Страница 76 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Мерзляк, Полонский

5. Разложите на множители, пользуясь формулой разности квадратов:

1) $ (x - 3)^2 - 4 = (x - 3 - 2)() = $

2) $ (y + 6)^2 - 9x^2 = $

3) $ 0.16 - (a - 1)^2 = $

4) $ (x - 2)^2 - (x - 5)^2 = (x - 2 - (x - 5))() = $

5) $ (a + 10)^2 - (b - 7)^2 = $

6) $ 64(a + 2b)^2 - 49(3a - b)^2 = $

7) $ (c^2 + 2c - 1)^2 - (c^2 + 3c + 4)^2 = $

1) Для разложения выражения $(x - 3)^2 - 4$ на множители воспользуемся формулой разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$. В данном случае $a = x - 3$ и $b^2 = 4$, следовательно, $b = 2$.
Подставляем значения в формулу:
$(x - 3)^2 - 2^2 = ((x - 3) - 2)((x - 3) + 2)$.
Упрощаем выражения в каждой из скобок:
$(x - 3 - 2)(x - 3 + 2) = (x - 5)(x - 1)$.
Ответ: $(x - 5)(x - 1)$.

2) В выражении $(y + 6)^2 - 9x^2$ имеем $a = y + 6$ и $b = \sqrt{9x^2} = 3x$.
Применяем формулу разности квадратов:
$(y + 6)^2 - (3x)^2 = ((y + 6) - 3x)((y + 6) + 3x) = (y - 3x + 6)(y + 3x + 6)$.
Ответ: $(y - 3x + 6)(y + 3x + 6)$.

3) В выражении $0.16 - (a - 1)^2$ имеем $a_1 = \sqrt{0.16} = 0.4$ и $b_1 = a - 1$.
Применяем формулу разности квадратов $a_1^2 - b_1^2 = (a_1 - b_1)(a_1 + b_1)$:
$(0.4)^2 - (a - 1)^2 = (0.4 - (a - 1))(0.4 + (a - 1)) = (0.4 - a + 1)(0.4 + a - 1) = (1.4 - a)(a - 0.6)$.
Ответ: $(1.4 - a)(a - 0.6)$.

4) В выражении $(x - 2)^2 - (x - 5)^2$ имеем $a = x - 2$ и $b = x - 5$.
Применяем формулу разности квадратов:
$((x - 2) - (x - 5))((x - 2) + (x - 5))$.
Упрощаем выражения в скобках:
$(x - 2 - x + 5)(x - 2 + x - 5) = (3)(2x - 7) = 3(2x - 7)$.
Ответ: $3(2x - 7)$.

5) В выражении $(a + 10)^2 - (b - 7)^2$ имеем $A = a + 10$ и $B = b - 7$.
Применяем формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$:
$((a + 10) - (b - 7))((a + 10) + (b - 7))$.
Упрощаем выражения в скобках:
$(a + 10 - b + 7)(a + 10 + b - 7) = (a - b + 17)(a + b + 3)$.
Ответ: $(a - b + 17)(a + b + 3)$.

6) Сначала преобразуем выражение $64(a + 2b)^2 - 49(3a - b)^2$ к виду разности квадратов.
$64(a + 2b)^2 - 49(3a - b)^2 = (8(a + 2b))^2 - (7(3a - b))^2$.
Здесь $A = 8(a + 2b) = 8a + 16b$ и $B = 7(3a - b) = 21a - 7b$.
Применяем формулу $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$:
$((8a + 16b) - (21a - 7b))((8a + 16b) + (21a - 7b))$.
Упрощаем выражения в скобках:
$(8a + 16b - 21a + 7b)(8a + 16b + 21a - 7b) = (-13a + 23b)(29a + 9b)$.
Ответ: $(-13a + 23b)(29a + 9b)$.

7) В выражении $(c^2 + 2c - 1)^2 - (c^2 + 3c + 4)^2$ имеем $a = c^2 + 2c - 1$ и $b = c^2 + 3c + 4$.
Применяем формулу разности квадратов:
$((c^2 + 2c - 1) - (c^2 + 3c + 4))((c^2 + 2c - 1) + (c^2 + 3c + 4))$.
Упрощаем выражения в скобках:
$(c^2 + 2c - 1 - c^2 - 3c - 4)(c^2 + 2c - 1 + c^2 + 3c + 4) = (-c - 5)(2c^2 + 5c + 3)$.
Ответ: $(-c - 5)(2c^2 + 5c + 3)$.

6. Найдите значение выражения $(0,3x + 0,7y)^2 – (0,7x + 0,3y)^2$, если $x = 3,7, y = 1,3.$

Решение.

Разложим данное выражение на множители, пользуясь формулой разности квадратов:

$(0,3x + 0,7y)^2 – (0,7x + 0,3y)^2 =$

Данное выражение представляет собой разность квадратов. Для его упрощения воспользуемся формулой сокращенного умножения: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

В нашем случае $a = 0.3x + 0.7y$ и $b = 0.7x + 0.3y$.

Разложим данное выражение на множители, пользуясь формулой разности квадратов:

$(0.3x + 0.7y)^2 - (0.7x + 0.3y)^2 = ((0.3x + 0.7y) - (0.7x + 0.3y)) \cdot ((0.3x + 0.7y) + (0.7x + 0.3y))$

Теперь упростим выражение в каждой из скобок.

Первая скобка:
$(0.3x + 0.7y) - (0.7x + 0.3y) = 0.3x + 0.7y - 0.7x - 0.3y = (0.3x - 0.7x) + (0.7y - 0.3y) = -0.4x + 0.4y = 0.4(y - x)$

Вторая скобка:
$(0.3x + 0.7y) + (0.7x + 0.3y) = 0.3x + 0.7y + 0.7x + 0.3y = (0.3x + 0.7x) + (0.7y + 0.3y) = x + y$

Таким образом, исходное выражение можно записать как:
$0.4(y - x)(x + y)$

Подставим в полученное выражение значения $x = 3.7$ и $y = 1.3$:
$0.4 \cdot (1.3 - 3.7) \cdot (3.7 + 1.3) = 0.4 \cdot (-2.4) \cdot 5$

Выполним вычисления:
$0.4 \cdot 5 \cdot (-2.4) = 2 \cdot (-2.4) = -4.8$

Ответ: -4.8

12. С первого поля собрали по 40 ц ячменя с гектара, а со второго – по 35 ц с гектара. Всего было собрано 2600 ц. На следующий год урожайность первого поля удалось повысить на 10%, а второго – на 20%, в результате чего весь собранный урожай увеличился на 400 ц. Найдите площадь каждого поля.

Решение.

Пусть площадь первого поля равна $x$ га, а второго — $y$ га. Тогда с первого поля собрали $40x$ ц ячменя, а со второго — $35y$ ц.

Решение.

Пусть площадь первого поля равна $x$ га, а второго — $y$ га. В первый год с первого поля, урожайность которого 40 ц/га, собрали $40x$ центнеров ячменя. Со второго поля, урожайность которого 35 ц/га, собрали $35y$ центнеров. Всего было собрано 2600 ц, следовательно, мы можем составить первое уравнение:
$40x + 35y = 2600$

На следующий год урожайность первого поля повысилась на 10%, то есть стала равна $40 \cdot (1 + 0.10) = 40 \cdot 1.1 = 44$ ц/га. Урожайность второго поля повысилась на 20%, то есть стала равна $35 \cdot (1 + 0.20) = 35 \cdot 1.2 = 42$ ц/га. Весь собранный урожай увеличился на 400 ц и составил $2600 + 400 = 3000$ ц. Соответственно, урожай со следующего года описывается вторым уравнением:
$44x + 42y = 3000$

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя переменными:
$\begin{cases} 40x + 35y = 2600 \\ 44x + 42y = 3000 \end{cases}$

Для упрощения вычислений разделим первое уравнение на 5, а второе — на 2:
$\begin{cases} 8x + 7y = 520 \\ 22x + 21y = 1500 \end{cases}$

Решим систему методом алгебраического сложения. Для этого умножим все члены первого уравнения на -3, чтобы при сложении уравнений избавиться от переменной $y$:
$-3 \cdot (8x + 7y) = -3 \cdot 520$
$-24x - 21y = -1560$

Теперь сложим полученное уравнение со вторым уравнением системы:
$(-24x - 21y) + (22x + 21y) = -1560 + 1500$
$-2x = -60$
$x = 30$

Мы нашли площадь первого поля. Теперь подставим значение $x=30$ в одно из упрощенных уравнений, например, в $8x + 7y = 520$, чтобы найти $y$:
$8(30) + 7y = 520$
$240 + 7y = 520$
$7y = 520 - 240$
$7y = 280$
$y = 40$

Таким образом, площадь первого поля составляет 30 гектаров, а площадь второго поля — 40 гектаров.

Ответ: площадь первого поля — 30 га, площадь второго поля — 40 га.