Номер 4, страница 59 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1 Мерзляк, Полонский

Параграф 28. Решение систем линейных уравнений методом сложения. Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. Рабочая тетрадь 2 - номер 4, страница 59.

Условие.

4. Решите методом сложения систему уравнений:

1) ${ \begin{cases} x - 5y = 2, \\ 4x + 15y = 78; \end{cases} }$

Решение.

Умножив обе части первого

уравнения на число $3,$

получим систему уравнений:

Ответ:

2) ${ \begin{cases} 6x + 3y = 9, \\ 2x + 5y = 7; \end{cases} }$

Решение.

Разделив обе части первого

уравнения на число $-3,$

получим систему уравнений:

Ответ:

3) ${ \begin{cases} 3x - 4y = 18, \\ 5x + 2y = 4; \end{cases} }$

Решение.

Ответ:

4) ${ \begin{cases} 7x + 2y = 22, \\ 35x - 9y = 34; \end{cases} }$

Решение.

Ответ:

5) ${ \begin{cases} 5x + 4y = 11, \\ 2x - 3y = 9; \end{cases} }$

Решение.

Умножив обе части первого

уравнения на $3,$ а обе

части второго — на $4,$

получим систему уравнений:

6) ${ \begin{cases} 8x + 9y = -7, \\ 7x + 2y = -12. \end{cases} }$

Решение.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} x - 5y = 2 \\ 4x + 15y = 78 \end{cases} $

Для решения методом сложения необходимо, чтобы коэффициенты при одной из переменных были противоположными числами. Умножим обе части первого уравнения на 3, чтобы коэффициент при y стал -15, что является противоположным числу 15 во втором уравнении.

$3 \cdot (x - 5y) = 3 \cdot 2$
$3x - 15y = 6$

Теперь система выглядит так: $ \begin{cases} 3x - 15y = 6 \\ 4x + 15y = 78 \end{cases} $

Сложим два уравнения системы:
$(3x - 15y) + (4x + 15y) = 6 + 78$
$7x = 84$
$x = \frac{84}{7}$
$x = 12$

Подставим найденное значение $x=12$ в первое исходное уравнение, чтобы найти y:
$12 - 5y = 2$
$-5y = 2 - 12$
$-5y = -10$
$y = \frac{-10}{-5}$
$y = 2$

Ответ: $(12; 2)$

2)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} 6x + 3y = 9 \\ 2x + 5y = 7 \end{cases} $

Чтобы использовать метод сложения, преобразуем первое уравнение. Разделим обе части первого уравнения на -3, чтобы коэффициент при x стал -2.

$\frac{6x + 3y}{-3} = \frac{9}{-3}$
$-2x - y = -3$

Получим новую систему: $ \begin{cases} -2x - y = -3 \\ 2x + 5y = 7 \end{cases} $

Сложим два уравнения системы:
$(-2x - y) + (2x + 5y) = -3 + 7$
$4y = 4$
$y = 1$

Подставим найденное значение $y=1$ во второе исходное уравнение:
$2x + 5(1) = 7$
$2x + 5 = 7$
$2x = 2$
$x = 1$

Ответ: $(1; 1)$

3)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} 3x - 4y = 18 \\ 5x + 2y = 4 \end{cases} $

Умножим обе части второго уравнения на 2, чтобы коэффициенты при y стали противоположными числами (-4 и 4).

$2 \cdot (5x + 2y) = 2 \cdot 4$
$10x + 4y = 8$

Получим новую систему: $ \begin{cases} 3x - 4y = 18 \\ 10x + 4y = 8 \end{cases} $

Сложим два уравнения системы:
$(3x - 4y) + (10x + 4y) = 18 + 8$
$13x = 26$
$x = 2$

Подставим значение $x=2$ во второе исходное уравнение:
$5(2) + 2y = 4$
$10 + 2y = 4$
$2y = -6$
$y = -3$

Ответ: $(2; -3)$

4)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} 7x + 2y = 22 \\ 35x - 9y = 34 \end{cases} $

Умножим обе части первого уравнения на -5, чтобы коэффициенты при x стали противоположными ( -35 и 35).

$-5 \cdot (7x + 2y) = -5 \cdot 22$
$-35x - 10y = -110$

Получим новую систему: $ \begin{cases} -35x - 10y = -110 \\ 35x - 9y = 34 \end{cases} $

Сложим два уравнения системы:
$(-35x - 10y) + (35x - 9y) = -110 + 34$
$-19y = -76$
$y = 4$

Подставим значение $y=4$ в первое исходное уравнение:
$7x + 2(4) = 22$
$7x + 8 = 22$
$7x = 14$
$x = 2$

Ответ: $(2; 4)$

5)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} 5x + 4y = 11 \\ 2x - 3y = 9 \end{cases} $

Чтобы уравнять коэффициенты при y, умножим первое уравнение на 3, а второе — на 4.

$3 \cdot (5x + 4y) = 3 \cdot 11 \implies 15x + 12y = 33$
$4 \cdot (2x - 3y) = 4 \cdot 9 \implies 8x - 12y = 36$

Получим новую систему: $ \begin{cases} 15x + 12y = 33 \\ 8x - 12y = 36 \end{cases} $

Сложим два уравнения системы:
$(15x + 12y) + (8x - 12y) = 33 + 36$
$23x = 69$
$x = 3$

Подставим значение $x=3$ в первое исходное уравнение:
$5(3) + 4y = 11$
$15 + 4y = 11$
$4y = -4$
$y = -1$

Ответ: $(3; -1)$

6)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} 8x + 9y = -7 \\ 7x + 2y = -12 \end{cases} $

Чтобы уравнять коэффициенты при y, умножим первое уравнение на 2, а второе — на -9.

$2 \cdot (8x + 9y) = 2 \cdot (-7) \implies 16x + 18y = -14$
$-9 \cdot (7x + 2y) = -9 \cdot (-12) \implies -63x - 18y = 108$

Получим новую систему: $ \begin{cases} 16x + 18y = -14 \\ -63x - 18y = 108 \end{cases} $

Сложим два уравнения системы:
$(16x + 18y) + (-63x - 18y) = -14 + 108$
$-47x = 94$
$x = -2$

Подставим значение $x=-2$ во второе исходное уравнение:
$7(-2) + 2y = -12$
$-14 + 2y = -12$
$2y = 2$
$y = 1$

Ответ: $(-2; 1)$