Страница 61 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Мерзляк, Полонский

11. Заполните пропуски такими одночленами, чтобы образовалось тождество:

1) $(a - 3)(\text{____} + 5) = 3a^2 - \text{____} - \text{____};$

2) $(b + 4)(b - \text{____}) = \text{____} - \text{____} - 32.$

1) Чтобы равенство $(a - 3)( \text{___} + 5) = 3a^2 - \text{___} - \text{___}$ стало тождеством, необходимо заполнить пропуски. Обозначим пропуски как $X$, $Y$ и $Z$ соответственно: $(a - 3)(X + 5) = 3a^2 - Y - Z$.

Раскроем скобки в левой части равенства, умножив каждый член первой скобки на каждый член второй:

$(a - 3)(X + 5) = a \cdot X + a \cdot 5 - 3 \cdot X - 3 \cdot 5 = aX + 5a - 3X - 15$.

Теперь приравняем левую и правую части: $aX + 5a - 3X - 15 = 3a^2 - Y - Z$.

В правой части равенства есть член $3a^2$. В левой части член с $a^2$ может получиться только из произведения $aX$. Следовательно, должно выполняться равенство $aX = 3a^2$. Отсюда находим первый искомый одночлен:

$X = \frac{3a^2}{a} = 3a$.

Теперь, когда мы знаем первый пропуск, подставим $X = 3a$ в левую часть исходного равенства и упростим ее:

$(a - 3)(3a + 5) = a \cdot 3a + a \cdot 5 - 3 \cdot 3a - 3 \cdot 5 = 3a^2 + 5a - 9a - 15 = 3a^2 - 4a - 15$.

Сравнивая полученное выражение $3a^2 - 4a - 15$ с правой частью исходного равенства $3a^2 - Y - Z$, мы можем определить остальные пропущенные одночлены:

$3a^2 - 4a - 15 = 3a^2 - Y - Z$.

Отсюда очевидно, что $Y = 4a$ и $Z = 15$.

Таким образом, тождество имеет вид: $(a - 3)(3a + 5) = 3a^2 - 4a - 15$.

Ответ: в первый пропуск нужно вписать $3a$, во второй — $4a$, в третий — $15$.

2) Рассмотрим второе равенство: $(b + 4)(b - \text{___}) = \text{___} - \text{___} - 32$. Обозначим пропуски как $X$, $Y$ и $Z$: $(b + 4)(b - X) = Y - Z - 32$.

Раскроем скобки в левой части равенства:

$(b + 4)(b - X) = b \cdot b - b \cdot X + 4 \cdot b - 4 \cdot X = b^2 - bX + 4b - 4X$.

Приравняем левую и правую части: $b^2 - bX + 4b - 4X = Y - Z - 32$.

В правой части есть свободный член (число) $-32$. В левой части он может получиться только из произведения $+4$ на $-X$. Следовательно, $-4X = -32$. Отсюда находим первый пропуск:

$X = \frac{-32}{-4} = 8$.

Подставим найденное значение $X = 8$ в левую часть и упростим ее:

$(b + 4)(b - 8) = b \cdot b + b \cdot (-8) + 4 \cdot b + 4 \cdot (-8) = b^2 - 8b + 4b - 32 = b^2 - 4b - 32$.

Теперь сравним полученное выражение $b^2 - 4b - 32$ с правой частью исходного равенства $Y - Z - 32$:

$b^2 - 4b - 32 = Y - Z - 32$.

Отсюда следует, что $Y = b^2$ и $Z = 4b$.

Таким образом, тождество имеет вид: $(b + 4)(b - 8) = b^2 - 4b - 32$.

Ответ: в первый пропуск нужно вписать $8$, во второй — $b^2$, в третий — $4b$.

12. При каком значении $b$ произведение многочленов $2x^2 + 3x - 6$ и $5x^2 - bx + 1$ является многочленом стандартного вида, у которого коэффициент при $x^3$ равен -1?

Коэффициент при $x^3$ равен сумме коэффициентов одночлена, являющегося произведением одночленов $2x^2$ и , и одночлена, являющегося произведением одночленов и .

Решение.

Даны два многочлена: $P_1(x) = 2x^2 + 3x - 6$ и $P_2(x) = 5x^2 - bx + 1$.
Нам необходимо найти такое значение $b$, при котором коэффициент при $x^3$ в произведении этих многочленов $P_1(x) \cdot P_2(x)$ будет равен $-1$.

Для нахождения коэффициента при $x^3$ не требуется полностью перемножать многочлены. Достаточно найти только те пары членов, произведение которых даст одночлен со степенью $x^3$.

Слагаемое с $x^3$ образуется в результате сложения произведений следующих пар членов:
1. Члена с $x^2$ из первого многочлена и члена с $x$ из второго:
$(2x^2) \cdot (-bx) = -2bx^3$
2. Члена с $x$ из первого многочлена и члена с $x^2$ из второго:
$(3x) \cdot (5x^2) = 15x^3$

Общий член с $x^3$ в произведении многочленов является суммой этих двух слагаемых:
$-2bx^3 + 15x^3 = (-2b + 15)x^3$

Таким образом, коэффициент при $x^3$ равен $(-2b + 15)$.

По условию задачи, этот коэффициент должен быть равен $-1$. Составим и решим уравнение:
$-2b + 15 = -1$
Вычтем 15 из обеих частей уравнения:
$-2b = -1 - 15$
$-2b = -16$
Разделим обе части на $-2$:
$b = \frac{-16}{-2}$
$b = 8$

Ответ: 8.

13. При каком значении $a$ произведением многочленов $4x^3 - 6x^2 + ax$ и $0,2x^3 + \frac{1}{3}x^2 - 0,3x$ является многочлен стандартного вида, у которого коэффициент при $x^4$ равен 2,4?

Для решения задачи необходимо найти произведение двух многочленов $P_1(x) = 4x^3 - 6x^2 + ax$ и $P_2(x) = 0,2x^3 + \frac{1}{3}x^2 - 0,3x$. Нас интересует только коэффициент при $x^4$ в результирующем многочлене, поэтому нет необходимости перемножать их полностью. Найдем только те произведения одночленов, которые в результате дадут слагаемое со степенью $x^4$.

Степень $x^4$ получается в результате умножения следующих пар одночленов, сумма степеней которых равна 4 (т.е. $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$, где $m+n=4$):

1. Произведение члена $4x^3$ из первого многочлена и члена $-0,3x$ из второго:

$(4x^3) \cdot (-0,3x) = -1,2x^4$

2. Произведение члена $-6x^2$ из первого многочлена и члена $\frac{1}{3}x^2$ из второго:

$(-6x^2) \cdot (\frac{1}{3}x^2) = -\frac{6}{3}x^4 = -2x^4$

3. Произведение члена $ax$ из первого многочлена и члена $0,2x^3$ из второго:

$(ax) \cdot (0,2x^3) = 0,2ax^4$

Общий коэффициент при $x^4$ в результирующем многочлене равен сумме коэффициентов, полученных на каждом шаге:

$-1,2 + (-2) + 0,2a = -3,2 + 0,2a$

Согласно условию задачи, этот коэффициент равен 2,4. Составим и решим уравнение относительно неизвестного параметра $a$:

$-3,2 + 0,2a = 2,4$

Перенесем $-3,2$ в правую часть уравнения, изменив знак:

$0,2a = 2,4 + 3,2$

$0,2a = 5,6$

Чтобы найти $a$, разделим обе части уравнения на 0,2:

$a = \frac{5,6}{0,2} = \frac{56}{2} = 28$

Таким образом, при $a=28$ коэффициент при $x^4$ в произведении многочленов будет равен 2,4.

Ответ: $28$

5. Решите систему уравнений:

1) $\left\{\begin{matrix} 3(2x-5) - 2(4+3y) = -32; \\ 6(2y+1) + 10 = 20 - 16x; \end{matrix}\right.$

2) $\left\{\begin{matrix} \frac{6x-y}{8} + \frac{3x+4y}{12} = \frac{1}{8}, \\ \frac{12x-5y}{3} - \frac{9x-2y}{5} = 2. \end{matrix}\right.$

1)

Исходная система уравнений:

$ \begin{cases} 3(2x - 5) - 2(4 + 3y) = -32, \\ 6(2y + 1) + 10 = 20 - 16x; \end{cases} $

Сначала упростим каждое уравнение системы. Раскроем скобки в первом уравнении:

$3 \cdot 2x - 3 \cdot 5 - 2 \cdot 4 - 2 \cdot 3y = -32$

$6x - 15 - 8 - 6y = -32$

$6x - 6y - 23 = -32$

Перенесем свободные члены в правую часть:

$6x - 6y = -32 + 23$

$6x - 6y = -9$

Для удобства разделим обе части уравнения на 3:

$2x - 2y = -3$

Теперь упростим второе уравнение:

$6(2y + 1) + 10 = 20 - 16x$

$12y + 6 + 10 = 20 - 16x$

$12y + 16 = 20 - 16x$

Перенесем члены с переменными в левую часть, а постоянные — в правую:

$16x + 12y = 20 - 16$

$16x + 12y = 4$

Разделим обе части уравнения на 4:

$4x + 3y = 1$

Теперь у нас есть упрощенная система уравнений:

$ \begin{cases} 2x - 2y = -3, \\ 4x + 3y = 1; \end{cases} $

Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на 2, чтобы коэффициенты при $x$ во втором уравнении и в измененном первом стали противоположными по знаку, если первое уравнение умножить на -2, или одинаковыми, если на 2. Умножим на -2:

$-2(2x - 2y) = -2(-3)$

$-4x + 4y = 6$

Теперь сложим полученное уравнение со вторым уравнением системы ($4x + 3y = 1$):

$(-4x + 4y) + (4x + 3y) = 6 + 1$

$7y = 7$

$y = 1$

Подставим найденное значение $y = 1$ в любое из упрощенных уравнений, например, в $4x + 3y = 1$:

$4x + 3(1) = 1$

$4x + 3 = 1$

$4x = 1 - 3$

$4x = -2$

$x = \frac{-2}{4} = -0.5$

Ответ: $(-0.5; 1)$.

2)

Исходная система уравнений:

$ \begin{cases} \frac{6x - y}{8} + \frac{3x + 4y}{12} = \frac{1}{8}, \\ \frac{12x - 5y}{3} - \frac{9x - 2y}{5} = 2. \end{cases} $

Упростим каждое уравнение, избавившись от дробей. Для первого уравнения найдем наименьший общий знаменатель для 8 и 12. Это 24. Умножим обе части уравнения на 24:

$24 \cdot \frac{6x - y}{8} + 24 \cdot \frac{3x + 4y}{12} = 24 \cdot \frac{1}{8}$

$3(6x - y) + 2(3x + 4y) = 3$

$18x - 3y + 6x + 8y = 3$

$24x + 5y = 3$

Для второго уравнения наименьший общий знаменатель для 3 и 5 равен 15. Умножим обе части уравнения на 15:

$15 \cdot \frac{12x - 5y}{3} - 15 \cdot \frac{9x - 2y}{5} = 15 \cdot 2$

$5(12x - 5y) - 3(9x - 2y) = 30$

$60x - 25y - 27x + 6y = 30$

$33x - 19y = 30$

Получили упрощенную систему:

$ \begin{cases} 24x + 5y = 3, \\ 33x - 19y = 30; \end{cases} $

Решим эту систему методом сложения. Чтобы исключить переменную $y$, умножим первое уравнение на 19, а второе на 5:

$19(24x + 5y) = 19 \cdot 3 \implies 456x + 95y = 57$

$5(33x - 19y) = 5 \cdot 30 \implies 165x - 95y = 150$

Теперь сложим два новых уравнения:

$(456x + 95y) + (165x - 95y) = 57 + 150$

$621x = 207$

$x = \frac{207}{621}$

Сократим дробь. Сумма цифр числителя $2+0+7=9$, сумма цифр знаменателя $6+2+1=9$. Оба числа делятся на 9.

$207 \div 9 = 23$

$621 \div 9 = 69$

$x = \frac{23}{69} = \frac{23}{3 \cdot 23} = \frac{1}{3}$

Подставим значение $x = \frac{1}{3}$ в одно из упрощенных уравнений, например, в $24x + 5y = 3$:

$24(\frac{1}{3}) + 5y = 3$

$8 + 5y = 3$

$5y = 3 - 8$

$5y = -5$

$y = -1$

Ответ: $(\frac{1}{3}; -1)$.