Страница 69 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Мерзляк, Полонский

1. Разложите на множители многочлен:

1) $3m + 3n + mx + nx = (3m + 3n) + (mx + nx) = 3(m + n) + x(m + n) = $

2) $5a + 5c - ab - bc = 5(a + c) - $

3) $8c - 8 - ac + a = $

4) $xy + 2y - x - 2 = $

5) $4ab + 8b + 3a + 6 = $

6) $x^3 + x^2 + x + 1 = $

7) $ab^2 - c^2 + b^2c - ac = ab^2 + b^2c - c^2 - ac = $

8) $a^2b + 2c^2 - abc - 2ac = $

9) $16xy^2 - 14yz^2 - 32xz^2 + 7y^3 = $

1) Для разложения многочлена $3m + 3n + mx + nx$ на множители сгруппируем слагаемые: первые два и последние два. Из первой группы вынесем общий множитель 3, а из второй – $x$.

$3m + 3n + mx + nx = (3m + 3n) + (mx + nx) = 3(m + n) + x(m + n)$

Теперь вынесем общий множитель $(m + n)$ за скобки:

$(m + n)(3 + x)$

Ответ: $(m + n)(3 + x)$

2) В многочлене $5a + 5c - ab - bc$ сгруппируем слагаемые $(5a + 5c)$ и $(-ab - bc)$. Из первой группы вынесем 5, из второй – $-b$.

$5a + 5c - ab - bc = (5a + 5c) - (ab + bc) = 5(a + c) - b(a + c)$

Вынесем общий множитель $(a + c)$ за скобки:

$(5 - b)(a + c)$

Ответ: $(5 - b)(a + c)$

3) В многочлене $8c - 8 - ac + a$ сгруппируем слагаемые $(8c - 8)$ и $(-ac + a)$. Из первой группы вынесем 8, из второй – $-a$.

$8c - 8 - ac + a = (8c - 8) - (ac - a) = 8(c - 1) - a(c - 1)$

Вынесем общий множитель $(c - 1)$ за скобки:

$(8 - a)(c - 1)$

Ответ: $(8 - a)(c - 1)$

4) В многочлене $xy + 2y - x - 2$ сгруппируем слагаемые $(xy + 2y)$ и $(-x - 2)$. Из первой группы вынесем $y$, из второй – $-1$.

$xy + 2y - x - 2 = (xy + 2y) - (x + 2) = y(x + 2) - 1(x + 2)$

Вынесем общий множитель $(x + 2)$ за скобки:

$(y - 1)(x + 2)$

Ответ: $(y - 1)(x + 2)$

5) В многочлене $4ab + 8b + 3a + 6$ сгруппируем слагаемые $(4ab + 8b)$ и $(3a + 6)$. Из первой группы вынесем $4b$, из второй – 3.

$4ab + 8b + 3a + 6 = (4ab + 8b) + (3a + 6) = 4b(a + 2) + 3(a + 2)$

Вынесем общий множитель $(a + 2)$ за скобки:

$(4b + 3)(a + 2)$

Ответ: $(4b + 3)(a + 2)$

6) В многочлене $x^3 + x^2 + x + 1$ сгруппируем слагаемые $(x^3 + x^2)$ и $(x + 1)$. Из первой группы вынесем $x^2$, из второй – 1.

$x^3 + x^2 + x + 1 = (x^3 + x^2) + (x + 1) = x^2(x + 1) + 1(x + 1)$

Вынесем общий множитель $(x + 1)$ за скобки:

$(x^2 + 1)(x + 1)$

Ответ: $(x^2 + 1)(x + 1)$

7) В многочлене $ab^2 - c^2 + b^2c - ac$ переставим слагаемые для удобства группировки: $ab^2 + b^2c - c^2 - ac$. Сгруппируем $(ab^2 + b^2c)$ и $(-c^2 - ac)$.

$ab^2 + b^2c - c^2 - ac = (ab^2 + b^2c) - (c^2 + ac) = b^2(a + c) - c(c + a)$

Вынесем общий множитель $(a + c)$ за скобки:

$(b^2 - c)(a + c)$

Ответ: $(b^2 - c)(a + c)$

8) В многочлене $a^2b + 2c^2 - abc - 2ac$ переставим слагаемые: $a^2b - abc - 2ac + 2c^2$. Сгруппируем $(a^2b - abc)$ и $(-2ac + 2c^2)$.

$a^2b - abc - 2ac + 2c^2 = (a^2b - abc) - (2ac - 2c^2) = ab(a - c) - 2c(a - c)$

Вынесем общий множитель $(a - c)$ за скобки:

$(ab - 2c)(a - c)$

Ответ: $(ab - 2c)(a - c)$

9) В многочлене $16xy^2 - 14yz^2 - 32xz^2 + 7y^3$ переставим слагаемые: $16xy^2 - 32xz^2 + 7y^3 - 14yz^2$. Сгруппируем $(16xy^2 - 32xz^2)$ и $(7y^3 - 14yz^2)$.

$(16xy^2 - 32xz^2) + (7y^3 - 14yz^2) = 16x(y^2 - 2z^2) + 7y(y^2 - 2z^2)$

Вынесем общий множитель $(y^2 - 2z^2)$ за скобки:

$(16x + 7y)(y^2 - 2z^2)$

Ответ: $(16x + 7y)(y^2 - 2z^2)$

2. Найдите значение выражения:

1) $38,14 \cdot 12,26 + 12,26 \cdot 11,86 - 24,37 \cdot 2,26 - 2,26 \cdot 25,63 = 12,26 \cdot (38,14 + 11,86) - $

2) $0,7 \cdot 2,48 - 0,3 \cdot 1,62 - 0,4 \cdot 2,48 + 0,3 \cdot 3,14 = $

3) $0,4^3 - 2 \cdot 0,4^2 \cdot 0,3 + 0,4 \cdot 0,3^2 - 2 \cdot 0,3^3 = $

1) $38,14 \cdot 12,26 + 12,26 \cdot 11,86 - 24,37 \cdot 2,26 - 2,26 \cdot 25,63$

Для упрощения вычислений воспользуемся распределительным свойством умножения. Сначала сгруппируем слагаемые с общими множителями:

$(38,14 \cdot 12,26 + 12,26 \cdot 11,86) - (24,37 \cdot 2,26 + 2,26 \cdot 25,63)$

Вынесем общие множители за скобки. Из первой группы вынесем $12,26$, а из второй $-2,26$ (обратите внимание, что при вынесении отрицательного множителя знаки в скобках меняются на противоположные):

$12,26 \cdot (38,14 + 11,86) - 2,26 \cdot (24,37 + 25,63)$

Теперь выполним сложение в каждой из скобок:

$38,14 + 11,86 = 50$

$24,37 + 25,63 = 50$

Подставим полученные значения обратно в выражение:

$12,26 \cdot 50 - 2,26 \cdot 50$

Мы снова получили выражение, в котором можно вынести общий множитель $50$ за скобки:

$50 \cdot (12,26 - 2,26)$

Выполним вычитание в скобках:

$12,26 - 2,26 = 10$

Осталось найти конечное произведение:

$50 \cdot 10 = 500$

Ответ: $500$

2) $0,7 \cdot 2,48 - 0,3 \cdot 1,62 - 0,4 \cdot 2,48 + 0,3 \cdot 3,14$

Перегруппируем слагаемые так, чтобы члены с одинаковыми множителями стояли рядом:

$(0,7 \cdot 2,48 - 0,4 \cdot 2,48) + (0,3 \cdot 3,14 - 0,3 \cdot 1,62)$

Вынесем общие множители $2,48$ и $0,3$ за скобки в каждой группе:

$2,48 \cdot (0,7 - 0,4) + 0,3 \cdot (3,14 - 1,62)$

Вычислим значения выражений в скобках:

$0,7 - 0,4 = 0,3$

$3,14 - 1,62 = 1,52$

Подставим эти результаты в наше выражение:

$2,48 \cdot 0,3 + 0,3 \cdot 1,52$

Теперь можно вынести за скобки общий множитель $0,3$:

$0,3 \cdot (2,48 + 1,52)$

Выполним сложение в скобках:

$2,48 + 1,52 = 4$

Найдем окончательное значение:

$0,3 \cdot 4 = 1,2$

Ответ: $1,2$

3) $0,4^3 - 2 \cdot 0,4^2 \cdot 0,3 + 0,4 \cdot 0,3^2 - 2 \cdot 0,3^3$

Для нахождения значения этого выражения сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое:

$(0,4^3 - 2 \cdot 0,4^2 \cdot 0,3) + (0,4 \cdot 0,3^2 - 2 \cdot 0,3^3)$

Вынесем за скобки общие множители в каждой группе. Из первой группы выносим $0,4^2$, из второй — $0,3^2$:

$0,4^2 \cdot (0,4 - 2 \cdot 0,3) + 0,3^2 \cdot (0,4 - 2 \cdot 0,3)$

Мы видим, что в обеих частях выражения появился общий множитель в скобках. Вычислим его значение:

$0,4 - 2 \cdot 0,3 = 0,4 - 0,6 = -0,2$

Теперь вынесем этот общий множитель $(0,4 - 2 \cdot 0,3)$ за скобки:

$(0,4^2 + 0,3^2) \cdot (0,4 - 2 \cdot 0,3)$

Подставим вычисленное значение $-0,2$ и возведем числа в первой скобке в квадрат:

$(0,16 + 0,09) \cdot (-0,2)$

Выполним сложение в первой скобке:

$0,16 + 0,09 = 0,25$

Осталось перемножить полученные числа:

$0,25 \cdot (-0,2) = -0,05$

Ответ: $-0,05$

3. Из 7 м ткани можно сшить 2 одинаковых женских костюма и один детский, а из 15 м этой ткани — 2 таких женских костюма и 6 детских. Сколько метров ткани необходимо для пошива одного женского костюма и сколько — для одного детского?

Решение.

Пусть для пошива одного женского костюма требуется $x$ м ткани, а одного детского — $y$ м. Для пошива двух женских костюмов требуется $2x$ м ткани, а шести детских — $6y$ м. Тогда можно записать систему уравнений:

Решение.

Пусть для пошива одного женского костюма требуется $x$ м ткани, а для одного детского костюма — $y$ м ткани.

Согласно первому условию, из 7 м ткани можно сшить 2 женских костюма и 1 детский. Это можно записать в виде уравнения:
$2x + y = 7$

Согласно второму условию, из 15 м той же ткани можно сшить 2 таких же женских костюма и 6 детских. Это дает нам второе уравнение:
$2x + 6y = 15$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя переменными:
$ \begin{cases} 2x + y = 7 \\ 2x + 6y = 15 \end{cases} $

Для решения системы вычтем первое уравнение из второго. Это позволит нам исключить переменную $x$ и найти $y$:
$(2x + 6y) - (2x + y) = 15 - 7$
$2x + 6y - 2x - y = 8$
$5y = 8$
$y = 8 \div 5$
$y = 1.6$
Таким образом, для пошива одного детского костюма требуется 1,6 метра ткани.

Теперь, зная значение $y$, подставим его в первое уравнение системы ($2x + y = 7$), чтобы найти $x$:
$2x + 1.6 = 7$
$2x = 7 - 1.6$
$2x = 5.4$
$x = 5.4 \div 2$
$x = 2.7$
Таким образом, для пошива одного женского костюма требуется 2,7 метра ткани.

Ответ: для пошива одного женского костюма необходимо 2,7 м ткани, а для одного детского — 1,6 м ткани.