Страница 55 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Мерзляк, Полонский

12. Остаток при делении натурального числа $m$ на 8 равен 3, а остаток при делении натурального числа $n$ на 6 равен 1. Найдите остаток при делении числа $k$, равного $3m + 4n$, на 12.

Решение.

Пусть неполное частное при делении числа $m$ на 8 равно $a$, а при делении числа $n$ на 6 равно $b$. Тогда $m$ =

$n$ =

Следовательно, $k = 3m + 4n$ =

По условию, остаток при делении натурального числа $m$ на 8 равен 3. Это можно записать в виде равенства: $m = 8a + 3$, где $a$ — неполное частное, являющееся целым неотрицательным числом.

Аналогично, остаток при делении натурального числа $n$ на 6 равен 1. Это можно записать в виде равенства: $n = 6b + 1$, где $b$ — неполное частное, являющееся целым неотрицательным числом.

Требуется найти остаток при делении на 12 числа $k$, равного $3m + 4n$. Подставим выражения для $m$ и $n$ в формулу для $k$:

$k = 3(8a + 3) + 4(6b + 1)$

Раскроем скобки и выполним преобразования:

$k = 3 \cdot 8a + 3 \cdot 3 + 4 \cdot 6b + 4 \cdot 1$

$k = 24a + 9 + 24b + 4$

Сгруппируем слагаемые:

$k = (24a + 24b) + (9 + 4)$

$k = 24(a + b) + 13$

Нам нужно найти остаток от деления $k$ на 12. Рассмотрим каждое слагаемое в полученном выражении.

Первое слагаемое, $24(a + b)$, делится на 12 без остатка, так как $24$ кратно $12$ ($24 = 12 \cdot 2$). Следовательно, $24(a + b) = 12 \cdot 2(a + b)$.

Таким образом, остаток от деления всего выражения на 12 зависит только от второго слагаемого, числа 13. Найдем остаток от деления 13 на 12:

$13 = 12 \cdot 1 + 1$

Остаток равен 1.

Теперь запишем всё выражение для $k$ в виде, удобном для нахождения остатка:

$k = 12 \cdot 2(a + b) + 12 \cdot 1 + 1$

Вынесем общий множитель 12 за скобки:

$k = 12(2(a + b) + 1) + 1$

Обозначим выражение в скобках за $q$, то есть $q = 2(a + b) + 1$. Так как $a$ и $b$ — целые числа, то $q$ также является целым числом.

В результате мы получили $k = 12q + 1$. Это по определению означает, что при делении числа $k$ на 12 получается неполное частное $q$ и остаток 1.

Ответ: 1