Номер 13, страница 51 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1 Мерзляк, Полонский

Параграф 26. Системы уравнений с двумя переменными. Графический метод решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными. Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. Рабочая тетрадь 2 - номер 13, страница 51.

Условие.

13. Подберите такие значения $a$ и $b$, при которых система уравнений $\begin{cases} x + 2y = 5, \\ 2x - ay = b: \end{cases}$

1) имеет бесконечно много решений:

2) имеет единственное решение:

3) не имеет решений:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для анализа системы линейных уравнений $\begin{cases} x + 2y = 5 \\ 2x - ay = b \end{cases}$ удобно использовать соотношения коэффициентов. В общем виде для системы $\begin{cases} A_1x + B_1y = C_1 \\ A_2x + B_2y = C_2 \end{cases}$ количество решений зависит от соотношений $\frac{A_1}{A_2}$, $\frac{B_1}{B_2}$ и $\frac{C_1}{C_2}$.
В нашей системе: $A_1 = 1, B_1 = 2, C_1 = 5$ и $A_2 = 2, B_2 = -a, C_2 = b$.

1) имеет бесконечно много решений:
Система имеет бесконечно много решений, если графики уравнений (прямые) совпадают. Это происходит, когда все коэффициенты одного уравнения пропорциональны коэффициентам другого, то есть выполняется условие: $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2}$
Подставим наши значения: $\frac{1}{2} = \frac{2}{-a} = \frac{5}{b}$
Из первой части равенства $\frac{1}{2} = \frac{2}{-a}$ находим $a$:
$1 \cdot (-a) = 2 \cdot 2 \implies -a = 4 \implies a = -4$.
Из второй части равенства $\frac{1}{2} = \frac{5}{b}$ находим $b$:
$1 \cdot b = 2 \cdot 5 \implies b = 10$.
Таким образом, при $a = -4$ и $b = 10$ система имеет бесконечное множество решений.
Ответ: $a = -4, b = 10$.

2) имеет единственное решение:
Система имеет единственное решение, если графики уравнений (прямые) пересекаются в одной точке. Это происходит, когда угловые коэффициенты прямых различны, что эквивалентно условию: $\frac{A_1}{A_2} \ne \frac{B_1}{B_2}$
Подставим наши значения: $\frac{1}{2} \ne \frac{2}{-a}$
Решим это неравенство: $1 \cdot (-a) \ne 2 \cdot 2 \implies -a \ne 4 \implies a \ne -4$.
Значение $b$ при этом может быть любым, так как оно не влияет на наклон прямых.
Ответ: $a \ne -4$, $b$ - любое число.

3) не имеет решений:
Система не имеет решений, если графики уравнений (прямые) параллельны, но не совпадают. Это происходит, когда коэффициенты при переменных пропорциональны, а свободные члены - нет. Условие: $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \ne \frac{C_1}{C_2}$
Подставим наши значения: $\frac{1}{2} = \frac{2}{-a} \ne \frac{5}{b}$
Из равенства $\frac{1}{2} = \frac{2}{-a}$ мы уже знаем, что $a = -4$.
Теперь рассмотрим неравенство $\frac{1}{2} \ne \frac{5}{b}$ (или $\frac{2}{-a} \ne \frac{5}{b}$):
$1 \cdot b \ne 2 \cdot 5 \implies b \ne 10$.
Таким образом, при $a = -4$ и любом значении $b$, не равном 10, система не будет иметь решений.
Ответ: $a = -4, b \ne 10$.