Страница 67 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Мерзляк, Полонский

8. Докажите, что значение выражения:

1) $11^4 + 11^3$ делится нацело на 12;

2) $8^6 - 2^{14}$ делится нацело на 15;

3) $7^{1017} - 5 \cdot 7^{1016} + 3 \cdot 7^{1015}$ делится нацело на 17;

4) $24^4 - 8^5$ делится нацело на 73.

Решение.

1) $11^4 + 11^3 = 11^3($ + $)$

2) $8^6 - 2^{14} = (2^3)^6 - 2^{14}=$

3) $7^{1017} - 5 \cdot 7^{1016} + 3 \cdot 7^{1015}=$

4) $24^4 - 8^5 = (8 \cdot 3)^4 - 8^5=$

1) Чтобы доказать, что значение выражения $11^4 + 11^3$ делится нацело на 12, необходимо преобразовать его. Для этого вынесем общий множитель $11^3$ за скобки:

$11^4 + 11^3 = 11^3 \cdot 11^1 + 11^3 \cdot 1 = 11^3(11 + 1) = 11^3 \cdot 12$

В результате мы получили произведение, в котором один из множителей равен 12. Следовательно, все выражение делится на 12 без остатка, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

2) Чтобы доказать, что значение выражения $8^6 - 2^{14}$ делится нацело на 15, приведем степени к общему основанию. Заметим, что $8 = 2^3$. Тогда выражение можно переписать так:

$8^6 - 2^{14} = (2^3)^6 - 2^{14} = 2^{3 \cdot 6} - 2^{14} = 2^{18} - 2^{14}$

Теперь вынесем за скобки общий множитель в наименьшей степени, то есть $2^{14}$:

$2^{14}(2^{18-14} - 1) = 2^{14}(2^4 - 1)$

Вычислим значение выражения в скобках: $2^4 - 1 = 16 - 1 = 15$.

Таким образом, исходное выражение равно $2^{14} \cdot 15$. Так как один из множителей равен 15, все выражение делится на 15 нацело.

Ответ: Доказано.

3) Чтобы доказать, что значение выражения $7^{1017} - 5 \cdot 7^{1016} + 3 \cdot 7^{1015}$ делится нацело на 17, вынесем за скобки общий множитель в наименьшей степени, то есть $7^{1015}$:

$7^{1015}(7^{1017-1015} - 5 \cdot 7^{1016-1015} + 3) = 7^{1015}(7^2 - 5 \cdot 7^1 + 3)$

Вычислим значение выражения в скобках:

$49 - 5 \cdot 7 + 3 = 49 - 35 + 3 = 14 + 3 = 17$

Получаем, что исходное выражение равно $7^{1015} \cdot 17$. Так как один из множителей равен 17, все выражение делится на 17 нацело.

Ответ: Доказано.

4) Чтобы доказать, что значение выражения $24^4 - 8^5$ делится нацело на 73, преобразуем его, представив 24 как $3 \cdot 8$:

$24^4 - 8^5 = (3 \cdot 8)^4 - 8^5 = 3^4 \cdot 8^4 - 8^5$

Вынесем за скобки общий множитель $8^4$:

$8^4(3^4 - 8^1) = 8^4(3^4 - 8)$

Вычислим значение выражения в скобках: $3^4 - 8 = 81 - 8 = 73$.

В результате исходное выражение равно $8^4 \cdot 73$. Так как один из множителей равен 73, все выражение делится на 73 нацело.

Ответ: Доказано.

9. Докажите, что если $a - b = 3$, то $ab^2 - a^2b + 3ab = 0$.

Решение.

$ab^2 - a^2b + 3ab = ab(\quad) =$

Для того чтобы доказать, что если $a - b = 3$, то $ab^2 - a^2b + 3ab = 0$, мы преобразуем левую часть второго равенства.

Рассмотрим выражение $ab^2 - a^2b + 3ab$. Вынесем за скобки общий множитель $ab$:

$ab^2 - a^2b + 3ab = ab(b - a + 3)$

Теперь воспользуемся условием $a - b = 3$. Из этого равенства можно выразить $b - a$. Для этого умножим обе части равенства на $-1$:

$-(a - b) = -3$

$b - a = -3$

Подставим полученное значение $b - a = -3$ в наше преобразованное выражение:

$ab(b - a + 3) = ab(-3 + 3)$

Выполним вычисление в скобках:

$ab(-3 + 3) = ab \cdot 0 = 0$

Таким образом, мы доказали, что левая часть равенства равна 0. Следовательно, утверждение верно.

Ответ: Чтобы доказать равенство, в выражении $ab^2 - a^2b + 3ab$ выносим общий множитель $ab$ за скобки, получая $ab(b - a + 3)$. Из условия $a - b = 3$ следует, что $b - a = -3$. Подставляем это значение в скобки: $ab(-3 + 3) = ab \cdot 0 = 0$. Равенство доказано.

10. Докажите, что если $2m - 5n = 4$, то $6m^2n^2 - 15mn^3 - 21mn^2 = -9mn^2$.

Для доказательства данного утверждения преобразуем левую часть равенства $6m^2n^2 - 15mn^3 - 21mn^2 = -9mn^2$, используя условие $2m - 5n = 4$.

Рассмотрим выражение в левой части: $6m^2n^2 - 15mn^3 - 21mn^2$.

Сгруппируем первые два члена и вынесем за скобки общий множитель. Общим множителем для слагаемых $6m^2n^2$ и $-15mn^3$ является $3mn^2$.

$6m^2n^2 - 15mn^3 = 3mn^2(2m - 5n)$.

Теперь подставим полученное выражение обратно в левую часть равенства, которое мы доказываем:

$(6m^2n^2 - 15mn^3) - 21mn^2 = 3mn^2(2m - 5n) - 21mn^2$.

Согласно условию задачи, выражение $2m - 5n$ равно $4$. Произведем замену в полученном выражении:

$3mn^2(2m - 5n) - 21mn^2 = 3mn^2 \cdot 4 - 21mn^2$.

Теперь выполним арифметические действия:

$12mn^2 - 21mn^2 = -9mn^2$.

В результате преобразования левой части мы получили правую часть равенства: $-9mn^2$.

Таким образом, равенство $6m^2n^2 - 15mn^3 - 21mn^2 = -9mn^2$ является верным при условии, что $2m - 5n = 4$.

Ответ: что и требовалось доказать.

1. На строительстве животноводческого комплекса трудится 99 рабочих. Они разбиты на 7 бригад. Часть бригад состоит из 15 человек, а остальные — из 13 человек. Сколько бригад состоит из 15 человек?

Решение.

Пусть имеется $x$ бригад, состоящих из 15 рабочих, и $y$ бригад, состоящих из 13 рабочих. Поскольку всего имеется 7 бригад, то можно записать уравнение

Во всех $x$ бригадах по 15 рабочих имеется $15x$ человек, а во всех $y$ бригадах по 13 рабочих — $13y$ человек. Поскольку всего трудится 99 человек, то можно записать уравнение

Получили систему уравнений:

$\begin{cases} x + y = 7 \\ 15x + 13y = 99 \end{cases}$

Решение.

Пусть имеется $x$ бригад, состоящих из 15 рабочих, и $y$ бригад, состоящих из 13 рабочих. Поскольку всего имеется 7 бригад, то можно записать уравнение:

$x + y = 7$

Во всех $x$ бригадах по 15 рабочих имеется $15x$ человек, а во всех $y$ бригадах по 13 рабочих — $13y$ человек. Поскольку всего трудится 99 человек, то можно записать уравнение:

$15x + 13y = 99$

Получили систему уравнений:

$\begin{cases} x + y = 7 \\ 15x + 13y = 99 \end{cases}$

Решим полученную систему методом подстановки. Из первого уравнения выразим переменную $y$ через $x$:

$y = 7 - x$

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$15x + 13(7 - x) = 99$

Раскроем скобки и решим полученное линейное уравнение:

$15x + 91 - 13x = 99$

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$2x + 91 = 99$

Перенесем 91 в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$2x = 99 - 91$

$2x = 8$

Найдем $x$:

$x = \frac{8}{2}$

$x = 4$

Таким образом, на строительстве было 4 бригады, состоящие из 15 человек.

Ответ: 4.