Страница 65 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Мерзляк, Полонский

5. Представьте в виде произведения многочленов выражение:

1) $4a(a - 2) + 8a(a - 2)^2 =$

2) $(5x + 6)(3y - 1) - (3y - 1)(4x - 9) =$

3) $(y - 7)^5(2y + 5)^4 + (y - 7)^4(2y + 5)^5 =$

1) $4a(a - 2) + 8a(a - 2)^2$
Чтобы представить выражение в виде произведения, необходимо вынести за скобки общий множитель. В данном выражении два слагаемых: $4a(a - 2)$ и $8a(a - 2)^2$.
Определим общий множитель для этих слагаемых.

• Общий множитель для числовых коэффициентов 4 и 8 является 4.
• Общий множитель для переменных является $a$.
• Общий множитель для выражений в скобках является $(a - 2)$ в наименьшей степени, то есть в первой степени: $(a - 2)$.

Таким образом, общий множитель для всего выражения равен $4a(a - 2)$.
Вынесем его за скобки. От первого слагаемого останется 1, а от второго $2(a - 2)$.
$4a(a - 2) + 8a(a - 2)^2 = 4a(a - 2)(1 + 2(a - 2))$
Теперь упростим выражение во второй скобке:
$1 + 2(a - 2) = 1 + 2a - 4 = 2a - 3$
В итоге получаем произведение трех многочленов:
$4a(a - 2)(2a - 3)$
Ответ: $4a(a - 2)(2a - 3)$

2) $(5x + 6)(3y - 1) - (3y - 1)(4x - 9)$
Это выражение представляет собой разность двух произведений. Заметим, что в обоих произведениях есть общий множитель — это двучлен $(3y - 1)$.
Вынесем этот общий множитель за скобки:
$(3y - 1) \cdot [(5x + 6) - (4x - 9)]$
Теперь упростим выражение в квадратных скобках. Для этого раскроем внутренние скобки. Так как перед второй скобкой стоит знак минус, все знаки внутри нее меняются на противоположные.
$(5x + 6) - (4x - 9) = 5x + 6 - 4x + 9$
Приведем подобные слагаемые:
$(5x - 4x) + (6 + 9) = x + 15$
Подставим полученное выражение обратно. Итоговое произведение имеет вид:
$(3y - 1)(x + 15)$
Ответ: $(3y - 1)(x + 15)$

3) $(y - 7)^5(2y + 5)^4 + (y - 7)^4(2y + 5)^5$
Данное выражение является суммой двух слагаемых. Чтобы разложить его на множители, найдем общий множитель.
Оба слагаемых содержат множители $(y - 7)$ и $(2y + 5)$ в разных степенях.
В качестве общего множителя мы можем вынести каждый из этих двучленов в наименьшей степени, в которой он встречается в слагаемых.

• Наименьшая степень для $(y - 7)$ — это 4.
• Наименьшая степень для $(2y + 5)$ — это 4.

Значит, общий множитель равен $(y - 7)^4(2y + 5)^4$.
Вынесем его за скобки:
$(y - 7)^4(2y + 5)^4 \cdot [(y - 7) + (2y + 5)]$
Теперь упростим выражение в квадратных скобках, раскрыв внутренние скобки и приведя подобные слагаемые:
$(y - 7) + (2y + 5) = y - 7 + 2y + 5 = (y + 2y) + (-7 + 5) = 3y - 2$
Таким образом, окончательное разложение на множители выглядит так:
$(y - 7)^4(2y + 5)^4(3y - 2)$
Ответ: $(y - 7)^4(2y + 5)^4(3y - 2)$

6. Решите уравнение, используя разложение на множители:

1) $0,3x(x + 13) - 6(x + 13) = 0$;

Решение.

$(x + 13)(0,3x - 6) = 0$;

$x + 13 = 0$ или

2) $(4x - 3)(x - 10) + (2 - x)(x - 10) = 0$;

Решение.

Ответ:

3) $(6x - 15) - 2x(6x - 15) = 0.$

1) $0,3x(x + 13) - 6(x + 13) = 0$

Для решения этого уравнения методом разложения на множители, найдем общий множитель в левой части. В данном случае это выражение $(x + 13)$. Вынесем его за скобки:

$(x + 13)(0,3x - 6) = 0$

Произведение двух множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю. Следовательно, мы можем приравнять каждый множитель к нулю и решить полученные уравнения:

$x + 13 = 0$ или $0,3x - 6 = 0$

Решим первое уравнение:

$x + 13 = 0$

$x_1 = -13$

Решим второе уравнение:

$0,3x - 6 = 0$

$0,3x = 6$

$x = 6 \div 0,3$

$x_2 = 20$

Таким образом, уравнение имеет два корня.

Ответ: $-13; 20$.

2) $(4x - 3)(x - 10) + (2 - x)(x - 10) = 0$

В левой части уравнения есть общий множитель $(x - 10)$. Вынесем его за скобки:

$(x - 10) \cdot ((4x - 3) + (2 - x)) = 0$

Теперь упростим выражение во второй скобке, приведя подобные слагаемые:

$4x - 3 + 2 - x = 3x - 1$

Подставим упрощенное выражение обратно в уравнение:

$(x - 10)(3x - 1) = 0$

Приравняем каждый из множителей к нулю:

$x - 10 = 0$ или $3x - 1 = 0$

Решим первое уравнение:

$x - 10 = 0$

$x_1 = 10$

Решим второе уравнение:

$3x - 1 = 0$

$3x = 1$

$x_2 = 1/3$

Уравнение имеет два корня.

Ответ: $10; 1/3$.

3) $(6x - 15) - 2x(6x - 15) = 0$

В этом уравнении общий множитель также очевиден — это $(6x - 15)$. Чтобы вынести его за скобки, представим первый член как $1 \cdot (6x - 15)$:

$1 \cdot (6x - 15) - 2x(6x - 15) = 0$

Выносим общий множитель:

$(6x - 15)(1 - 2x) = 0$

Приравниваем каждый множитель к нулю:

$6x - 15 = 0$ или $1 - 2x = 0$

Решим первое уравнение:

$6x - 15 = 0$

$6x = 15$

$x = 15/6$

$x_1 = 5/2 = 2,5$

Решим второе уравнение:

$1 - 2x = 0$

$1 = 2x$

$x_2 = 1/2 = 0,5$

Уравнение имеет два корня.

Ответ: $0,5; 2,5$.