Страница 75 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Мерзляк, Полонский

4. Решите уравнение:

1) $x^2 - 0,81 = 0$;

Решение.

Применив формулу разности квадратов и условие равенства произведения нулю, получим:

$(x - )(x + ) = 0$;

$x - = 0$ или $x + = 0$;

$x = $ или $x = $.

Ответ:

2) $4x^2 - 25 = 0$;

Решение.

Ответ:

3) $3600 - 144x^2 = 0$.

1) $x^2 - 0,81 = 0$

Решение.

Для решения данного уравнения воспользуемся формулой разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Представим $0,81$ как квадрат числа $0,9$, так как $0,9^2 = 0,81$.

Уравнение примет вид:

$x^2 - 0,9^2 = 0$

Теперь разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов, где $a = x$ и $b = 0,9$:

$(x - 0,9)(x + 0,9) = 0$

Произведение двух множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю. Поэтому мы можем приравнять каждую скобку к нулю, чтобы найти возможные значения $x$.

$x - 0,9 = 0$ или $x + 0,9 = 0$

Решая эти два простых уравнения, получаем:

$x_1 = 0,9$

$x_2 = -0,9$

Ответ: $-0,9; 0,9$.

2) $4x^2 - 25 = 0$

Решение.

Это уравнение также решается с помощью формулы разности квадратов. Сначала представим каждый член в виде квадрата.

$4x^2 = (2x)^2$

$25 = 5^2$

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$(2x)^2 - 5^2 = 0$

Применим формулу разности квадратов, где $a = 2x$ и $b = 5$:

$(2x - 5)(2x + 5) = 0$

Теперь приравняем каждый множитель к нулю:

$2x - 5 = 0$ или $2x + 5 = 0$

Решим каждое уравнение относительно $x$:

$2x = 5 \implies x_1 = \frac{5}{2} = 2,5$

$2x = -5 \implies x_2 = -\frac{5}{2} = -2,5$

Ответ: $-2,5; 2,5$.

3) $3600 - 144x^2 = 0$

Решение.

Для упрощения вычислений можно вынести общий множитель за скобки. Наибольший общий делитель для $3600$ и $144$ — это $144$ ($3600 = 144 \cdot 25$).

$144(25 - x^2) = 0$

Разделим обе части уравнения на $144$:

$25 - x^2 = 0$

Мы снова получили уравнение, которое можно решить с помощью формулы разности квадратов. Представим $25$ как $5^2$:

$5^2 - x^2 = 0$

Разложим на множители, где $a = 5$ и $b = x$:

$(5 - x)(5 + x) = 0$

Приравняем каждый множитель к нулю:

$5 - x = 0$ или $5 + x = 0$

Находим корни уравнения:

$x_1 = 5$

$x_2 = -5$

Ответ: $-5; 5$.

11. Имеется два водно-солевых раствора. Первый раствор содержит $35\%$, а второй – $15\%$ соли. Сколько граммов каждого раствора надо взять, чтобы получить $200$ г раствора, содержащего $29\%$ соли?

Для решения этой задачи составим систему из двух уравнений с двумя неизвестными. Обозначим массу первого раствора (с 35% содержанием соли) как $x$ грамм, а массу второго раствора (с 15% содержанием соли) как $y$ грамм.

1. Уравнение общей массы.

Сумма масс двух растворов должна быть равна массе итогового раствора, то есть 200 г. Отсюда получаем первое уравнение:

$x + y = 200$

2. Уравнение массы соли.

Масса соли в первом растворе составляет 35% от его общей массы, то есть $0.35x$ г.

Масса соли во втором растворе составляет 15% от его общей массы, то есть $0.15y$ г.

Масса соли в конечном растворе должна составлять 29% от его общей массы (200 г), что равно $0.29 \cdot 200 = 58$ г.

Сумма масс соли из двух исходных растворов должна быть равна массе соли в конечном растворе. Отсюда получаем второе уравнение:

$0.35x + 0.15y = 58$

3. Решение системы уравнений.

Мы получили систему уравнений:

$\begin{cases} x + y = 200 \\ 0.35x + 0.15y = 58 \end{cases}$

Выразим $y$ из первого уравнения:

$y = 200 - x$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$0.35x + 0.15(200 - x) = 58$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $x$:

$0.35x + 30 - 0.15x = 58$

$0.20x = 58 - 30$

$0.2x = 28$

$x = \frac{28}{0.2}$

$x = 140$

Таким образом, масса первого раствора составляет 140 г. Теперь найдем массу второго раствора, подставив значение $x$ в выражение для $y$:

$y = 200 - 140$

$y = 60$

Масса второго раствора составляет 60 г.

4. Проверка.

Проверим, выполняется ли условие по массе соли:

Масса соли в 140 г 35%-го раствора: $140 \cdot 0.35 = 49$ г.

Масса соли в 60 г 15%-го раствора: $60 \cdot 0.15 = 9$ г.

Общая масса соли: $49 + 9 = 58$ г.

Масса соли в 200 г 29%-го раствора: $200 \cdot 0.29 = 58$ г.

Условия выполняются, решение верное.

Ответ: необходимо взять 140 грамм первого раствора (35%) и 60 грамм второго раствора (15%).