Страница 80 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Мерзляк, Полонский

11. Докажите, что значение выражения $2^8 - 1$ делится нацело на 51.

Решение.

$2^8 - 1 = (2^4 - 1)(\quad + \quad) = (2^2 - 1)(\quad + \quad)(\quad + \quad) =$

Решение.

Чтобы доказать, что значение выражения $2^8 - 1$ делится нацело на 51, разложим данное выражение на множители. Для этого будем последовательно применять формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

Представим $2^8 - 1$ как разность квадратов $(2^4)^2$ и $1^2$:

$2^8 - 1 = (2^4)^2 - 1^2 = (2^4 - 1)(2^4 + 1)$

Теперь разложим множитель $(2^4 - 1)$, представив его как разность квадратов $(2^2)^2$ и $1^2$:

$2^4 - 1 = (2^2)^2 - 1^2 = (2^2 - 1)(2^2 + 1)$

Подставим полученное разложение в наше выражение:

$2^8 - 1 = (2^2 - 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)$

Последний раз применим формулу разности квадратов к множителю $(2^2 - 1)$:

$2^2 - 1 = (2 - 1)(2 + 1)$

Таким образом, итоговое разложение на множители выглядит так:

$2^8 - 1 = (2-1)(2+1)(2^2+1)(2^4+1)$

Вычислим значение каждого из получившихся множителей:

$(2-1) = 1$

$(2+1) = 3$

$(2^2+1) = 4+1 = 5$

$(2^4+1) = 16+1 = 17$

Теперь мы можем записать исходное выражение как произведение этих чисел:

$2^8 - 1 = 1 \times 3 \times 5 \times 17$

Чтобы доказать делимость на 51, сгруппируем множители 3 и 17:

$2^8 - 1 = (3 \times 17) \times 1 \times 5 = 51 \times 5$

Поскольку выражение $2^8 - 1$ можно представить в виде произведения числа 51 и целого числа 5, это доказывает, что $2^8 - 1$ делится нацело на 51.

Ответ: Что и требовалось доказать.

12. Докажите, что значение выражения $3^6 - 1$ делится нацело на 13.

Для доказательства того, что значение выражения $3^6 - 1$ делится нацело на 13, можно преобразовать данное выражение, используя формулы сокращенного умножения. Рассмотрим два способа.

Представим выражение $3^6 - 1$ как разность квадратов, так как $3^6 = (3^3)^2$ и $1 = 1^2$. Выражение принимает вид: $3^6 - 1 = (3^3)^2 - 1^2$.

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = 3^3$ и $b = 1$: $(3^3 - 1)(3^3 + 1)$.

Вычислим значение $3^3 = 27$ и подставим его в разложение: $(27 - 1)(27 + 1) = 26 \times 28$.

В полученном произведении один из множителей, число 26, делится нацело на 13, так как $26 = 2 \times 13$. Поскольку один из множителей делится на 13, то и все произведение делится на 13. Следовательно, исходное выражение $3^6 - 1$ делится нацело на 13.

Ответ: что и требовалось доказать.

Представим выражение $3^6 - 1$ как разность кубов, так как $3^6 = (3^2)^3$ и $1 = 1^3$. Выражение принимает вид: $3^6 - 1 = (3^2)^3 - 1^3$.

Применим формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$, где $a = 3^2$ и $b = 1$: $(3^2 - 1)((3^2)^2 + 3^2 \cdot 1 + 1^2)$.

Вычислим значение $3^2 = 9$ и подставим его в разложение: $(9 - 1)(9^2 + 9 + 1) = 8 \times (81 + 9 + 1) = 8 \times 91$.

В полученном произведении один из множителей, число 91, делится нацело на 13, так как $91 = 7 \times 13$. Поскольку один из множителей делится на 13, то и все произведение делится на 13. Следовательно, исходное выражение $3^6 - 1$ делится нацело на 13.

Ответ: что и требовалось доказать.