Страница 50 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Мерзляк, Полонский

6. Докажите тождество:

1) $c(a - b) + a(b - c) + b(c - a) = 0$;

Решение.

Преобразуем левую часть данного равенства:

$c(a - b) + a(b - c) + b(c - a) =$

2) $a^2b(b + 1) - ab^2(a + 1) = ab(a - b).$

Чтобы доказать тождество $c(a - b) + a(b - c) + b(c - a) = 0$, преобразуем его левую часть. Для этого раскроем скобки, применив распределительное свойство умножения:

$c(a - b) + a(b - c) + b(c - a) = ac - bc + ab - ac + bc - ab$

Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(ac - ac) + (-bc + bc) + (ab - ab) = 0 + 0 + 0 = 0$

В результате преобразования левая часть равенства стала равна 0, что совпадает с его правой частью. Таким образом, $0 = 0$.

Ответ: Тождество доказано.

Чтобы доказать тождество $a^2b(b + 1) - ab^2(a + 1) = ab(a - b)$, преобразуем его левую часть. Сначала раскроем скобки:

$a^2b(b + 1) - ab^2(a + 1) = (a^2b^2 + a^2b) - (a^2b^2 + ab^2)$

Теперь раскроем вторые скобки, поменяв знаки слагаемых внутри на противоположные:

$a^2b^2 + a^2b - a^2b^2 - ab^2$

Приведем подобные слагаемые, сократив $a^2b^2$ и $-a^2b^2$:

$(a^2b^2 - a^2b^2) + (a^2b - ab^2) = 0 + a^2b - ab^2 = a^2b - ab^2$

Вынесем общий множитель $ab$ за скобки:

$ab(a - b)$

В результате преобразований мы получили выражение, идентичное правой части исходного равенства: $ab(a - b) = ab(a - b)$.

Ответ: Тождество доказано.

7. Заполните пропуски такими одночленами, чтобы образовалось тождество:

1) $\text{___} \cdot (0,6a^2c - 4a^3c + ac^2) = -3a^4c^3 + \text{___} - \text{___}$

2) $(3m^2n + \text{___} - n^4) \cdot \text{___} = 6m^3n^5 + 8mn^6 - \text{___}$

3) $4a^2b^3 (\text{___} + \text{___} - \text{___}) = 16a^3b^3 + 28a^2b^4 - 2a^2b^3$

1) Дано тождество: $___ \cdot (0,6a^2c - 4a^3c + ac^2) = -3a^4c^3 + ___ - ___$.
Чтобы найти недостающие одночлены, обозначим первый пропуск (одночлен-множитель) как $M$. Тогда равенство примет вид: $M \cdot (0,6a^2c - 4a^3c + ac^2) = -3a^4c^3 + \text{пропуск}_2 - \text{пропуск}_3$.
Первый член в правой части, $-3a^4c^3$, должен быть результатом умножения $M$ на один из членов в скобках. Рассмотрим вариант, когда он получен умножением $M$ на первый член в скобках, $0,6a^2c$:
$M \cdot (0,6a^2c) = -3a^4c^3$.
Чтобы найти $M$, разделим правую часть на множитель $0,6a^2c$:
$M = \frac{-3a^4c^3}{0,6a^2c} = -\frac{3}{0,6} \cdot a^{4-2} \cdot c^{3-1} = -5a^2c^2$.
Итак, первый пропуск — это одночлен $-5a^2c^2$.
Теперь найдем остальные пропуски, умножив найденный одночлен $M$ на оставшиеся члены в скобках:
Второй член произведения: $M \cdot (-4a^3c) = (-5a^2c^2) \cdot (-4a^3c) = (-5)(-4) \cdot a^{2+3} \cdot c^{2+1} = 20a^5c^3$. Это второй пропуск в правой части (идет после знака "+").
Третий член произведения: $M \cdot (ac^2) = (-5a^2c^2) \cdot (ac^2) = -5 \cdot a^{2+1} \cdot c^{2+2} = -5a^3c^4$. В тождестве перед третьим пропуском стоит знак "–", значит, в сам пропуск нужно записать $5a^3c^4$.
Таким образом, полное тождество выглядит так:
$-5a^2c^2 \cdot (0,6a^2c - 4a^3c + ac^2) = -3a^4c^3 + 20a^5c^3 - 5a^3c^4$.
Ответ: В пропуски следует вписать одночлены $-5a^2c^2$, $20a^5c^3$ и $5a^3c^4$ соответственно.

2) Дано тождество: $(3m^2n + ___ - n^4) \cdot ___ = 6m^3n^5 + 8mn^6 - ___$.
Обозначим неизвестный одночлен-множитель (второй пропуск) как $M$, а неизвестный член в скобках (первый пропуск) как $X$. Тождество примет вид:
$(3m^2n + X - n^4) \cdot M = 6m^3n^5 + 8mn^6 - \text{пропуск}_3$.
Первый член правой части, $6m^3n^5$, получается умножением первого члена в скобках, $3m^2n$, на множитель $M$:
$3m^2n \cdot M = 6m^3n^5$.
Отсюда находим $M$: $M = \frac{6m^3n^5}{3m^2n} = 2m^{3-2}n^{5-1} = 2mn^4$. Это второй пропуск.
Второй член правой части, $8mn^6$, получается умножением неизвестного члена в скобках, $X$, на $M$:
$X \cdot M = 8mn^6 \Rightarrow X \cdot (2mn^4) = 8mn^6$.
Отсюда находим $X$: $X = \frac{8mn^6}{2mn^4} = 4m^{1-1}n^{6-4} = 4n^2$. Это первый пропуск.
Третий пропуск в правой части получается умножением третьего члена в скобках, $-n^4$, на $M$:
$(-n^4) \cdot M = (-n^4) \cdot (2mn^4) = -2mn^{4+4} = -2mn^8$.
В тождестве перед последним пропуском стоит знак "–", значит в пропуск нужно вписать $2mn^8$.
Полное тождество: $(3m^2n + 4n^2 - n^4) \cdot 2mn^4 = 6m^3n^5 + 8mn^6 - 2mn^8$.
Ответ: В пропуски следует вписать одночлены $4n^2$, $2mn^4$ и $2mn^8$ соответственно.

3) Дано тождество: $4a^2b^3 (___ + ___ - ___) = 16a^3b^3 + 28a^2b^4 - 2a^2b^3$.
Здесь нужно найти три одночлена в скобках. Для этого необходимо каждый член многочлена в правой части разделить на общий множитель $4a^2b^3$, который стоит перед скобками.
Найдем первый одночлен в скобках, разделив первый член правой части на $4a^2b^3$:
$\frac{16a^3b^3}{4a^2b^3} = \frac{16}{4} \cdot a^{3-2} \cdot b^{3-3} = 4a^1b^0 = 4a$.
Найдем второй одночлен в скобках, разделив второй член правой части на $4a^2b^3$:
$\frac{28a^2b^4}{4a^2b^3} = \frac{28}{4} \cdot a^{2-2} \cdot b^{4-3} = 7a^0b^1 = 7b$.
Найдем третий одночлен в скобках. Перед ним стоит знак "–". Разделим третий член правой части, $-2a^2b^3$, на общий множитель $4a^2b^3$:
$\frac{-2a^2b^3}{4a^2b^3} = -\frac{2}{4} \cdot a^{2-2} \cdot b^{3-3} = -0,5a^0b^0 = -0,5$.
Так как в выражении в скобках уже стоит знак "–", то в пропуск записываем $0,5$.
Полное тождество: $4a^2b^3 (4a + 7b - 0,5) = 16a^3b^3 + 28a^2b^4 - 2a^2b^3$.
Ответ: В пропуски следует вписать одночлены $4a$, $7b$ и $0,5$ соответственно.

8. На рисунке изображён график уравнения $4x - y = 5$. Постройте на этом рисунке прямую, состоящую из биссектрис второго и четвёртого координатных углов.

Запишите уравнение, графиком которого является эта прямая:

____________

Составьте из этих двух уравнений систему:

____________ ,

____________ .

Укажите решение этой системы: (____________ ; ____________).

Запишите уравнение, графиком которого является эта прямая:

Прямая, являющаяся биссектрисой второго и четвёртого координатных углов, проходит через начало координат $(0; 0)$. Каждая точка на этой прямой имеет координаты, которые равны по модулю, но противоположны по знаку. Например, точки $(-1; 1)$, $(-2; 2)$, $(1; -1)$, $(2; -2)$ лежат на этой прямой. Условие, которому удовлетворяют координаты $(x; y)$ всех точек этой прямой, можно записать в виде уравнения $y = -x$.

Ответ: $y = -x$

Составьте из этих двух уравнений систему:

Первое уравнение дано в условии задачи: $4x - y = 5$. Второе уравнение — это уравнение биссектрисы второго и четвёртого координатных углов: $y = -x$. Объединим эти два уравнения в систему.

Ответ: $$ \begin{cases} 4x - y = 5, \\ y = -x \end{cases} $$

Укажите решение этой системы:

Решим составленную систему уравнений методом подстановки. Подставим во второе уравнение ($y = -x$) в первое:

$4x - (-x) = 5$

Упростим полученное выражение:

$4x + x = 5$

$5x = 5$

Отсюда находим значение $x$:

$x = \frac{5}{5} = 1$

Теперь найдем соответствующее значение $y$, подставив значение $x$ во второе уравнение системы:

$y = -x = -1$

Решением системы является пара чисел $(1; -1)$. Эта точка является точкой пересечения графиков двух уравнений.

Ответ: $(1; -1)$

9. Решите графически систему уравнений

$\begin{cases} \frac{x-1}{3} - \frac{y-2}{4} = \frac{1}{3} \\ 3(x-y) + 2(y-2) = 0. \end{cases}$

Решение.

Упростим уравнения данной системы:

Упростим уравнения данной системы:

1. Преобразуем первое уравнение: $\frac{x-1}{3} - \frac{y-2}{4} = \frac{1}{3}$

Для того чтобы избавиться от дробных коэффициентов, умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей 3 и 4, то есть на 12:

$12 \cdot \left(\frac{x-1}{3}\right) - 12 \cdot \left(\frac{y-2}{4}\right) = 12 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)$

$4(x-1) - 3(y-2) = 4$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$4x - 4 - 3y + 6 = 4$

$4x - 3y + 2 = 4$

$4x - 3y = 2$

Теперь выразим y через x, чтобы получить уравнение прямой в виде $y = kx + b$:

$-3y = 2 - 4x$

$3y = 4x - 2$

$y = \frac{4}{3}x - \frac{2}{3}$

Это линейная функция, графиком которой является прямая. Для построения прямой достаточно двух точек. Найдем их координаты:

• При $x = 2$: $y = \frac{4}{3} \cdot 2 - \frac{2}{3} = \frac{8}{3} - \frac{2}{3} = \frac{6}{3} = 2$. Получили точку $(2; 2)$.
• При $x = -1$: $y = \frac{4}{3} \cdot (-1) - \frac{2}{3} = -\frac{4}{3} - \frac{2}{3} = -\frac{6}{3} = -2$. Получили точку $(-1; -2)$.

2. Преобразуем второе уравнение: $3(x - y) + 2(y - 2) = 0$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$3x - 3y + 2y - 4 = 0$

$3x - y - 4 = 0$

Выразим y через x:

$y = 3x - 4$

Это также линейная функция. Найдем координаты двух точек для построения ее графика:

• При $x = 1$: $y = 3 \cdot 1 - 4 = -1$. Получили точку $(1; -1)$.
• При $x = 2$: $y = 3 \cdot 2 - 4 = 6 - 4 = 2$. Получили точку $(2; 2)$.

3. Построение графиков и нахождение решения

Построим в одной системе координат графики обоих уравнений:

• Прямую $y = \frac{4}{3}x - \frac{2}{3}$, которая проходит через точки $(2; 2)$ и $(-1; -2)$.
• Прямую $y = 3x - 4$, которая проходит через точки $(1; -1)$ и $(2; 2)$.

Обе прямые пересекаются в одной точке. Координаты этой точки пересечения и являются решением системы уравнений. Из наших вычислений видно, что общая точка для обоих графиков — это $(2; 2)$.

Ответ: (2; 2)