Номер 9, страница 50 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1 Мерзляк, Полонский

Параграф 26. Системы уравнений с двумя переменными. Графический метод решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными. Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. Рабочая тетрадь 2 - номер 9, страница 50.

Условие.

9. Решите графически систему уравнений

$\begin{cases} \frac{x-1}{3} - \frac{y-2}{4} = \frac{1}{3} \\ 3(x-y) + 2(y-2) = 0. \end{cases}$

Решение.

Упростим уравнения данной системы:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Упростим уравнения данной системы:

1. Преобразуем первое уравнение: $\frac{x-1}{3} - \frac{y-2}{4} = \frac{1}{3}$

Для того чтобы избавиться от дробных коэффициентов, умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей 3 и 4, то есть на 12:

$12 \cdot \left(\frac{x-1}{3}\right) - 12 \cdot \left(\frac{y-2}{4}\right) = 12 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)$

$4(x-1) - 3(y-2) = 4$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$4x - 4 - 3y + 6 = 4$

$4x - 3y + 2 = 4$

$4x - 3y = 2$

Теперь выразим y через x, чтобы получить уравнение прямой в виде $y = kx + b$:

$-3y = 2 - 4x$

$3y = 4x - 2$

$y = \frac{4}{3}x - \frac{2}{3}$

Это линейная функция, графиком которой является прямая. Для построения прямой достаточно двух точек. Найдем их координаты:

• При $x = 2$: $y = \frac{4}{3} \cdot 2 - \frac{2}{3} = \frac{8}{3} - \frac{2}{3} = \frac{6}{3} = 2$. Получили точку $(2; 2)$.
• При $x = -1$: $y = \frac{4}{3} \cdot (-1) - \frac{2}{3} = -\frac{4}{3} - \frac{2}{3} = -\frac{6}{3} = -2$. Получили точку $(-1; -2)$.

2. Преобразуем второе уравнение: $3(x - y) + 2(y - 2) = 0$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$3x - 3y + 2y - 4 = 0$

$3x - y - 4 = 0$

Выразим y через x:

$y = 3x - 4$

Это также линейная функция. Найдем координаты двух точек для построения ее графика:

• При $x = 1$: $y = 3 \cdot 1 - 4 = -1$. Получили точку $(1; -1)$.
• При $x = 2$: $y = 3 \cdot 2 - 4 = 6 - 4 = 2$. Получили точку $(2; 2)$.

3. Построение графиков и нахождение решения

Построим в одной системе координат графики обоих уравнений:

• Прямую $y = \frac{4}{3}x - \frac{2}{3}$, которая проходит через точки $(2; 2)$ и $(-1; -2)$.
• Прямую $y = 3x - 4$, которая проходит через точки $(1; -1)$ и $(2; 2)$.

Обе прямые пересекаются в одной точке. Координаты этой точки пересечения и являются решением системы уравнений. Из наших вычислений видно, что общая точка для обоих графиков — это $(2; 2)$.

Ответ: (2; 2)