Номер 9, страница 64 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1 Мерзляк, Полонский

Параграф 28. Решение систем линейных уравнений методом сложения. Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. Рабочая тетрадь 2 - номер 9, страница 64.

Условие.

9. Решите уравнение:

1) $|x + 4y + 11| + (5x - 2y - 17)^2 = 0;$

Решение.

Левая часть уравнения является суммой двух слагаемых, которые принимают только неотрицательные значения. Их сумма будет равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из слагаемых будет равно

Ответ:

2) $(5x - 2y - 3)^2 + (8x + 3y - 42)^2 = 0;$

3) $2x^2 + 9y^2 + 6xy - 10x + 25 = 0;$

Решение.

Преобразуем левую часть уравнения.

$x^2 + 6xy + 9y^2 +$

Ответ:

4) $49x^2 + 40y^2 - 28xy - 12y + 1 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Левая часть уравнения $|x + 4y + 11| + (5x - 2y - 17)^2 = 0$ является суммой двух неотрицательных слагаемых: модуля $|x + 4y + 11| \ge 0$ и квадрата $(5x - 2y - 17)^2 \ge 0$. Сумма двух неотрицательных выражений равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из них равно нулю. Следовательно, данное уравнение равносильно системе уравнений:
$\begin{cases} x + 4y + 11 = 0 \\ 5x - 2y - 17 = 0 \end{cases}$
Из первого уравнения выразим $x$: $x = -4y - 11$.
Подставим это выражение во второе уравнение:
$5(-4y - 11) - 2y - 17 = 0$
$-20y - 55 - 2y - 17 = 0$
$-22y - 72 = 0$
$-22y = 72$
$y = -\frac{72}{22} = -\frac{36}{11}$
Теперь найдем $x$:
$x = -4(-\frac{36}{11}) - 11 = \frac{144}{11} - \frac{121}{11} = \frac{23}{11}$
Ответ: $(\frac{23}{11}; -\frac{36}{11})$.

2) Уравнение $(5x - 2y - 3)^2 + (8x + 3y - 42)^2 = 0$ представляет собой сумму двух квадратов. Сумма квадратов действительных чисел равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из оснований квадратов равно нулю. Таким образом, получаем систему уравнений:
$\begin{cases} 5x - 2y - 3 = 0 \\ 8x + 3y - 42 = 0 \end{cases}$
Для решения системы методом сложения умножим первое уравнение на 3, а второе на 2:
$\begin{cases} 15x - 6y - 9 = 0 \\ 16x + 6y - 84 = 0 \end{cases}$
Сложим получившиеся уравнения:
$(15x - 6y - 9) + (16x + 6y - 84) = 0$
$31x - 93 = 0$
$31x = 93$
$x = 3$
Подставим найденное значение $x = 3$ в первое исходное уравнение:
$5(3) - 2y - 3 = 0$
$15 - 2y - 3 = 0$
$12 - 2y = 0$
$2y = 12$
$y = 6$
Ответ: $(3; 6)$.

3) Преобразуем левую часть уравнения $2x^2 + 9y^2 + 6xy - 10x + 25 = 0$, выделив полные квадраты. Для этого сгруппируем слагаемые следующим образом:
$(x^2 + 6xy + 9y^2) + (x^2 - 10x + 25) = 0$
Первая группа слагаемых $x^2 + 6xy + 9y^2$ является полным квадратом суммы $(x + 3y)^2$.
Вторая группа слагаемых $x^2 - 10x + 25$ является полным квадратом разности $(x - 5)^2$.
Таким образом, уравнение можно переписать в виде:
$(x + 3y)^2 + (x - 5)^2 = 0$
Сумма двух квадратов равна нулю, только если каждое основание равно нулю. Это приводит к системе:
$\begin{cases} x + 3y = 0 \\ x - 5 = 0 \end{cases}$
Из второго уравнения сразу находим $x = 5$.
Подставим это значение в первое уравнение:
$5 + 3y = 0$
$3y = -5$
$y = -\frac{5}{3}$
Ответ: $(5; -\frac{5}{3})$.

4) Рассмотрим уравнение $49x^2 + 40y^2 - 28xy - 12y + 1 = 0$. Преобразуем его левую часть путем выделения полных квадратов.
Сгруппируем слагаемые, содержащие $x$ и $xy$: $49x^2 - 28xy$. Дополним их до полного квадрата разности:
$(7x)^2 - 2 \cdot (7x) \cdot (2y) + (2y)^2 = 49x^2 - 28xy + 4y^2 = (7x - 2y)^2$.
Представим исходное уравнение в новом виде, взяв $4y^2$ из $40y^2$:
$(49x^2 - 28xy + 4y^2) + (40y^2 - 4y^2) - 12y + 1 = 0$
$(7x - 2y)^2 + 36y^2 - 12y + 1 = 0$
Заметим, что выражение $36y^2 - 12y + 1$ также является полным квадратом: $(6y)^2 - 2 \cdot (6y) \cdot 1 + 1^2 = (6y - 1)^2$.
Теперь уравнение имеет вид:
$(7x - 2y)^2 + (6y - 1)^2 = 0$
Сумма двух квадратов равна нулю, только если оба основания равны нулю:
$\begin{cases} 7x - 2y = 0 \\ 6y - 1 = 0 \end{cases}$
Из второго уравнения находим $y$:
$6y = 1 \implies y = \frac{1}{6}$
Подставим найденное значение $y$ в первое уравнение:
$7x - 2(\frac{1}{6}) = 0$
$7x - \frac{1}{3} = 0$
$7x = \frac{1}{3}$
$x = \frac{1}{21}$
Ответ: $(\frac{1}{21}; \frac{1}{6})$.