Страница 56 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Мерзляк, Полонский

Чтобы умножить многочлен на многочлен, можно ____

и полученные ____

1. Для того чтобы заполнить пропуски в предложении, необходимо вспомнить правило умножения многочлена на многочлен. Это правило гласит, что для умножения одного многочлена на другой нужно каждый член первого многочлена умножить на каждый член второго многочлена, а затем сложить полученные произведения.

Таким образом, заполненное предложение будет выглядеть следующим образом:

Чтобы умножить многочлен на многочлен, можно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого и полученные произведения сложить.

Подробное объяснение и пример:

Это правило является прямым следствием распределительного закона умножения относительно сложения. Рассмотрим его применение на конкретном примере.

Умножим многочлен $(3x - 4)$ на многочлен $(2x + 5)$.

Шаг 1: Умножаем каждый член первого многочлена на каждый член второго.

Первый многочлен имеет члены $3x$ и $-4$. Второй многочлен имеет члены $2x$ и $5$.

Сначала умножим $3x$ на каждый член второго многочлена:

$3x \cdot 2x = 6x^2$

$3x \cdot 5 = 15x$

Затем умножим $-4$ на каждый член второго многочлена:

$-4 \cdot 2x = -8x$

$-4 \cdot 5 = -20$

Шаг 2: Складываем полученные произведения.

Теперь запишем сумму всех полученных одночленов:

$(3x - 4)(2x + 5) = 6x^2 + 15x - 8x - 20$

Шаг 3: Приводим подобные слагаемые.

В полученном многочлене есть подобные слагаемые: $15x$ и $-8x$. Выполним их сложение:

$15x - 8x = 7x$

Подставим результат обратно в выражение, чтобы получить окончательный вид многочлена:

$6x^2 + 7x - 20$

Ответ: Чтобы умножить многочлен на многочлен, можно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого и полученные произведения сложить.

2. Выполните умножение:

1) $(x - 7)(x + 3) = x^2 + \underline{3x} - \underline{7x} - 21 = x^2 - 4x - 21;$

2) $(x - 9)(x - 8) = \text{_____}$

3) $(3y + 2)(2y - 3) = \text{_____}$

4) $(-5a + b)(2b - a) = \text{_____}$

5) $(4x^2 + x)(6x + 7) = \text{_____}$

6) $(9a + 1)(2a^2 - 2a + 5) = \text{_____}$

2) $(x - 9)(x - 8) = x^2 - 8x - 9x + 72 = x^2 - 17x + 72$.
Ответ: $x^2 - 17x + 72$.

3) $(3y + 2)(2y - 3) = 6y^2 - 9y + 4y - 6 = 6y^2 - 5y - 6$.
Ответ: $6y^2 - 5y - 6$.

4) $(-5a + b)(2b - a) = -10ab + 5a^2 + 2b^2 - ab = 5a^2 - 11ab + 2b^2$.
Ответ: $5a^2 - 11ab + 2b^2$.

5) $(4x^2 + x)(6x + 7) = 24x^3 + 28x^2 + 6x^2 + 7x = 24x^3 + 34x^2 + 7x$.
Ответ: $24x^3 + 34x^2 + 7x$.

6) $(9a + 1)(2a^2 - 2a + 5) = 18a^3 - 18a^2 + 45a + 2a^2 - 2a + 5 = 18a^3 - 16a^2 + 43a + 5$.
Ответ: $18a^3 - 16a^2 + 43a + 5$.

3. Упростите выражение:

1) $(x + 2)(x + 3) - 3x(2 - x) =$

2) $(a + 4)(a - 3) + (a - 5)(a + 7) =$

3) $(c - 8)(2c - 1) - (3c + 5)(c - 7) =$

4) $(4m - n)(4m + 3n) - (2m - 9n)(8m + n) =$

1) $(x+2)(x+3) - 3x(2-x)$

Для упрощения данного выражения необходимо раскрыть скобки и привести подобные слагаемые. Раскроем произведение двух многочленов $(x+2)(x+3)$ по правилу умножения многочлена на многочлен (каждый член первого многочлена умножается на каждый член второго):

$(x+2)(x+3) = x \cdot x + x \cdot 3 + 2 \cdot x + 2 \cdot 3 = x^2 + 3x + 2x + 6$.

Приводим подобные слагаемые в полученном выражении: $x^2 + (3x + 2x) + 6 = x^2 + 5x + 6$.

Далее раскроем вторую часть выражения, умножив одночлен $-3x$ на многочлен $(2-x)$:

$-3x(2-x) = (-3x) \cdot 2 + (-3x) \cdot (-x) = -6x + 3x^2$.

Теперь подставим полученные выражения в исходное и объединим их:

$(x^2 + 5x + 6) + (-6x + 3x^2) = x^2 + 5x + 6 - 6x + 3x^2$.

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые (члены с одинаковой переменной в одинаковой степени):

$(x^2 + 3x^2) + (5x - 6x) + 6 = 4x^2 - x + 6$.

Ответ: $4x^2 - x + 6$.

2) $(a+4)(a-3) + (a-5)(a+7)$

Упростим выражение, последовательно раскрыв скобки в каждом произведении и приведя подобные слагаемые.

Сначала раскроем первую пару скобок:

$(a+4)(a-3) = a \cdot a + a \cdot (-3) + 4 \cdot a + 4 \cdot (-3) = a^2 - 3a + 4a - 12 = a^2 + a - 12$.

Затем раскроем вторую пару скобок:

$(a-5)(a+7) = a \cdot a + a \cdot 7 - 5 \cdot a - 5 \cdot 7 = a^2 + 7a - 5a - 35 = a^2 + 2a - 35$.

Теперь сложим полученные многочлены:

$(a^2 + a - 12) + (a^2 + 2a - 35) = a^2 + a - 12 + a^2 + 2a - 35$.

Сгруппируем и приведем подобные члены:

$(a^2 + a^2) + (a + 2a) + (-12 - 35) = 2a^2 + 3a - 47$.

Ответ: $2a^2 + 3a - 47$.

3) $(c-8)(2c-1) - (3c+5)(c-7)$

Для упрощения этого выражения также раскроем скобки и приведем подобные.

Раскрываем первую пару скобок:

$(c-8)(2c-1) = c \cdot 2c + c \cdot (-1) - 8 \cdot 2c - 8 \cdot (-1) = 2c^2 - c - 16c + 8 = 2c^2 - 17c + 8$.

Раскрываем вторую пару скобок:

$(3c+5)(c-7) = 3c \cdot c + 3c \cdot (-7) + 5 \cdot c + 5 \cdot (-7) = 3c^2 - 21c + 5c - 35 = 3c^2 - 16c - 35$.

Теперь вычтем второй результат из первого. Важно помнить, что знак "минус" перед скобкой меняет знаки всех слагаемых внутри нее на противоположные:

$(2c^2 - 17c + 8) - (3c^2 - 16c - 35) = 2c^2 - 17c + 8 - 3c^2 + 16c - (-35) = 2c^2 - 17c + 8 - 3c^2 + 16c + 35$.

Группируем и приводим подобные:

$(2c^2 - 3c^2) + (-17c + 16c) + (8 + 35) = -c^2 - c + 43$.

Ответ: $-c^2 - c + 43$.

4) $(4m-n)(4m+3n) - (2m-9n)(8m+n)$

Упростим последнее выражение. План действий тот же: раскрытие скобок и приведение подобных.

Раскроем произведение первых двух скобок:

$(4m-n)(4m+3n) = 4m \cdot 4m + 4m \cdot 3n - n \cdot 4m - n \cdot 3n = 16m^2 + 12mn - 4mn - 3n^2 = 16m^2 + 8mn - 3n^2$.

Раскроем произведение вторых двух скобок:

$(2m-9n)(8m+n) = 2m \cdot 8m + 2m \cdot n - 9n \cdot 8m - 9n \cdot n = 16m^2 + 2mn - 72mn - 9n^2 = 16m^2 - 70mn - 9n^2$.

Теперь выполним вычитание. Знак "минус" перед вторым произведением меняет знаки всех его членов при раскрытии скобок:

$(16m^2 + 8mn - 3n^2) - (16m^2 - 70mn - 9n^2) = 16m^2 + 8mn - 3n^2 - 16m^2 + 70mn + 9n^2$.

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(16m^2 - 16m^2) + (8mn + 70mn) + (-3n^2 + 9n^2) = 0 + 78mn + 6n^2 = 6n^2 + 78mn$.

Ответ: $6n^2 + 78mn$.

4. Решите уравнение:

1) $(2x - 3)(x + 1) - (2x - 1)(x - 1) = 0;$

2) $(3x - 2)(3x + 4) = 3(x + 1)(3x + 1);$

Решение.

Ответ:

3) $(3x - 7)(8x - 1) - (6x + 5)(4x + 1) = 19.$

1) $(2x - 3)(x + 1) - (2x - 1)(x - 1) = 0$

Для решения уравнения раскроем скобки, перемножая многочлены:

$(2x \cdot x + 2x \cdot 1 - 3 \cdot x - 3 \cdot 1) - (2x \cdot x - 2x \cdot 1 - 1 \cdot x + 1 \cdot 1) = 0$

$(2x^2 + 2x - 3x - 3) - (2x^2 - 2x - x + 1) = 0$

Приведем подобные слагаемые внутри каждой скобки:

$(2x^2 - x - 3) - (2x^2 - 3x + 1) = 0$

Раскроем вторые скобки, поменяв знаки на противоположные, так как перед ними стоит знак минус:

$2x^2 - x - 3 - 2x^2 + 3x - 1 = 0$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(2x^2 - 2x^2) + (-x + 3x) + (-3 - 1) = 0$

$0 + 2x - 4 = 0$

$2x - 4 = 0$

Перенесем свободный член в правую часть уравнения:

$2x = 4$

Разделим обе части на 2, чтобы найти $x$:

$x = \frac{4}{2}$

$x = 2$

Ответ: $2$

2) $(3x - 2)(3x + 4) = 3(x + 1)(3x + 1)$

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$3x \cdot 3x + 3x \cdot 4 - 2 \cdot 3x - 2 \cdot 4 = 9x^2 + 12x - 6x - 8 = 9x^2 + 6x - 8$

Теперь раскроем скобки в правой части:

$3(x \cdot 3x + x \cdot 1 + 1 \cdot 3x + 1 \cdot 1) = 3(3x^2 + x + 3x + 1) = 3(3x^2 + 4x + 1) = 9x^2 + 12x + 3$

Приравняем левую и правую части:

$9x^2 + 6x - 8 = 9x^2 + 12x + 3$

Перенесем все члены с $x$ в левую часть, а свободные члены в правую. Члены $9x^2$ в обеих частях взаимно уничтожаются:

$6x - 12x = 3 + 8$

Приведем подобные слагаемые:

$-6x = 11$

Разделим обе части на -6, чтобы найти $x$:

$x = -\frac{11}{6}$

Ответ: $-\frac{11}{6}$

3) $(3x - 7)(8x - 1) - (6x + 5)(4x + 1) = 19$

Раскроем скобки в левой части уравнения. Сначала первую пару:

$(3x \cdot 8x - 3x \cdot 1 - 7 \cdot 8x + 7 \cdot 1) = 24x^2 - 3x - 56x + 7 = 24x^2 - 59x + 7$

Теперь вторую пару скобок:

$(6x \cdot 4x + 6x \cdot 1 + 5 \cdot 4x + 5 \cdot 1) = 24x^2 + 6x + 20x + 5 = 24x^2 + 26x + 5$

Подставим полученные выражения в исходное уравнение:

$(24x^2 - 59x + 7) - (24x^2 + 26x + 5) = 19$

Раскроем вторые скобки, поменяв знаки на противоположные:

$24x^2 - 59x + 7 - 24x^2 - 26x - 5 = 19$

Приведем подобные слагаемые. Члены $24x^2$ взаимно уничтожаются:

$(-59x - 26x) + (7 - 5) = 19$

$-85x + 2 = 19$

Перенесем свободный член в правую часть:

$-85x = 19 - 2$

$-85x = 17$

Разделим обе части на -85:

$x = \frac{17}{-85}$

Сократим полученную дробь на 17:

$x = -\frac{1}{5}$

Ответ: $-\frac{1}{5}$

3. Найдите решения системы уравнений:

1) $$\\begin{cases} 2(x - y) + 1 = 3x - 4y \\\\ 10 - 4(x + y) = 3x - 3y \\end{cases}$$

Решение.

Преобразуем уравнения

данной системы:

$$\\begin{cases} 2x - 2y + 1 = 3x - 4y \\end{cases}$$

2) $$\\begin{cases} \\frac{x}{2} - \\frac{y}{6} = 1 \\\\ \\frac{x}{3} + \\frac{y}{4} = 3 \\end{cases}$$

Решение.

3) $$\\begin{cases} \\frac{2x + 3}{7} - \\frac{5y - 1}{2} = 1 \\\\ 3y + x = 12 \\end{cases}$$

Решение.

Умножим обе части первого

уравнения на число 14:

$$\\begin{cases} (\\frac{2x + 3}{7} - \\frac{5y - 1}{2}) \\cdot 14 = 1 \\cdot 14 \\\\ 3y + x = 12 \\end{cases}$$

4) $$\\begin{cases} \\frac{3x - 2}{7} - \\frac{2y + 1}{3} = 4 \\\\ \\frac{x + y}{4} + \\frac{5x - y}{8} = 2 \\end{cases}$$

Решение.

1)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} 2(x - y) + 1 = 3x - 4y \\ 10 - 4(x + y) = 3x - 3y \end{cases} $

Преобразуем оба уравнения, раскрывая скобки и приводя подобные слагаемые.
Первое уравнение:
$2x - 2y + 1 = 3x - 4y$
$4y - 2y = 3x - 2x - 1$
$2y = x - 1$
$x - 2y = 1$

Второе уравнение:
$10 - 4(x + y) = 3x - 3y$
$10 - 4x - 4y = 3x - 3y$
$10 = 3x + 4x - 3y + 4y$
$10 = 7x + y$
$7x + y = 10$

Получили упрощенную систему: $ \begin{cases} x - 2y = 1 \\ 7x + y = 10 \end{cases} $

Для решения системы используем метод подстановки. Из первого уравнения выразим $x$:
$x = 1 + 2y$

Подставим полученное выражение для $x$ во второе уравнение:
$7(1 + 2y) + y = 10$
$7 + 14y + y = 10$
$15y = 10 - 7$
$15y = 3$
$y = \frac{3}{15} = \frac{1}{5}$

Теперь найдем $x$, подставив значение $y$ в выражение для $x$:
$x = 1 + 2 \cdot \frac{1}{5} = 1 + \frac{2}{5} = \frac{5}{5} + \frac{2}{5} = \frac{7}{5}$

Ответ: $x = \frac{7}{5}, y = \frac{1}{5}$.

2)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} \frac{x}{2} - \frac{y}{6} = 1 \\ \frac{x}{3} + \frac{y}{4} = 3 \end{cases} $

Чтобы избавиться от дробей, умножим каждое уравнение на общий знаменатель его слагаемых.
Умножим первое уравнение на 6 (наименьшее общее кратное для 2 и 6):
$6 \cdot (\frac{x}{2} - \frac{y}{6}) = 6 \cdot 1$
$3x - y = 6$

Умножим второе уравнение на 12 (наименьшее общее кратное для 3 и 4):
$12 \cdot (\frac{x}{3} + \frac{y}{4}) = 12 \cdot 3$
$4x + 3y = 36$

Получили систему линейных уравнений без дробей: $ \begin{cases} 3x - y = 6 \\ 4x + 3y = 36 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $y$:
$y = 3x - 6$

Подставим это выражение во второе уравнение:
$4x + 3(3x - 6) = 36$
$4x + 9x - 18 = 36$
$13x = 36 + 18$
$13x = 54$
$x = \frac{54}{13}$

Теперь найдем $y$:
$y = 3 \cdot \frac{54}{13} - 6 = \frac{162}{13} - \frac{78}{13} = \frac{84}{13}$

Ответ: $x = \frac{54}{13}, y = \frac{84}{13}$.

3)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} \frac{2x + 3}{7} - \frac{5y - 1}{2} = 1 \\ 3y + x = 12 \end{cases} $

Упростим первое уравнение, умножив его на 14 (наименьшее общее кратное для 7 и 2):
$14 \cdot (\frac{2x + 3}{7}) - 14 \cdot (\frac{5y - 1}{2}) = 14 \cdot 1$
$2(2x + 3) - 7(5y - 1) = 14$
$4x + 6 - 35y + 7 = 14$
$4x - 35y + 13 = 14$
$4x - 35y = 1$

Второе уравнение преобразуем, выразив $x$:
$x = 12 - 3y$

Теперь у нас есть система: $ \begin{cases} 4x - 35y = 1 \\ x = 12 - 3y \end{cases} $

Подставим выражение для $x$ из второго уравнения в первое:
$4(12 - 3y) - 35y = 1$
$48 - 12y - 35y = 1$
$48 - 47y = 1$
$47 = 47y$
$y = 1$

Подставим найденное значение $y$ в выражение для $x$:
$x = 12 - 3(1) = 12 - 3 = 9$

Ответ: $x=9, y=1$.

4)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} \frac{3x - 2}{7} - \frac{2y + 1}{3} = 4 \\ \frac{x + y}{4} + \frac{5x - y}{8} = 2 \end{cases} $

Преобразуем первое уравнение, умножив его на 21 (НОК 7 и 3):
$3(3x - 2) - 7(2y + 1) = 84$
$9x - 6 - 14y - 7 = 84$
$9x - 14y = 97$

Преобразуем второе уравнение, умножив его на 8 (НОК 4 и 8):
$2(x + y) + (5x - y) = 16$
$2x + 2y + 5x - y = 16$
$7x + y = 16$

Получили систему: $ \begin{cases} 9x - 14y = 97 \\ 7x + y = 16 \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $y$:
$y = 16 - 7x$

Подставим это выражение в первое уравнение:
$9x - 14(16 - 7x) = 97$
$9x - 224 + 98x = 97$
$107x = 97 + 224$
$107x = 321$
$x = 3$

Найдем $y$, подставив значение $x$:
$y = 16 - 7(3) = 16 - 21 = -5$

Ответ: $x=3, y=-5$.