Страница 78 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Мерзляк, Полонский

14. Расстояние между городами $A$ и $B$ равно 45 км. Из города $A$ в город $B$ выехал велосипедист. Через 2 ч после этого из города $A$ выехал мотоциклист, который за 30 мин догнал велосипедиста и, не останавливаясь, продолжил путь в город $B$. Приехав в город $B$, мотоциклист сразу развернулся, поехал назад и встретил велосипедиста через 25 мин после первой встречи. Найдите скорость каждого из них.

Для решения задачи введем переменные. Пусть $v_в$ — скорость велосипедиста в км/ч, а $v_м$ — скорость мотоциклиста в км/ч. Расстояние между городами $S = 45$ км.

1. Составление первого уравнения (первая встреча)

Велосипедист выехал из города А. Через 2 часа после него из того же города А выехал мотоциклист. Мотоциклист догнал велосипедиста через 30 минут (0,5 часа) после своего выезда.

К моменту первой встречи мотоциклист был в пути 0,5 часа. За это время он проехал расстояние $S_1 = v_м \cdot 0.5$.

Велосипедист к моменту первой встречи был в пути 2 часа + 0,5 часа = 2,5 часа. За это время он проехал расстояние $S_2 = v_в \cdot 2.5$.

Так как они выехали из одной точки и встретились, пройденные ими расстояния равны:

$S_1 = S_2$

$0.5 \cdot v_м = 2.5 \cdot v_в$

Разделив обе части уравнения на 0.5, получаем соотношение скоростей:

$v_м = 5 \cdot v_в$

2. Составление второго уравнения (вторая встреча)

Первая встреча произошла на расстоянии $S_1 = 0.5 \cdot v_м$ от города А. Расстояние, которое осталось проехать мотоциклисту до города В, составляет $45 - S_1 = 45 - 0.5 \cdot v_м$.

После первой встречи мотоциклист доехал до города В и, развернувшись, поехал назад. Велосипедист продолжал ехать в сторону города В. Вторая встреча произошла через 25 минут ($25/60 = 5/12$ часа) после первой.

За эти $5/12$ часа велосипедист и мотоциклист двигались навстречу друг другу (после того, как мотоциклист развернулся в городе В). Суммарное расстояние, которое они проехали за это время, равно удвоенному расстоянию от места первой встречи до города В. То есть, мотоциклист проехал от места первой встречи до В и назад, а велосипедист — от места первой встречи вперед. Вместе они "покрыли" расстояние до города B дважды.

Расстояние, которое проехал велосипедист за $5/12$ часа: $S_в = v_в \cdot \frac{5}{12}$

Расстояние, которое проехал мотоциклист за $5/12$ часа: $S_м = v_м \cdot \frac{5}{12}$

Их суммарное расстояние равно $2 \cdot (45 - S_1)$:

$S_в + S_м = 2 \cdot (45 - 0.5 \cdot v_м)$

$v_в \cdot \frac{5}{12} + v_м \cdot \frac{5}{12} = 2 \cdot (45 - 0.5 \cdot v_м)$

$(v_в + v_м) \cdot \frac{5}{12} = 90 - v_м$

3. Решение системы уравнений

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1) $v_м = 5v_в$

2) $(v_в + v_м) \cdot \frac{5}{12} = 90 - v_м$

Подставим выражение для $v_м$ из первого уравнения во второе:

$(v_в + 5v_в) \cdot \frac{5}{12} = 90 - 5v_в$

$6v_в \cdot \frac{5}{12} = 90 - 5v_в$

$\frac{30v_в}{12} = 90 - 5v_в$

$\frac{5v_в}{2} = 90 - 5v_в$

$2.5v_в = 90 - 5v_в$

$2.5v_в + 5v_в = 90$

$7.5v_в = 90$

$v_в = \frac{90}{7.5} = \frac{900}{75} = 12$

Таким образом, скорость велосипедиста равна 12 км/ч.

Теперь найдем скорость мотоциклиста, используя первое уравнение:

$v_м = 5 \cdot v_в = 5 \cdot 12 = 60$

Скорость мотоциклиста равна 60 км/ч.

Ответ: скорость велосипедиста — 12 км/ч, скорость мотоциклиста — 60 км/ч.