Страница 58 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Мерзляк, Полонский

5. Преобразуйте в многочлен выражение:

1) $-3a^2(a - 3)(a + 2) = -3a^2(a^2 + 2a - 3a - 6) = -3a^2(a^2 - a - 6) = $

2) $4m(m^2 - 6)(m^2 + 8) = $

3) $(a + 1)(a - 2)(a + 9) = (a + 1)((a - 2)(a + 9)) = (a + 1)(a^2 + 9a - 2a - 18) = $

4) $(2x - 5y)(x + 6y)(3x - y) = $

5) $(x^2 + x - 1)(x^2 - 3x + 7) = $

1) $-3a^2(a-3)(a+2)$
Сначала перемножим выражения в скобках $(a-3)$ и $(a+2)$, следуя примеру в задании:
$(a-3)(a+2) = a \cdot a + a \cdot 2 - 3 \cdot a - 3 \cdot 2 = a^2 + 2a - 3a - 6 = a^2 - a - 6$.
Теперь умножим полученный многочлен на одночлен $-3a^2$:
$-3a^2(a^2 - a - 6) = (-3a^2) \cdot a^2 + (-3a^2) \cdot (-a) + (-3a^2) \cdot (-6) = -3a^4 + 3a^3 + 18a^2$.
Ответ: $-3a^4 + 3a^3 + 18a^2$.

2) $4m(m^2 - 6)(m^2 + 8)$
Сначала перемножим выражения в скобках $(m^2 - 6)$ и $(m^2 + 8)$:
$(m^2 - 6)(m^2 + 8) = m^2 \cdot m^2 + m^2 \cdot 8 - 6 \cdot m^2 - 6 \cdot 8 = m^4 + 8m^2 - 6m^2 - 48 = m^4 + 2m^2 - 48$.
Теперь умножим полученный многочлен на одночлен $4m$:
$4m(m^4 + 2m^2 - 48) = 4m \cdot m^4 + 4m \cdot 2m^2 + 4m \cdot (-48) = 4m^5 + 8m^3 - 192m$.
Ответ: $4m^5 + 8m^3 - 192m$.

3) $(a+1)(a-2)(a+9)$
Перемножим две последние скобки $(a-2)$ и $(a+9)$, как показано в задании:
$(a-2)(a+9) = a \cdot a + a \cdot 9 - 2 \cdot a - 2 \cdot 9 = a^2 + 9a - 2a - 18 = a^2 + 7a - 18$.
Теперь умножим результат на первую скобку $(a+1)$:
$(a+1)(a^2 + 7a - 18) = a \cdot (a^2 + 7a - 18) + 1 \cdot (a^2 + 7a - 18) = a^3 + 7a^2 - 18a + a^2 + 7a - 18$.
Приведем подобные слагаемые:
$a^3 + (7a^2 + a^2) + (-18a + 7a) - 18 = a^3 + 8a^2 - 11a - 18$.
Ответ: $a^3 + 8a^2 - 11a - 18$.

4) $(2x - 5y)(x + 6y)(3x - y)$
Сначала перемножим первые два двучлена $(2x - 5y)$ и $(x + 6y)$:
$(2x - 5y)(x + 6y) = 2x \cdot x + 2x \cdot 6y - 5y \cdot x - 5y \cdot 6y = 2x^2 + 12xy - 5xy - 30y^2 = 2x^2 + 7xy - 30y^2$.
Теперь умножим полученный многочлен на третий двучлен $(3x - y)$:
$(2x^2 + 7xy - 30y^2)(3x - y) = 3x(2x^2 + 7xy - 30y^2) - y(2x^2 + 7xy - 30y^2) = (6x^3 + 21x^2y - 90xy^2) - (2x^2y + 7xy^2 - 30y^3)$.
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$6x^3 + 21x^2y - 90xy^2 - 2x^2y - 7xy^2 + 30y^3 = 6x^3 + (21-2)x^2y + (-90-7)xy^2 + 30y^3 = 6x^3 + 19x^2y - 97xy^2 + 30y^3$.
Ответ: $6x^3 + 19x^2y - 97xy^2 + 30y^3$.

5) $(x^2 + x - 1)(x^2 - 3x + 7)$
Перемножим два трехчлена, умножая каждый член первого на каждый член второго:
$x^2(x^2 - 3x + 7) + x(x^2 - 3x + 7) - 1(x^2 - 3x + 7) = (x^4 - 3x^3 + 7x^2) + (x^3 - 3x^2 + 7x) - (x^2 - 3x + 7)$.
Раскроем скобки и сгруппируем подобные слагаемые:
$x^4 - 3x^3 + 7x^2 + x^3 - 3x^2 + 7x - x^2 + 3x - 7 = x^4 + (-3x^3 + x^3) + (7x^2 - 3x^2 - x^2) + (7x + 3x) - 7$.
Приведем подобные слагаемые, чтобы получить окончательный многочлен:
$x^4 - 2x^3 + 3x^2 + 10x - 7$.
Ответ: $x^4 - 2x^3 + 3x^2 + 10x - 7$.

6. Найдите три последовательных натуральных числа, квадрат наименьшего из которых на 32 меньше произведения двух других чисел.

Решение.

Пусть наименьшее из искомых чисел равно $x$. Тогда следующие за ним

числа равны

$u$

Решение.
Пусть наименьшее из искомых натуральных чисел равно $x$. Поскольку числа последовательные, то следующие за ним числа равны $x+1$ и $x+2$.

Квадрат наименьшего числа равен $x^2$.

Произведение двух других чисел равно $(x+1)(x+2)$.

По условию задачи, квадрат наименьшего числа на 32 меньше произведения двух других. Это можно записать в виде уравнения:
$(x+1)(x+2) - x^2 = 32$

Раскроем скобки и решим уравнение:
$x^2 + 2x + x + 2 - x^2 = 32$
Приведем подобные слагаемые:
$3x + 2 = 32$
Перенесем 2 в правую часть уравнения, изменив знак:
$3x = 32 - 2$
$3x = 30$
Найдем $x$:
$x = \frac{30}{3}$
$x = 10$

Итак, наименьшее число равно 10.
Второе число: $x+1 = 10+1=11$.
Третье число: $x+2 = 10+2=12$.

Проверим: квадрат наименьшего числа $10^2 = 100$. Произведение двух других чисел $11 \cdot 12 = 132$. Разность $132 - 100 = 32$, что соответствует условию задачи.

Ответ: 10, 11, 12.

1. Запишите уравнение, которое получится путём сложения левых и правых частей уравнений системы:

1) $\begin{cases} 2x - y = 6, \\ 3x + y = 4; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 4x - 7y = 8, \\ 6y - 4x = 1. \end{cases}$

Ответ: 1)

2)

1)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 2x - y = 6 \\ 3x + y = 4 \end{cases} $$

Чтобы найти уравнение, которое получится путём сложения левых и правых частей, выполним следующие действия:

1. Сложим левые части обоих уравнений: $(2x - y) + (3x + y)$.

2. Сложим правые части обоих уравнений: $6 + 4$.

3. Приравняем полученные суммы друг к другу: $(2x - y) + (3x + y) = 6 + 4$.

4. Упростим полученное уравнение. Сначала раскроем скобки в левой части: $2x - y + 3x + y = 10$.

5. Приведем подобные слагаемые: $(2x + 3x) + (-y + y) = 10$.

6. Выполним сложение: $5x + 0 = 10$, что равносильно $5x = 10$.

Ответ: $5x = 10$

2)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 4x - 7y = 8 \\ 6y - 4x = 1 \end{cases} $$

Действуем аналогично первому пункту:

1. Складываем левые части: $(4x - 7y) + (6y - 4x)$.

2. Складываем правые части: $8 + 1$.

3. Приравниваем результаты: $(4x - 7y) + (6y - 4x) = 8 + 1$.

4. Упрощаем уравнение. Раскрываем скобки: $4x - 7y + 6y - 4x = 9$.

5. Группируем и приводим подобные слагаемые: $(4x - 4x) + (-7y + 6y) = 9$.

6. Выполняем вычисления: $0 + (-y) = 9$, что равносильно $-y = 9$.

Ответ: $-y = 9$

2. Дана система уравнений $\begin{cases} 2x - 6y = 7, \\ 5x + 4y = 3. \end{cases}$ Заполните пропуски. Чтобы коэффициенты при переменной $y$ стали противоположными числами, обе части первого уравнения надо умножить на число ______, а обе части второго — на число ______. Тогда получим систему уравнений $\begin{cases} \rule{6cm}{0.4pt}, \\ \rule{6cm}{0.4pt}. \end{cases}$ Сложив левые и правые части уравнений этой системы, получим уравнение $\rule{6cm}{0.4pt}$.

Для решения задачи необходимо выполнить следующие шаги, заполняя пропуски в соответствии с условием.

Чтобы коэффициенты при переменной 𝑦 стали противоположными числами, обе части первого уравнения надо умножить на число ___, а обе части второго — на число ___.

Исходная система уравнений: $$ \begin{cases} 2x - 6y = 7 \\ 5x + 4y = 3 \end{cases} $$ Коэффициенты при переменной $y$ равны $-6$ и $4$. Чтобы они стали противоположными, нужно привести их к общему кратному с противоположными знаками. Наименьшее общее кратное для чисел 6 и 4 равно 12. Мы хотим получить коэффициенты $-12$ и $12$.
Для этого умножим первое уравнение на 2, так как $-6 \cdot 2 = -12$.
Второе уравнение умножим на 3, так как $4 \cdot 3 = 12$.
Таким образом, в первый пропуск вписываем число 2, а во второй — число 3.
Ответ: Чтобы коэффициенты при переменной $y$ стали противоположными числами, обе части первого уравнения надо умножить на число 2, а обе части второго — на число 3.

Тогда получим систему уравнений {_______.

Выполним умножение для каждого уравнения:
Первое уравнение: $(2x - 6y) \cdot 2 = 7 \cdot 2 \implies 4x - 12y = 14$.
Второе уравнение: $(5x + 4y) \cdot 3 = 3 \cdot 3 \implies 15x + 12y = 9$.
Новая система уравнений будет выглядеть следующим образом:
Ответ: $$ \begin{cases} 4x - 12y = 14 \\ 15x + 12y = 9 \end{cases} $$

Сложив левые и правые части уравнений этой системы, получим уравнение _______.

Теперь сложим левые и правые части уравнений полученной системы:
Сложение левых частей: $(4x - 12y) + (15x + 12y) = 4x + 15x - 12y + 12y = 19x$.
Сложение правых частей: $14 + 9 = 23$.
В результате сложения получаем новое уравнение.
Ответ: $19x = 23$.

3. Решите методом сложения систему уравнений:

1) $\begin{cases} x + y = -1, \\ 3x - y = 2; \end{cases}$

Решение.

Сложив левые и правые части

уравнений системы, получим:

2) $\begin{cases} 5x - 2y = -8, \\ -5x + 3y = 7. \end{cases}$

Решение.

1) Решим систему уравнений:

$ \begin{cases} x + y = -1, \\ 3x - y = 2; \end{cases} $

Сложив левые и правые части уравнений системы, получим:

$(x + y) + (3x - y) = -1 + 2$

Приводим подобные слагаемые в левой части уравнения:

$4x = 1$

Отсюда находим значение $x$:

$x = \frac{1}{4}$

Теперь подставим найденное значение $x$ в первое уравнение исходной системы, чтобы найти значение $y$:

$\frac{1}{4} + y = -1$

Перенесем $\frac{1}{4}$ в правую часть уравнения:

$y = -1 - \frac{1}{4}$

$y = -\frac{5}{4}$

Проверим решение, подставив найденные значения во второе уравнение:

$3(\frac{1}{4}) - (-\frac{5}{4}) = \frac{3}{4} + \frac{5}{4} = \frac{8}{4} = 2$

$2 = 2$

Равенство верное, значит, система решена правильно.

Ответ: $(\frac{1}{4}; -\frac{5}{4})$

2) Решим систему уравнений:

$ \begin{cases} 5x - 2y = -8, \\ -5x + 3y = 7. \end{cases} $

Сложим левые и правые части уравнений. Заметим, что коэффициенты при переменной $x$ являются противоположными числами ($5$ и $-5$), поэтому при сложении слагаемые с $x$ взаимно уничтожатся.

$(5x - 2y) + (-5x + 3y) = -8 + 7$

Приводим подобные слагаемые:

$y = -1$

Подставим найденное значение $y$ в первое уравнение системы, чтобы найти $x$:

$5x - 2(-1) = -8$

$5x + 2 = -8$

Перенесем $2$ в правую часть уравнения:

$5x = -8 - 2$

$5x = -10$

Отсюда находим значение $x$:

$x = \frac{-10}{5}$

$x = -2$

Проверим решение, подставив найденные значения во второе уравнение:

$-5(-2) + 3(-1) = 10 - 3 = 7$

$7 = 7$

Равенство верное, значит, система решена правильно.

Ответ: $(-2; -1)$