Номер 12, страница 51 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1 Мерзляк, Полонский

Параграф 26. Системы уравнений с двумя переменными. Графический метод решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными. Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. Рабочая тетрадь 2 - номер 12, страница 51.

Условие.

12. При каких значениях $a$ имеет бесконечно много решений система уравнений:

1)

$$ \begin{cases} x + 6y = 3, \\ 5x + 30y = a; \end{cases} $$

2)

$$ \begin{cases} ax + 12y = 15, \\ 3x + 4y = 5? \end{cases} $$

Найдите какие-нибудь три решения системы.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1)

Система линейных уравнений имеет бесконечно много решений в том случае, когда уравнения системы эквивалентны. Это происходит, когда коэффициенты при соответствующих переменных и свободные члены пропорциональны.

Для системы $\begin{cases} x + 6y = 3 \\ 5x + 30y = a \end{cases}$ условие пропорциональности коэффициентов записывается так:

$\frac{1}{5} = \frac{6}{30} = \frac{3}{a}$

Проверим первую часть равенства: $\frac{6}{30}$ можно сократить на 6, что дает $\frac{1}{5}$. Таким образом, равенство $\frac{1}{5} = \frac{6}{30}$ является верным. Это означает, что прямые, соответствующие уравнениям, параллельны или совпадают.

Чтобы они совпадали (имели бесконечно много решений), найдем значение a из пропорции:

$\frac{1}{5} = \frac{3}{a}$

По основному свойству пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних) получаем:

$1 \cdot a = 5 \cdot 3$

$a = 15$

При $a = 15$ второе уравнение системы ($5x + 30y = 15$) становится эквивалентным первому, так как его можно получить, умножив первое уравнение ($x + 6y = 3$) на 5.

Теперь найдем три любых решения системы. Для этого достаточно найти решения уравнения $x + 6y = 3$. Выразим x через y:

$x = 3 - 6y$

Подставим произвольные значения y, чтобы найти соответствующие значения x:

– при $y = 0$, $x = 3 - 6 \cdot 0 = 3$. Решение: $(3; 0)$.

– при $y = 1$, $x = 3 - 6 \cdot 1 = -3$. Решение: $(-3; 1)$.

– при $y = -1$, $x = 3 - 6 \cdot (-1) = 9$. Решение: $(9; -1)$.

Ответ: система имеет бесконечно много решений при $a=15$. Три примера решений: $(3; 0)$, $(-3; 1)$, $(9; -1)$.

2)

Рассмотрим вторую систему уравнений: $\begin{cases} ax + 12y = 15 \\ 3x + 4y = 5 \end{cases}$.

Для того чтобы система имела бесконечно много решений, должно выполняться условие пропорциональности коэффициентов:

$\frac{a}{3} = \frac{12}{4} = \frac{15}{5}$

Вычислим значения известных отношений:

$\frac{12}{4} = 3$

$\frac{15}{5} = 3$

Поскольку отношения равны, условие для бесконечного числа решений сводится к нахождению такого a, при котором $\frac{a}{3}$ также будет равно 3.

$\frac{a}{3} = 3$

$a = 3 \cdot 3$

$a = 9$

При $a = 9$ первое уравнение системы ($9x + 12y = 15$) становится эквивалентным второму, так как его можно получить, умножив второе уравнение ($3x + 4y = 5$) на 3.

Теперь найдем три любых решения системы. Для этого будем использовать более простое уравнение $3x + 4y = 5$. Выразим y через x:

$4y = 5 - 3x$

$y = \frac{5 - 3x}{4}$

Подставим произвольные значения x, чтобы найти соответствующие значения y:

– при $x = 1$, $y = \frac{5 - 3 \cdot 1}{4} = \frac{2}{4} = 0.5$. Решение: $(1; 0.5)$.

– при $x = -1$, $y = \frac{5 - 3 \cdot (-1)}{4} = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$. Решение: $(-1; 2)$.

– при $x = 3$, $y = \frac{5 - 3 \cdot 3}{4} = \frac{5 - 9}{4} = \frac{-4}{4} = -1$. Решение: $(3; -1)$.

Ответ: система имеет бесконечно много решений при $a=9$. Три примера решений: $(1; 0.5)$, $(-1; 2)$, $(3; -1)$.