{1}{2}$
Ответ: $4\frac{1}{2}$

$\frac{12}{7} : 4$
Деление на натуральное число 4 равносильно умножению на обратную ему дробь $\frac{1}{4}$:
$\frac{12}{7} : 4 = \frac{12}{7} \cdot \frac{1}{4} = \frac{12 \cdot 1}{7 \cdot 4}$
Сократим 12 и 4 на 4:
$\frac{12^3 \cdot 1}{7 \cdot 4_1} = \frac{3}{7}$
Ответ: $\frac{3}{7}$

$\frac{10}{27} \cdot \frac{9}{25}$
$\frac{10}{27} \cdot \frac{9}{25} = \frac{10 \cdot 9}{27 \cdot 25}$
Сократим 10 и 25 на 5, а 9 и 27 на 9:
$\frac{10^2 \cdot 9^1}{27_3 \cdot 25_5} = \frac{2 \cdot 1}{3 \cdot 5} = \frac{2}{15}$
Ответ: $\frac{2}{15}$

$5\frac{1}{4} : \frac{7}{18}$
Преобразуем смешанное число в неправильную дробь:
$5\frac{1}{4} = \frac{5 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{21}{4}$
Чтобы разделить дробь на дробь, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй:
$\frac{21}{4} : \frac{7}{18} = \frac{21}{4} \cdot \frac{18}{7} = \frac{21 \cdot 18}{4 \cdot 7}$
Сократим 21 и 7 на 7, а 4 и 18 на 2:
$\frac{21^3 \cdot 18^9}{4_2 \cdot 7_1} = \frac{3 \cdot 9}{2 \cdot 1} = \frac{27}{2}$
Преобразуем в смешанное число:
$\frac{27}{2} = 13\frac{1}{2}$
Ответ: $13\frac{1}{2}$

$2\frac{5}{6} \cdot 12$
Преобразуем смешанное число в неправильную дробь:
$2\frac{5}{6} = \frac{2 \cdot 6 + 5}{6} = \frac{17}{6}$
Выполним умножение:
$\frac{17}{6} \cdot 12 = \frac{17 \cdot 12}{6}$
Сократим 12 и 6 на 6:
$\frac{17 \cdot 12^2}{6_1} = 17 \cdot 2 = 34$
Ответ: 34

$6\frac{2}{5} : 2$
Преобразуем смешанное число в неправильную дробь:
$6\frac{2}{5} = \frac{6 \cdot 5 + 2}{5} = \frac{32}{5}$
Выполним деление:
$\frac{32}{5} : 2 = \frac{32}{5} \cdot \frac{1}{2} = \frac{32}{5 \cdot 2}$
Сократим 32 и 2 на 2:
$\frac{32^{16}}{5 \cdot 2_1} = \frac{16}{5}$
Преобразуем в смешанное число:
$\frac{16}{5} = 3\frac{1}{5}$
Ответ: $3\frac{1}{5}$

$1\frac{7}{9} \cdot 3\frac{3}{4}$
Преобразуем оба смешанных числа в неправильные дроби:
$1\frac{7}{9} = \frac{1 \cdot 9 + 7}{9} = \frac{16}{9}$
$3\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{15}{4}$
Выполним умножение:
$\frac{16}{9} \cdot \frac{15}{4} = \frac{16 \cdot 15}{9 \cdot 4}$
Сократим 16 и 4 на 4, а 15 и 9 на 3:
$\frac{16^4 \cdot 15^5}{9_3 \cdot 4_1} = \frac{4 \cdot 5}{3 \cdot 1} = \frac{20}{3}$
Преобразуем в смешанное число:
$\frac{20}{3} = 6\frac{2}{3}$
Ответ: $6\frac{2}{3}$

$\frac{3}{8} \cdot 2\frac{2}{3} : \frac{11}{15} \cdot 2\frac{1}{5}$
Сначала преобразуем все смешанные числа в неправильные дроби:
$2\frac{2}{3} = \frac{8}{3}$
$2\frac{1}{5} = \frac{11}{5}$
Выражение примет вид: $\frac{3}{8} \cdot \frac{8}{3} : \frac{11}{15} \cdot \frac{11}{5}$.
Выполним действия последовательно слева направо:
1) $\frac{3}{8} \cdot \frac{8}{3} = \frac{3 \cdot 8}{8 \cdot 3} = 1$
2) $1 : \frac{11}{15} = 1 \cdot \frac{15}{11} = \frac{15}{11}$
3) $\frac{15}{11} \cdot \frac{11}{5} = \frac{15 \cdot 11}{11 \cdot 5}$
Сократим 11 и 11 на 11, а 15 и 5 на 5:
$\frac{15^3 \cdot 11^1}{11_1 \cdot 5_1} = \frac{3 \cdot 1}{1 \cdot 1} = 3$
Ответ: 3

П 148 Счет-тест.

Тест 1 (3 мин)

$3\frac{5}{6}-2\frac{8}{15}$; $3\frac{7}{15}+\frac{2}{3}$; $7-3\frac{4}{9}$; $5\frac{1}{8}-4\frac{3}{5}$.

Тест 2 (4 мин)

$\frac{3}{14}\cdot 21$; $\frac{12}{7}:4$; $\frac{10}{27}\cdot \frac{9}{25}$; $5\frac{1}{4}:\frac{7}{18}$;

$2\frac{5}{6}\cdot 12$; $6\frac{2}{5}:2$; $1\frac{7}{9}\cdot 3\frac{3}{4}$; $\frac{3}{8}\cdot 2\frac{2}{3}:\frac{11}{15}\cdot 2\frac{1}{5}$.

149 Реши задачу методом перебора. Укажи все возможные решения.

1) Сумма цифр двузначного числа равна 12, а произведение 35. Чему равно число?

2) Сумма цифр двузначного числа равна 11, а произведение 24. Чему равно число?

3) Найти трёхзначное число, сумма цифр и произведение цифр которого равны 6.

4) Найти четырёхзначное число, сумма цифр которого равна 2, а произведение 0.

1) Пусть искомое двузначное число состоит из цифр $a$ и $b$. По условию задачи, мы имеем систему уравнений:
$a + b = 12$
$a \cdot b = 35$
Методом перебора найдём пары однозначных чисел, произведение которых равно 35. Единственная такая пара — это 5 и 7, так как $5 \cdot 7 = 35$. Проверим, подходит ли она под первое условие: $5 + 7 = 12$. Условие выполняется.
Следовательно, цифры искомого числа — это 5 и 7. Из этих цифр можно составить два двузначных числа: 57 и 75. Оба числа удовлетворяют условиям задачи.
Ответ: 57, 75.

2) Пусть искомое двузначное число состоит из цифр $a$ и $b$. Составим систему уравнений по условию:
$a + b = 11$
$a \cdot b = 24$
Методом перебора найдём пары однозначных чисел, произведение которых равно 24. Это пары (3, 8) и (4, 6).
Проверим, какая из этих пар удовлетворяет первому условию (сумма равна 11):
Для пары (3, 8): $3 + 8 = 11$. Условие выполняется.
Для пары (4, 6): $4 + 6 = 10$. Условие не выполняется, так как $10 \neq 11$.
Значит, цифры искомого числа — это 3 и 8. Из них можно составить два двузначных числа: 38 и 83.
Ответ: 38, 83.

3) Пусть искомое трёхзначное число состоит из цифр $a$, $b$ и $c$. По условию, их сумма и произведение равны 6:
$a + b + c = 6$
$a \cdot b \cdot c = 6$
Из второго уравнения следует, что ни одна из цифр не может быть нулём. Найдём тройки натуральных однозначных чисел, произведение которых равно 6.
Переберём возможные комбинации:
- Цифры 1, 1, 6. Проверим их сумму: $1 + 1 + 6 = 8$. Не подходит, так как $8 \neq 6$.
- Цифры 1, 2, 3. Проверим их сумму: $1 + 2 + 3 = 6$. Подходит.
Таким образом, искомое число состоит из цифр 1, 2 и 3. Теперь составим все возможные трёхзначные числа из этих цифр (все их перестановки): 123, 132, 213, 231, 312, 321.
Ответ: 123, 132, 213, 231, 312, 321.

4) Пусть искомое четырёхзначное число состоит из цифр $a$, $b$, $c$ и $d$. Условия задачи:
$a + b + c + d = 2$
$a \cdot b \cdot c \cdot d = 0$
Второе условие ($a \cdot b \cdot c \cdot d = 0$) означает, что хотя бы одна из цифр равна 0.
Первая цифра $a$ не может быть 0, так как число четырёхзначное.
Из первого условия ($a + b + c + d = 2$) и того, что цифры не могут быть отрицательными, следует, что цифры могут быть только 0, 1 или 2.
Рассмотрим возможные варианты для первой цифры $a$:
- Если $a = 2$, то из условия о сумме $2 + b + c + d = 2$, откуда $b + c + d = 0$. Это возможно только если $b=0$, $c=0$, $d=0$. Получаем число 2000. Проверка: сумма цифр $2+0+0+0=2$, произведение $2 \cdot 0 \cdot 0 \cdot 0=0$. Подходит.
- Если $a = 1$, то из условия о сумме $1 + b + c + d = 2$, откуда $b + c + d = 1$. Это означает, что одна из оставшихся цифр ($b, c, d$) равна 1, а две другие — 0. Таким образом, набор цифр для числа — это (1, 1, 0, 0). Составим все возможные четырёхзначные числа, начинающиеся с 1, из этого набора цифр: 1100, 1010, 1001. Все они удовлетворяют условиям.
Всего найдено 4 возможных числа.
Ответ: 1001, 1010, 1100, 2000.

149 Реши задачу методом перебора. Укажи все возможные решения.

1) Сумма цифр двузначного числа равна 12, а произведение 35. Чему равно число?

2) Сумма цифр двузначного числа равна 11, а произведение 24. Чему равно число?

3) Найти трехзначное число, сумма цифр и произведение цифр которого равны 6.

4) Найти четырехзначное число, сумма цифр которого равна 2, а произведение 0.

150 Переведи условие задачи на математический язык и реши её методом перебора. Укажи все возможные решения.

1) Найти натуральное число, которое в 7 раз больше цифры его единиц.

Математический язык: Пусть натуральное число $N$, а его цифра единиц $d_0$. Тогда $N = 7d_0$.

2) Найти все двузначные числа, которые от перестановки их цифр увеличиваются на 36.

Математический язык: Пусть двузначное число $10a + b$, где $a \in \{1, ..., 9\}$ и $b \in \{0, ..., 9\}$. Число с переставленными цифрами $10b + a$. Условие: $(10b + a) - (10a + b) = 36$, что упрощается до $9b - 9a = 36$, или $b - a = 4$.

3) Найти все двузначные числа, которые от перестановки их цифр увеличиваются в 4,5 раза.

Математический язык: Пусть двузначное число $10a + b$, где $a \in \{1, ..., 9\}$ и $b \in \{0, ..., 9\}$. Число с переставленными цифрами $10b + a$. Условие: $10b + a = 4.5(10a + b)$, что упрощается до $5.5b = 44a$, или $b = 8a$.

4) Найти все трёхзначные числа, цифры десятков которых равны 5 и которые при перестановке цифры сотен с цифрой единиц уменьшаются на 594.

Математический язык: Пусть трёхзначное число $100a + 10b + c$, где $a \in \{1, ..., 9\}$, $b \in \{0, ..., 9\}$, $c \in \{0, ..., 9\}$. Дано, что $b = 5$. Число с переставленными цифрами сотен и единиц $100c + 10b + a$. Условие: $(100a + 10b + c) - (100c + 10b + a) = 594$. С учётом $b=5$, это упрощается до $99a - 99c = 594$, или $a - c = 6$.

1) Найти натуральное число, которое в 7 раз больше цифры его единиц.

Переведем условие на математический язык. Пусть искомое натуральное число — это $N$, а цифра его единиц — $u$. По условию $N = 7u$. Поскольку $N$ — натуральное число, $N > 0$, значит, и $u$ не может быть нулем ($u \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$). Решим задачу методом перебора, проверяя все возможные значения $u$.

При $u=1$: $N = 7 \times 1 = 7$. Цифра единиц числа 7 равна 7, что не равно 1. Не подходит.
При $u=2$: $N = 7 \times 2 = 14$. Цифра единиц числа 14 равна 4, что не равно 2. Не подходит.
При $u=3$: $N = 7 \times 3 = 21$. Цифра единиц числа 21 равна 1, что не равно 3. Не подходит.
При $u=4$: $N = 7 \times 4 = 28$. Цифра единиц числа 28 равна 8, что не равно 4. Не подходит.
При $u=5$: $N = 7 \times 5 = 35$. Цифра единиц числа 35 равна 5. Условие выполнено. Число 35 — решение.
При $u=6$: $N = 7 \times 6 = 42$. Цифра единиц числа 42 равна 2, что не равно 6. Не подходит.
При $u=7$: $N = 7 \times 7 = 49$. Цифра единиц числа 49 равна 9, что не равно 7. Не подходит.
При $u=8$: $N = 7 \times 8 = 56$. Цифра единиц числа 56 равна 6, что не равно 8. Не подходит.
При $u=9$: $N = 7 \times 9 = 63$. Цифра единиц числа 63 равна 3, что не равно 9. Не подходит.

Ответ: 35.

2) Найти все двузначные числа, которые от перестановки их цифр увеличиваются на 36.

Пусть искомое двузначное число имеет вид $10a + b$, где $a$ — цифра десятков, а $b$ — цифра единиц. При этом $a \in \{1, 2, ..., 9\}$ и $b \in \{0, 1, ..., 9\}$. Число, полученное перестановкой цифр, равно $10b + a$. По условию, новое число больше исходного на 36. Составим уравнение: $(10b + a) - (10a + b) = 36$
$9b - 9a = 36$
$b - a = 4$

Теперь методом перебора найдем все пары цифр $(a, b)$, удовлетворяющие этому условию.

Если $a=1$, то $b = 1 + 4 = 5$. Число: 15. Проверка: $51 - 15 = 36$. Подходит.
Если $a=2$, то $b = 2 + 4 = 6$. Число: 26. Проверка: $62 - 26 = 36$. Подходит.
Если $a=3$, то $b = 3 + 4 = 7$. Число: 37. Проверка: $73 - 37 = 36$. Подходит.
Если $a=4$, то $b = 4 + 4 = 8$. Число: 48. Проверка: $84 - 48 = 36$. Подходит.
Если $a=5$, то $b = 5 + 4 = 9$. Число: 59. Проверка: $95 - 59 = 36$. Подходит.
Если $a \ge 6$, то $b$ будет больше 9, что невозможно для цифры.

Ответ: 15, 26, 37, 48, 59.

3) Найти все двузначные числа, которые от перестановки их цифр увеличиваются в 4,5 раза.

Обозначим искомое двузначное число как $10a + b$, где $a$ — цифра десятков ($a \in \{1, ..., 9\}$), а $b$ — цифра единиц ($b \in \{0, ..., 9\}$). Число после перестановки цифр — $10b + a$. По условию задачи, новое число в 4,5 раза больше исходного. Запишем это в виде уравнения: $10b + a = 4.5 \times (10a + b)$
Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от десятичной дроби: $2(10b + a) = 9(10a + b)$
$20b + 2a = 90a + 9b$
$11b = 88a$
$b = 8a$

Теперь методом перебора найдем подходящие цифры $a$ и $b$.

Если $a=1$, то $b = 8 \times 1 = 8$. Число: 18. Проверка: $18 \times 4.5 = 81$. Число после перестановки цифр — 81. Подходит.
Если $a \ge 2$, то $b$ будет равно 16 или больше, что не является цифрой.

Ответ: 18.

4) Найти все трёхзначные числа, цифры десятков которых равны 5 и которые при перестановке цифры сотен с цифрой единиц уменьшаются на 594.

Пусть искомое трёхзначное число имеет вид $100a + 10b + c$, где $a$ — цифра сотен, $b$ — цифра десятков, $c$ — цифра единиц. По условию, $b=5$. Значит, число имеет вид $100a + 50 + c$. При этом $a \in \{1, ..., 9\}$ и $c \in \{0, ..., 9\}$. Новое число, полученное перестановкой цифр сотен и единиц, равно $100c + 50 + a$. Исходное число уменьшается на 594, то есть: $(100a + 50 + c) - (100c + 50 + a) = 594$
$99a - 99c = 594$
$a - c = \frac{594}{99}$
$a - c = 6$

Методом перебора найдем все пары цифр $(a, c)$, удовлетворяющие условию $a = c + 6$.

Если $c=0$, то $a = 0 + 6 = 6$. Искомое число: 650. Проверка: $650 - 56 = 594$. Подходит.
Если $c=1$, то $a = 1 + 6 = 7$. Искомое число: 751. Проверка: $751 - 157 = 594$. Подходит.
Если $c=2$, то $a = 2 + 6 = 8$. Искомое число: 852. Проверка: $852 - 258 = 594$. Подходит.
Если $c=3$, то $a = 3 + 6 = 9$. Искомое число: 953. Проверка: $953 - 359 = 594$. Подходит.
Если $c \ge 4$, то $a$ будет 10 или больше, что невозможно для цифры.

Ответ: 650, 751, 852, 953.

150 Переведи условие задачи на математический язык и реши ее методом перебора. Укажи все возможные решения.

1) Найти натуральное число, которое в 7 раз больше цифры его единиц.

2) Найти все двузначные числа, которые от перестановки их цифр увеличиваются на 36.

3) Найти все двузначные числа, которые от перестановки их цифр увеличиваются в 4,5 раза.

4) Найти все трехзначные числа, цифры десятков которых равны 5 и которые при перестановке цифры сотен с цифрой единиц уменьшаются на 594.

151 Реши уравнения, используя правило «весов»:

1) $4a - 12 = a;$

2) $5b - 6 = 2b + 21;$

3) $3c + 42 = 8c + 17;$

4) $0,9d - 3,4 = 0,5d + 1,6;$

5) $7x = 5(3x - 4);$

6) $2(4y - 5) = y + 2;$

7) $5(z + 3,4) = 3(2z + 5,2);$

8) $0,2(4k + 3) + 0,8(5k + 4) = 1,4(4k - 3).$

1) $4a - 12 = a$

Чтобы собрать слагаемые с переменной $a$ в одной части уравнения, вычтем $a$ из обеих частей:

$4a - 12 - a = a - a$

$3a - 12 = 0$

Теперь перенесем свободный член в правую часть, прибавив 12 к обеим частям:

$3a - 12 + 12 = 0 + 12$

$3a = 12$

Разделим обе части уравнения на коэффициент при $a$, то есть на 3:

$a = \frac{12}{3}$

$a = 4$

Ответ: $4$.

2) $5b - 6 = 2b + 21$

Сгруппируем слагаемые с переменной $b$ в левой части, а свободные члены — в правой. Для этого вычтем $2b$ из обеих частей и прибавим 6 к обеим частям:

$5b - 6 - 2b + 6 = 2b + 21 - 2b + 6$

$5b - 2b = 21 + 6$

Приведем подобные слагаемые в каждой части:

$3b = 27$

Разделим обе части на 3:

$b = \frac{27}{3}$

$b = 9$

Ответ: $9$.

3) $3c + 42 = 8c + 17$

Сгруппируем слагаемые с переменной $c$ в правой части, а свободные члены — в левой. Для этого вычтем $3c$ и $17$ из обеих частей:

$3c + 42 - 3c - 17 = 8c + 17 - 3c - 17$

$42 - 17 = 8c - 3c$

Упростим обе части:

$25 = 5c$

Разделим обе части на 5:

$c = \frac{25}{5}$

$c = 5$

Ответ: $5$.

4) $0,9d - 3,4 = 0,5d + 1,6$

Вычтем $0,5d$ из обеих частей и прибавим 3,4 к обеим частям, чтобы сгруппировать слагаемые:

$0,9d - 0,5d = 1,6 + 3,4$

Упростим обе части:

$0,4d = 5$

Разделим обе части на 0,4:

$d = \frac{5}{0,4}$

$d = 12,5$

Ответ: $12,5$.

5) $7x = 5(3x - 4)$

Сначала раскроем скобки в правой части уравнения:

$7x = 15x - 20$

Вычтем $15x$ из обеих частей:

$7x - 15x = -20$

$-8x = -20$

Разделим обе части на -8:

$x = \frac{-20}{-8}$

$x = 2,5$

Ответ: $2,5$.

6) $2(4y - 5) = y + 2$

Раскроем скобки в левой части:

$8y - 10 = y + 2$

Вычтем $y$ из обеих частей и прибавим 10 к обеим частям:

$8y - y = 2 + 10$

$7y = 12$

Разделим обе части на 7:

$y = \frac{12}{7}$

Ответ: $\frac{12}{7}$.

7) $5(z + 3,4) = 3(2z + 5,2)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$5z + 5 \cdot 3,4 = 3 \cdot 2z + 3 \cdot 5,2$

$5z + 17 = 6z + 15,6$

Вычтем $5z$ из обеих частей и вычтем 15,6 из обеих частей:

$17 - 15,6 = 6z - 5z$

$1,4 = z$

Ответ: $1,4$.

8) $0,2(4k + 3) + 0,8(5k + 4) = 1,4(4k - 3)$

Чтобы избавиться от десятичных дробей, умножим обе части уравнения на 10:

$10 \cdot (0,2(4k + 3) + 0,8(5k + 4)) = 10 \cdot 1,4(4k - 3)$

$2(4k + 3) + 8(5k + 4) = 14(4k - 3)$

Раскроем все скобки:

$8k + 6 + 40k + 32 = 56k - 42$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$48k + 38 = 56k - 42$

Вычтем $48k$ из обеих частей и прибавим 42 к обеим частям:

$38 + 42 = 56k - 48k$

$80 = 8k$

Разделим обе части на 8:

$k = \frac{80}{8}$

$k = 10$

Ответ: $10$.

151 Реши уравнения, используя правило “весов”:

1) $4a - 12 = a;$

2) $5b - 6 = 2b + 21;$

3) $3c + 42 = 8c + 17;$

4) $0.9d - 3.4 = 0.5d + 1.6;$

5) $7x = 5(3x - 4);$

6) $2(4y - 5) = y + 2;$

7) $5(z + 3.4) = 3(2z + 5.2);$

8) $0.2(4k + 3) + 0.8(5k + 4) = 1.4(4k - 3).$

173 a) Отметь на координатной плоскости несколько точек, абсцисса которых равна -2. Где расположены все такие точки?

б) Где расположены все точки координатной плоскости, ордината которых равна 3? Отметь несколько таких точек.

а) Абсцисса точки — это ее координата по оси $x$. По условию, абсцисса всех искомых точек равна –2. Это означает, что для любой такой точки $(x; y)$ будет выполняться равенство $x = -2$, в то время как ордината $y$ может быть любым числом.

Отметим несколько таких точек на координатной плоскости, выбрав произвольные значения для $y$:

• A(–2; 0)
• B(–2; 3)
• C(–2; –1)
• D(–2; 5)

Если мы отметим все возможные точки, у которых абсцисса равна –2, они образуют прямую линию. Эта линия будет проходить через точку (–2; 0) на оси абсцисс и будет параллельна оси ординат (оси OY). Уравнение этой прямой: $x = -2$.

Ответ: Все такие точки расположены на прямой, параллельной оси ординат (оси OY) и проходящей через точку (–2; 0).

б) Ордината точки — это ее координата по оси $y$. По условию, ордината всех искомых точек равна 3. Это означает, что для любой такой точки $(x; y)$ будет выполняться равенство $y = 3$, в то время как абсцисса $x$ может быть любым числом.

Отметим несколько таких точек, выбрав произвольные значения для $x$:

• E(0; 3)
• F(4; 3)
• G(–2; 3)
• K(1; 3)

Все точки, у которых ордината равна 3, образуют прямую линию. Эта линия будет проходить через точку (0; 3) на оси ординат и будет параллельна оси абсцисс (оси OX). Уравнение этой прямой: $y = 3$.

Ответ: Все такие точки расположены на прямой, параллельной оси абсцисс (оси OX) и проходящей через точку (0; 3).

173 a) Отметь на координатной плоскости несколько точек, абсцисса которых равна $-2$. Где расположены все такие точки?

б) Где расположены все точки координатной плоскости, ордината которых равна $3$? Отметь несколько таких точек.

174 Построй треугольник $ABC$ по координатам его вершин:

а) $A (8; -6)$, $B (3; 4)$, $C (-6; 1)$;

б) $A (-3; -2)$, $B (1; 6)$, $C (9; -6)$.

Найди координаты точек пересечения сторон треугольника с осями координат.

а) Для треугольника с вершинами в точках $A(8; -6)$, $B(3; 4)$, $C(-6; 1)$ найдем координаты точек пересечения его сторон с осями координат.

Для этого для каждой стороны найдем уравнение прямой, на которой она лежит, по формуле прямой, проходящей через две точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$: $\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$. Затем найдем точки пересечения с осями $Ox$ (полагая $y=0$) и $Oy$ (полагая $x=0$) и проверим, принадлежит ли найденная точка соответствующей стороне (отрезку).

Сторона AB (точки $A(8; -6)$ и $B(3; 4)$):
Уравнение прямой: $\frac{x - 8}{3 - 8} = \frac{y - (-6)}{4 - (-6)} \implies \frac{x - 8}{-5} = \frac{y + 6}{10} \implies 2(x - 8) = -(y + 6) \implies 2x + y - 10 = 0$.
• Пересечение с осью $Ox$ ($y=0$): $2x - 10 = 0 \implies x = 5$. Точка $(5; 0)$. Эта точка принадлежит стороне AB, так как $3 \le 5 \le 8$ и $-6 \le 0 \le 4$.
• Пересечение с осью $Oy$ ($x=0$): $y - 10 = 0 \implies y = 10$. Точка $(0; 10)$. Эта точка не принадлежит стороне AB, так как $y=10$ не находится в интервале $[-6; 4]$.

Сторона BC (точки $B(3; 4)$ и $C(-6; 1)$):
Уравнение прямой: $\frac{x - 3}{-6 - 3} = \frac{y - 4}{1 - 4} \implies \frac{x - 3}{-9} = \frac{y - 4}{-3} \implies x - 3 = 3(y - 4) \implies x - 3y + 9 = 0$.
• Пересечение с осью $Ox$ ($y=0$): $x + 9 = 0 \implies x = -9$. Точка $(-9; 0)$. Не принадлежит стороне BC, так как $x=-9$ не находится в интервале $[-6; 3]$.
• Пересечение с осью $Oy$ ($x=0$): $-3y + 9 = 0 \implies y = 3$. Точка $(0; 3)$. Принадлежит стороне BC, так как $-6 \le 0 \le 3$ и $1 \le 3 \le 4$.

Сторона AC (точки $A(8; -6)$ и $C(-6; 1)$):
Уравнение прямой: $\frac{x - 8}{-6 - 8} = \frac{y - (-6)}{1 - (-6)} \implies \frac{x - 8}{-14} = \frac{y + 6}{7} \implies x - 8 = -2(y + 6) \implies x + 2y + 4 = 0$.
• Пересечение с осью $Ox$ ($y=0$): $x + 4 = 0 \implies x = -4$. Точка $(-4; 0)$. Принадлежит стороне AC, так как $-6 \le -4 \le 8$ и $-6 \le 0 \le 1$.
• Пересечение с осью $Oy$ ($x=0$): $2y + 4 = 0 \implies y = -2$. Точка $(0; -2)$. Принадлежит стороне AC, так как $-6 \le 0 \le 8$ и $-6 \le -2 \le 1$.

Ответ: $(5; 0)$, $(0; 3)$, $(-4; 0)$, $(0; -2)$.

б) Для треугольника с вершинами в точках $A(-3; -2)$, $B(1; 6)$, $C(9; -6)$ найдем координаты точек пересечения его сторон с осями координат.

Сторона AB (точки $A(-3; -2)$ и $B(1; 6)$):
Уравнение прямой: $\frac{x - (-3)}{1 - (-3)} = \frac{y - (-2)}{6 - (-2)} \implies \frac{x + 3}{4} = \frac{y + 2}{8} \implies 2(x + 3) = y + 2 \implies 2x - y + 4 = 0$.
• Пересечение с осью $Ox$ ($y=0$): $2x + 4 = 0 \implies x = -2$. Точка $(-2; 0)$. Принадлежит стороне AB, так как $-3 \le -2 \le 1$ и $-2 \le 0 \le 6$.
• Пересечение с осью $Oy$ ($x=0$): $-y + 4 = 0 \implies y = 4$. Точка $(0; 4)$. Принадлежит стороне AB, так как $-3 \le 0 \le 1$ и $-2 \le 4 \le 6$.

Сторона BC (точки $B(1; 6)$ и $C(9; -6)$):
Уравнение прямой: $\frac{x - 1}{9 - 1} = \frac{y - 6}{-6 - 6} \implies \frac{x - 1}{8} = \frac{y - 6}{-12} \implies -3(x - 1) = 2(y - 6) \implies 3x + 2y - 15 = 0$.
• Пересечение с осью $Ox$ ($y=0$): $3x - 15 = 0 \implies x = 5$. Точка $(5; 0)$. Принадлежит стороне BC, так как $1 \le 5 \le 9$ и $-6 \le 0 \le 6$.
• Пересечение с осью $Oy$ ($x=0$): $2y - 15 = 0 \implies y = 7.5$. Точка $(0; 7.5)$. Не принадлежит стороне BC, так как $y=7.5$ не находится в интервале $[-6; 6]$.

Сторона AC (точки $A(-3; -2)$ и $C(9; -6)$):
Уравнение прямой: $\frac{x - (-3)}{9 - (-3)} = \frac{y - (-2)}{-6 - (-2)} \implies \frac{x + 3}{12} = \frac{y + 2}{-4} \implies -(x + 3) = 3(y + 2) \implies x + 3y + 9 = 0$.
• Пересечение с осью $Ox$ ($y=0$): $x + 9 = 0 \implies x = -9$. Точка $(-9; 0)$. Не принадлежит стороне AC, так как $x=-9$ не находится в интервале $[-3; 9]$.
• Пересечение с осью $Oy$ ($x=0$): $3y + 9 = 0 \implies y = -3$. Точка $(0; -3)$. Принадлежит стороне AC, так как $-3 \le 0 \le 9$ и $-6 \le -3 \le -2$.

Ответ: $(-2; 0)$, $(0; 4)$, $(5; 0)$, $(0; -3)$.

174 Построй треугольник $ABC$ по координатам его вершин:

a) $A (8; -6)$, $B (3; 4)$, $C (-6; 1);$

б) $A (-3; -2)$, $B (1; 6)$, $C (9; -6)$.

Найди координаты точек пересечения сторон треугольника с осями координат.

175 Построй точки $A(-6; -3)$, $B(6; 1)$, $C(0; -1)$ и $D(3; 0)$. Что ты замечаешь?

Проведи необходимые измерения и определи, в каком отношении делит отрезок $AB$ точка $C$, точка $D$.

Построй точки A (-6; -3), B (6; 1), C (0; -1) и D (3; 0). Что ты замечаешь?

Для построения точек на координатной плоскости используем их координаты $(x; y)$.

• Точка A имеет координаты (-6; -3): от начала координат отступаем на 6 единиц влево по оси Ox и на 3 единицы вниз по оси Oy.
• Точка B имеет координаты (6; 1): отступаем на 6 единиц вправо по оси Ox и на 1 единицу вверх по оси Oy.
• Точка C имеет координаты (0; -1): точка лежит на оси Oy на 1 единицу ниже начала координат.
• Точка D имеет координаты (3; 0): точка лежит на оси Ox на 3 единицы правее начала координат.

Если построить эти точки на координатной плоскости и соединить их, можно заметить, что все четыре точки лежат на одной прямой. Проверим это утверждение аналитически, найдя уравнение прямой, проходящей через точки A и B, и проверив, принадлежат ли ей точки C и D.

Уравнение прямой, проходящей через две точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, можно найти по формуле:

$\frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}$

Подставим координаты точек A(-6; -3) и B(6; 1):

$\frac{y - (-3)}{1 - (-3)} = \frac{x - (-6)}{6 - (-6)}$

$\frac{y + 3}{4} = \frac{x + 6}{12}$

Умножим обе части на 12:

$3(y + 3) = x + 6$

$3y + 9 = x + 6$

$x - 3y - 3 = 0$

Это уравнение нашей прямой. Теперь проверим, лежат ли на ней точки C и D.

Для точки C(0; -1):

$0 - 3(-1) - 3 = 3 - 3 = 0$. Равенство $0=0$ верное, значит точка C принадлежит прямой.

Для точки D(3; 0):

$3 - 3(0) - 3 = 3 - 3 = 0$. Равенство $0=0$ верное, значит точка D принадлежит прямой.

Таким образом, все четыре точки лежат на одной прямой.

Ответ: Все четыре точки A, B, C и D лежат на одной прямой.

Проведи необходимые измерения и определи, в каком отношении делит отрезок AB точка C, точка D.

Чтобы определить, в каком отношении точка делит отрезок, необходимо найти отношение длин отрезков, на которые она его разбивает. Вместо измерений на чертеже, которые могут быть неточными, воспользуемся точной формулой расстояния между двумя точками с координатами $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Отношение для точки C

Найдем отношение длин отрезков $AC : CB$.

Длина отрезка AC, где A(-6; -3) и C(0; -1):

$AC = \sqrt{(0 - (-6))^2 + (-1 - (-3))^2} = \sqrt{6^2 + 2^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40}$

Длина отрезка CB, где C(0; -1) и B(6; 1):

$CB = \sqrt{(6 - 0)^2 + (1 - (-1))^2} = \sqrt{6^2 + 2^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40}$

Отношение длин:

$\frac{AC}{CB} = \frac{\sqrt{40}}{\sqrt{40}} = 1$

Следовательно, точка C делит отрезок AB в отношении 1:1, то есть является его серединой.

Отношение для точки D

Найдем отношение длин отрезков $AD : DB$.

Длина отрезка AD, где A(-6; -3) и D(3; 0):

$AD = \sqrt{(3 - (-6))^2 + (0 - (-3))^2} = \sqrt{9^2 + 3^2} = \sqrt{81 + 9} = \sqrt{90}$

Длина отрезка DB, где D(3; 0) и B(6; 1):

$DB = \sqrt{(6 - 3)^2 + (1 - 0)^2} = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$

Отношение длин:

$\frac{AD}{DB} = \frac{\sqrt{90}}{\sqrt{10}} = \sqrt{\frac{90}{10}} = \sqrt{9} = 3$

Следовательно, точка D делит отрезок AB в отношении 3:1.

Ответ: Точка C делит отрезок AB в отношении 1:1. Точка D делит отрезок AB в отношении 3:1 (считая от точки A).

175 Построй точки $A(-6; -3)$, $B(6; 1)$, $C(0; -1)$ и $D(3; 0)$. Что ты замечаешь?
Проведи необходимые измерения и определи, в каком отношении делит отрезок AB точка C, точка D?

176. а) Построй прямые $AB$ и $CD$, если $A (0; 8)$, $B (5; -2)$, $C (-6; 0)$, $D (4; 5)$. Найди координаты точки пересечения этих прямых. Что интересного в их расположении? Сколько точек пересечения могут иметь две различные прямые?

б) Построй окружность с центром в точке $A (-3; 1)$ и радиусом $4$ единичных отрезка. Найди координаты точек пересечения этой окружности с прямой $BC$, если $B (-5; 7)$, $C (4; -2)$. Сколько точек пересечения могут иметь прямая и окружность?

в) Построй одну окружность с центром в точке $A (-2; -1)$ и радиусом $3$ единичных отрезка, а вторую – с центром в точке $B (6; -1)$ и радиусом $5$ единичных отрезков. Найди координаты их общей точки. Сколько точек пересечения могут иметь две окружности?

а) Чтобы найти координаты точки пересечения прямых AB и CD, сначала найдем уравнения этих прямых. Уравнение прямой в общем виде: $y = kx + b$.
1. Найдем уравнение прямой AB, проходящей через точки A(0; 8) и B(5; -2).
Подставим координаты точки A(0; 8) в уравнение прямой: $8 = k \cdot 0 + b$, откуда получаем $b = 8$.
Теперь подставим координаты точки B(5; -2) и найденное значение b: $-2 = k \cdot 5 + 8 \implies 5k = -10 \implies k = -2$.
Таким образом, уравнение прямой AB: $y = -2x + 8$.
2. Найдем уравнение прямой CD, проходящей через точки C(-6; 0) и D(4; 5).
Составим систему уравнений, подставив координаты точек:
$\begin{cases} 0 = -6k + b \\ 5 = 4k + b \end{cases}$
Из первого уравнения выразим $b$: $b = 6k$. Подставим это выражение во второе уравнение: $5 = 4k + 6k \implies 5 = 10k \implies k = 0.5$.
Теперь найдем $b$: $b = 6 \cdot 0.5 = 3$.
Таким образом, уравнение прямой CD: $y = 0.5x + 3$.
3. Для нахождения точки пересечения решим систему уравнений для прямых AB и CD:
$\begin{cases} y = -2x + 8 \\ y = 0.5x + 3 \end{cases}$
Приравняем правые части уравнений: $-2x + 8 = 0.5x + 3$.
Перенесем слагаемые: $8 - 3 = 0.5x + 2x \implies 5 = 2.5x \implies x = 2$.
Подставим найденное значение $x = 2$ в любое из уравнений, например, в первое: $y = -2(2) + 8 = -4 + 8 = 4$.
Координаты точки пересечения (2; 4).
Интересная особенность в расположении этих прямых заключается в том, что они перпендикулярны. Это можно проверить, умножив их угловые коэффициенты: $k_{AB} \cdot k_{CD} = -2 \cdot 0.5 = -1$. Если произведение угловых коэффициентов двух прямых равно -1, то прямые перпендикулярны.
Две различные прямые на плоскости могут иметь либо одну точку пересечения (если их угловые коэффициенты не равны), либо ни одной точки пересечения (если они параллельны, то есть их угловые коэффициенты равны, а сдвиги по оси y различны).
Ответ: Координаты точки пересечения (2; 4). Прямые перпендикулярны. Две различные прямые могут иметь одну или ноль точек пересечения.

б) 1. Уравнение окружности с центром в точке A(-3; 1) и радиусом $r=4$ имеет вид $(x - x_A)^2 + (y - y_A)^2 = r^2$.
Подставив данные, получаем: $(x - (-3))^2 + (y - 1)^2 = 4^2 \implies (x + 3)^2 + (y - 1)^2 = 16$.
2. Найдем уравнение прямой BC, проходящей через точки B(-5; 7) и C(4; -2). Уравнение прямой: $y = kx + b$.
Составим систему уравнений:
$\begin{cases} 7 = -5k + b \\ -2 = 4k + b \end{cases}$
Вычтем второе уравнение из первого: $7 - (-2) = -5k - 4k \implies 9 = -9k \implies k = -1$.
Подставим $k = -1$ в первое уравнение: $7 = -5(-1) + b \implies 7 = 5 + b \implies b = 2$.
Уравнение прямой BC: $y = -x + 2$.
3. Найдем точки пересечения окружности и прямой, решив систему уравнений:
$\begin{cases} (x + 3)^2 + (y - 1)^2 = 16 \\ y = -x + 2 \end{cases}$
Подставим выражение для $y$ из второго уравнения в первое:
$(x + 3)^2 + ((-x + 2) - 1)^2 = 16$
$(x + 3)^2 + (-x + 1)^2 = 16$
Раскроем скобки: $(x^2 + 6x + 9) + (x^2 - 2x + 1) = 16$.
Приведем подобные слагаемые: $2x^2 + 4x + 10 = 16$.
Перенесем 16 в левую часть: $2x^2 + 4x - 6 = 0$.
Разделим уравнение на 2: $x^2 + 2x - 3 = 0$.
Решим квадратное уравнение. Корни можно найти по теореме Виета: $x_1 = 1$, $x_2 = -3$.
Найдем соответствующие значения $y$ для каждого корня:
При $x_1 = 1$: $y_1 = -1 + 2 = 1$. Первая точка пересечения (1; 1).
При $x_2 = -3$: $y_2 = -(-3) + 2 = 3 + 2 = 5$. Вторая точка пересечения (-3; 5).
Прямая и окружность могут иметь две точки пересечения (если прямая является секущей), одну точку пересечения (если прямая является касательной) или не иметь общих точек.
Ответ: Координаты точек пересечения: (1; 1) и (-3; 5). Прямая и окружность могут иметь 0, 1 или 2 точки пересечения.

в) 1. Уравнение первой окружности с центром в точке A(-2; -1) и радиусом $r_1 = 3$:
$(x + 2)^2 + (y + 1)^2 = 3^2 \implies (x + 2)^2 + (y + 1)^2 = 9$.
2. Уравнение второй окружности с центром в точке B(6; -1) и радиусом $r_2 = 5$:
$(x - 6)^2 + (y + 1)^2 = 5^2 \implies (x - 6)^2 + (y + 1)^2 = 25$.
3. Для нахождения координат их общих точек решим систему этих двух уравнений:
$\begin{cases} (x + 2)^2 + (y + 1)^2 = 9 \\ (x - 6)^2 + (y + 1)^2 = 25 \end{cases}$
Вычтем первое уравнение из второго. Член $(y + 1)^2$ сократится:
$(x - 6)^2 - (x + 2)^2 = 25 - 9$
$(x - 6)^2 - (x + 2)^2 = 16$
Раскроем скобки: $(x^2 - 12x + 36) - (x^2 + 4x + 4) = 16$.
$x^2 - 12x + 36 - x^2 - 4x - 4 = 16$.
$-16x + 32 = 16$.
$-16x = 16 - 32 \implies -16x = -16 \implies x = 1$.
Подставим $x = 1$ в уравнение первой окружности, чтобы найти $y$:
$(1 + 2)^2 + (y + 1)^2 = 9$
$3^2 + (y + 1)^2 = 9 \implies 9 + (y + 1)^2 = 9$.
$(y + 1)^2 = 0 \implies y + 1 = 0 \implies y = -1$.
Таким образом, окружности имеют одну общую точку с координатами (1; -1). Это означает, что они касаются. Расстояние между центрами A и B равно $d = \sqrt{(6-(-2))^2 + (-1-(-1))^2} = \sqrt{8^2} = 8$. Сумма радиусов $r_1 + r_2 = 3 + 5 = 8$. Поскольку $d = r_1 + r_2$, окружности касаются внешним образом.
Две различные окружности могут иметь две точки пересечения, одну точку (если они касаются) или не иметь общих точек.
Ответ: Координаты общей точки (1; -1). Две различные окружности могут иметь 0, 1 или 2 точки пересечения.

176 а) Построй прямые $AB$ и $CD$, если $A (0; 8)$, $B (5; -2)$, $C (-6; 0)$, $D (4; 5)$. Найди координаты точки пересечения этих прямых. Что интересного в их расположении? Сколько точек пересечения могут иметь две различные прямые?

б) Построй окружность с центром в точке $A (-3; 1)$ и радиусом 4 единичных отрезка. Найди координаты точек пересечения этой окружности с прямой $BC$, если $B (-5; 7)$, $C (4; -2)$. Сколько точек пересечения могут иметь прямая и окружность?

в) Построй одну окружность с центром в точке $A (-2; -1)$ и радиусом 3 единичных отрезка, а вторую – с центром в точке $B (6; -1)$ и радиусом 5 единичных отрезков. Найди координаты их общей точки. Сколько точек пересечения могут иметь две окружности?

177 Построй четырёхугольник $ABCD$, проведи необходимые измерения и определи его вид. Какие свойства этого четырёхугольника тебе известны?

а) $A(-4; 0)$, $B(0; 6)$, $C(3; 4)$, $D(-1; -2);$

б) $A(1; 4)$, $B(4; 0)$, $C(0; -3)$, $D(-3; 1);$

в) $A(-6; 1)$, $B(0; 3)$, $C(2; 0)$, $D(-4; -2);$

г) $A(3; 0)$, $B(0; -2)$, $C(-4; 0)$, $D(2; 4).$

а) A(-4; 0), B(0; 6), C(3; 4), D(-1; -2)

Чтобы определить вид четырехугольника ABCD, построим его по заданным координатам и проведем необходимые вычисления. В качестве измерений мы вычислим длины его сторон и диагоналей, а также наклоны сторон.

1. Вычислим длины сторон по формуле расстояния между двумя точками $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$:

$AB = \sqrt{(0 - (-4))^2 + (6 - 0)^2} = \sqrt{4^2 + 6^2} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52}$
$BC = \sqrt{(3 - 0)^2 + (4 - 6)^2} = \sqrt{3^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$
$CD = \sqrt{(-1 - 3)^2 + (-2 - 4)^2} = \sqrt{(-4)^2 + (-6)^2} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52}$
$DA = \sqrt{(-4 - (-1))^2 + (0 - (-2))^2} = \sqrt{(-3)^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$

Мы видим, что противолежащие стороны попарно равны: $AB = CD$ и $BC = DA$. Это свойство параллелограмма. Значит, ABCD — параллелограмм.

2. Чтобы уточнить вид параллелограмма, проверим, являются ли его углы прямыми. Для этого найдем угловые коэффициенты (наклоны) смежных сторон AB и BC по формуле $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$. Если их произведение равно -1, то стороны перпендикулярны.

$k_{AB} = \frac{6 - 0}{0 - (-4)} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$
$k_{BC} = \frac{4 - 6}{3 - 0} = \frac{-2}{3}$

Произведение наклонов: $k_{AB} \cdot k_{BC} = \frac{3}{2} \cdot (-\frac{2}{3}) = -1$. Это означает, что угол $\angle B$ прямой ($90^\circ$). Параллелограмм с прямым углом — это прямоугольник.

3. Таким образом, четырехугольник ABCD является прямоугольником.

Основные свойства прямоугольника:

• Противоположные стороны равны и параллельны.
• Все углы прямые ($90^\circ$).
• Диагонали равны по длине.
• Диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

Ответ: Четырехугольник ABCD — прямоугольник. Его свойства: противоположные стороны равны и параллельны, все углы прямые, диагонали равны и в точке пересечения делятся пополам.

б) A(1; 4), B(4; 0), C(0; -3), D(-3; 1)

Определим вид четырехугольника ABCD, вычислив длины его сторон и диагоналей.

1. Вычислим длины сторон:

$AB = \sqrt{(4 - 1)^2 + (0 - 4)^2} = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$
$BC = \sqrt{(0 - 4)^2 + (-3 - 0)^2} = \sqrt{(-4)^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$
$CD = \sqrt{(-3 - 0)^2 + (1 - (-3))^2} = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$
$DA = \sqrt{(1 - (-3))^2 + (4 - 1)^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$

Все стороны четырехугольника равны ($AB = BC = CD = DA = 5$). Это означает, что ABCD — ромб.

2. Чтобы проверить, является ли этот ромб квадратом, вычислим длины диагоналей AC и BD. У квадрата диагонали равны.

$AC = \sqrt{(0 - 1)^2 + (-3 - 4)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-7)^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50}$
$BD = \sqrt{(-3 - 4)^2 + (1 - 0)^2} = \sqrt{(-7)^2 + 1^2} = \sqrt{49 + 1} = \sqrt{50}$

Диагонали AC и BD равны. Ромб с равными диагоналями является квадратом.

3. Следовательно, четырехугольник ABCD — квадрат.

Основные свойства квадрата:

• Все стороны равны.
• Все углы прямые ($90^\circ$).
• Диагонали равны, перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и являются биссектрисами углов.

Ответ: Четырехугольник ABCD — квадрат. Его свойства: все стороны равны, все углы прямые, диагонали равны, перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам.

в) A(-6; 1), B(0; 3), C(2; 0), D(-4; -2)

Для определения вида четырехугольника ABCD вычислим длины его сторон.

1. Вычисление длин сторон:

$AB = \sqrt{(0 - (-6))^2 + (3 - 1)^2} = \sqrt{6^2 + 2^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40}$
$BC = \sqrt{(2 - 0)^2 + (0 - 3)^2} = \sqrt{2^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$
$CD = \sqrt{(-4 - 2)^2 + (-2 - 0)^2} = \sqrt{(-6)^2 + (-2)^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40}$
$DA = \sqrt{(-6 - (-4))^2 + (1 - (-2))^2} = \sqrt{(-2)^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$

Противолежащие стороны попарно равны ($AB = CD$ и $BC = DA$), следовательно, ABCD — параллелограмм.

2. Проверим, является ли он прямоугольником или ромбом. Сравним длины смежных сторон: $AB = \sqrt{40}$, а $BC = \sqrt{13}$. Так как $AB \neq BC$, это не ромб (и не квадрат).

Проверим, равны ли диагонали. Если они не равны, то это не прямоугольник.

$AC = \sqrt{(2 - (-6))^2 + (0 - 1)^2} = \sqrt{8^2 + (-1)^2} = \sqrt{64 + 1} = \sqrt{65}$
$BD = \sqrt{(-4 - 0)^2 + (-2 - 3)^2} = \sqrt{(-4)^2 + (-5)^2} = \sqrt{16 + 25} = \sqrt{41}$

Диагонали не равны ($AC \neq BD$), значит, это не прямоугольник.

3. Таким образом, ABCD — это параллелограмм общего вида.

Основные свойства параллелограмма:

• Противоположные стороны равны и параллельны.
• Противоположные углы равны.
• Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$.
• Диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

Ответ: Четырехугольник ABCD — параллелограмм. Его свойства: противоположные стороны равны и параллельны, противоположные углы равны, диагонали точкой пересечения делятся пополам.

г) A(3; 0), B(0; -2), C(-4; 0), D(2; 4)

Для определения вида четырехугольника ABCD проверим параллельность его сторон, вычислив их угловые коэффициенты (наклоны).

1. Вычисление угловых коэффициентов сторон:

$k_{AB} = \frac{-2 - 0}{0 - 3} = \frac{-2}{-3} = \frac{2}{3}$
$k_{BC} = \frac{0 - (-2)}{-4 - 0} = \frac{2}{-4} = -\frac{1}{2}$
$k_{CD} = \frac{4 - 0}{2 - (-4)} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$
$k_{DA} = \frac{0 - 4}{3 - 2} = \frac{-4}{1} = -4$

Угловые коэффициенты сторон AB и CD равны ($k_{AB} = k_{CD}$), значит, эти стороны параллельны ($AB \parallel CD$). Угловые коэффициенты сторон BC и DA не равны, значит, эти стороны не параллельны.

2. Четырехугольник, у которого только две противолежащие стороны параллельны, называется трапецией.

Проверим, является ли трапеция равнобедренной. Для этого найдем длины ее непараллельных сторон (боковых сторон) BC и DA.

$BC = \sqrt{(-4 - 0)^2 + (0 - (-2))^2} = \sqrt{(-4)^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20}$
$DA = \sqrt{(3 - 2)^2 + (0 - 4)^2} = \sqrt{1^2 + (-4)^2} = \sqrt{1 + 16} = \sqrt{17}$

Так как $BC \neq DA$, трапеция не является равнобедренной.

3. Следовательно, ABCD — трапеция общего вида.

Основные свойства трапеции:

• Две стороны (основания) параллельны, а две другие (боковые стороны) — нет.
• Сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна $180^\circ$.

Ответ: Четырехугольник ABCD — трапеция. Его свойство: две противоположные стороны (AB и CD) параллельны, а две другие — нет.

177 Построй четырехугольник $ABCD$, проведи необходимые измерения и определи его вид. Какие свойства этого четырехугольника тебе известны?

а) $A (-4; 0)$, $B (0; 6)$, $C (3; 4)$, $D (-1; -2);$

б) $A (1; 4)$, $B (4; 0)$, $C (0; -3)$, $D (-3; 1);$

в) $A (-6; 1)$, $B (0; 3)$, $C (2; 0)$, $D (-4; -2);$

г) $A (3; 0)$, $B (0; -2)$, $C (-4; 0)$, $D (2; 4).$

178 Построй замкнутую ломаную линию по координатам её вершин:

$A_1 (10; 10)$, $A_2 (9; 12)$, $A_3 (12; 12)$, $A_4 (13; 10)$, $A_5 (12; 10)$, $A_6 (12; 7)$, $A_7 (9; 5)$,

$A_8 (5; 4)$, $A_9 (2; 1)$, $A_{10} (-4; -2)$, $A_{11} (-3; -3)$, $A_{12} (13; -1)$, $A_{13} (15; 0)$, $A_{14} (13; -2)$,

$A_{15} (-12; -5)$, $A_{16} (-13; -4)$, $A_{17} (-5; -3)$, $A_{18} (-5; -1)$, $A_{19} (-1; 3)$, $A_{20} (3; 5)$,

$A_{21} (6; 7)$, $A_{22} (8; 9)$, $A_{23} (5; 8)$, $A_{24} (2; 6)$, $A_{25} (1; 7)$, $A_{26} (4; 9)$, $A_{27} (8; 10)$, $A_1$.

Что получилось?

Для решения задачи необходимо нанести на координатную плоскость точки с заданными координатами и последовательно соединить их отрезками. Порядок соединения: $A_1 \rightarrow A_2 \rightarrow A_3 \rightarrow \dots \rightarrow A_{27}$. Так как ломаная линия замкнутая, последняя точка $A_{27}$ соединяется с первой точкой $A_1$.

Процесс построения:

1. Поочередно отмечаем на плоскости все 27 точек, от $A_1(10; 10)$ до $A_{27}(8; 10)$.
2. Соединяем отрезками точку $A_1$ с $A_2$, $A_2$ с $A_3$, и так далее, до отрезка, соединяющего $A_{26}$ с $A_{27}$.
3. Соединяем последнюю точку $A_{27}$ с первой точкой $A_1$, чтобы замкнуть контур.

После выполнения построений мы увидим, что полученная фигура представляет собой контурное изображение животного. У фигуры можно различить:

• голову с небольшими ушами или рожками, образованную точками $A_1, A_2, A_3, A_4$;
• туловище с ногами (например, ломаная $A_9A_{10}A_{11}$ — задняя нога, а $A_{17}A_{18}A_{19}$ — передняя);
• длинный хвост с шипом или булавой на конце, образованный точками с $A_{11}$ по $A_{14}$;
• ряд шипов или костяных пластин на спине, образованный ломаной линией $A_{22} \rightarrow A_{23} \rightarrow \dots \rightarrow A_{27}$.

Что получилось?

В результате построения замкнутой ломаной линии по заданным координатам вершин получается контурное изображение динозавра, напоминающего стегозавра, или сказочного дракона.

Ответ: Получилось изображение динозавра.

178 Построй замкнутую ломаную линию по координатам ее вершин:

$A_1 (10; 10), A_2 (9; 12), A_3 (12; 12), A_4 (13; 10), A_5 (12; 10), A_6 (12; 7), A_7 (9; 5),$

$A_8 (5; 4), A_9 (2; 1), A_{10} (-4; -2), A_{11} (-3; -3), A_{12} (13; -1), A_{13} (15; 0), A_{14} (13; -2),$

$A_{15} (-12; -5), A_{16} (-13; -4), A_{17} (-5; -3), A_{18} (-5; -1), A_{19} (-1; 3), A_{20} (3; 5),$

$A_{21} (6; 7), A_{22} (8; 9), A_{23} (5; 8), A_{24} (2; 6), A_{25} (1; 7), A_{26} (4; 9), A_{27} (8; 10), A_1.$

Что получилось?

179 Построй на координатной плоскости две окружности: одну – с центром в точке $A(-1; 0)$ и радиусом 3 единичных отрезка, а вторую – с центром в точке $B(1; 5)$ и радиусом 4 единичных отрезка. Найди приближённое значение координат точек пересечения этих окружностей ($1$ ед. отр. $= 1$ см).

Для нахождения точек пересечения двух окружностей можно использовать графический или аналитический метод. В задаче требуется построить окружности, поэтому начнем с графического метода, а аналитический используем для точности.

1. Построение на координатной плоскости (Графический метод)

1. Начертим координатную плоскость с осями $x$ и $y$. Согласно условию, масштаб 1 единичный отрезок равен 1 см.
2. Отметим центр первой окружности — точку $A(-1; 0)$.
3. С помощью циркуля, установив его ножку в точку $A$, а карандаш на расстоянии 3 см (3 единичных отрезка), проведем первую окружность.
4. Отметим центр второй окружности — точку $B(1; 5)$.
5. Установив ножку циркуля в точку $B$, а карандаш на расстоянии 4 см (4 единичных отрезка), проведем вторую окружность.
6. Окружности пересекутся в двух точках. Оценим их координаты по чертежу.

Из графика видно, что точки пересечения имеют приблизительные координаты $(-2.3; 2.7)$ и $(1.8; 1.1)$.

2. Нахождение точных координат (Аналитический метод)

Для проверки и уточнения результата решим систему уравнений окружностей.
Уравнение первой окружности с центром $A(-1; 0)$ и радиусом $r_1 = 3$:
$(x - (-1))^2 + (y - 0)^2 = 3^2 \implies (x + 1)^2 + y^2 = 9$
Уравнение второй окружности с центром $B(1; 5)$ и радиусом $r_2 = 4$:
$(x - 1)^2 + (y - 5)^2 = 4^2 \implies (x - 1)^2 + (y - 5)^2 = 16$

Составим систему уравнений:
$\begin{cases} (x + 1)^2 + y^2 = 9 \\ (x - 1)^2 + (y - 5)^2 = 16 \end{cases}$

Раскроем скобки в обоих уравнениях:
$\begin{cases} x^2 + 2x + 1 + y^2 = 9 \\ x^2 - 2x + 1 + y^2 - 10y + 25 = 16 \end{cases}$
$\begin{cases} x^2 + y^2 + 2x - 8 = 0 \\ x^2 + y^2 - 2x - 10y + 10 = 0 \end{cases}$

Вычтем второе уравнение из первого:
$(x^2 + y^2 + 2x - 8) - (x^2 + y^2 - 2x - 10y + 10) = 0$
$4x + 10y - 18 = 0$
Разделим на 2, чтобы упростить:
$2x + 5y - 9 = 0$

Из полученного линейного уравнения выразим $x$:
$2x = 9 - 5y \implies x = \frac{9 - 5y}{2}$

Подставим это выражение в уравнение первой окружности $(x + 1)^2 + y^2 = 9$:
$(\frac{9 - 5y}{2} + 1)^2 + y^2 = 9$
$(\frac{11 - 5y}{2})^2 + y^2 = 9$
$\frac{(11 - 5y)^2}{4} + y^2 = 9$
$121 - 110y + 25y^2 + 4y^2 = 36$
$29y^2 - 110y + 85 = 0$

Решая это квадратное уравнение, мы находим точные значения $y$, а затем и $x$. Вычисления показывают, что координаты точек пересечения приблизительно равны значениям, полученным графически.

Ответ: Приближенные координаты точек пересечения окружностей: $(-2.3; 2.7)$ и $(1.8; 1.1)$.

179 Построй на координатной плоскости две окружности: одну – с центром в точке $A (-1; 0)$ и радиусом 3 единичных отрезка, а вторую – с центром в точке $B (1; 5)$ и радиусом 4 единичных отрезка. Найди приближенное значение координат точек пересечения этих окружностей (1 ед. отр. = 1 см).