Номер 5, страница 70 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1 Мерзляк, Полонский

Параграф 29. Решение задач с помощью систем линейных уравнений. Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. Рабочая тетрадь 2 - номер 5, страница 70.

Условие.

5. Из пункта A в пункт B выехал велосипедист. Через 30 мин после этого навстречу ему из пункта B выехал мотоциклист, который встретил велосипедиста через 1 ч 30 мин после своего выезда. Найдите скорость каждого из них, если расстояние между пунктами A и B равно 135 км и велосипедист за 3 ч проезжает на 95 км меньше, чем мотоциклист за 2 ч.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для решения задачи введем переменные. Пусть $v_в$ — скорость велосипедиста в км/ч, а $v_м$ — скорость мотоциклиста в км/ч.

Из условия известно, что велосипедист за 3 часа проезжает на 95 км меньше, чем мотоциклист за 2 часа. Это можно выразить следующим уравнением:

$2 \cdot v_м - 3 \cdot v_в = 95$

Это наше первое уравнение.

Теперь рассмотрим движение до момента встречи. Мотоциклист выехал через 30 минут ($0.5$ часа) после велосипедиста и встретил его через 1 час 30 минут ($1.5$ часа) после своего выезда.

Время в пути мотоциклиста до встречи составляет $t_м = 1.5$ ч.

Велосипедист до выезда мотоциклиста уже был в пути 30 минут, а затем ехал еще 1 час 30 минут до встречи. Таким образом, общее время в пути велосипедиста до встречи составляет:

$t_в = 0.5 \text{ ч} + 1.5 \text{ ч} = 2$ ч.

За это время они вместе преодолели все расстояние между пунктами A и B, равное 135 км. Сумма расстояний, пройденных велосипедистом ($S_в$) и мотоциклистом ($S_м$) до встречи, равна общему расстоянию:

$S_в + S_м = 135$

Подставим формулы расстояния ($S=v \cdot t$):

$v_в \cdot t_в + v_м \cdot t_м = 135$

$v_в \cdot 2 + v_м \cdot 1.5 = 135$

Это наше второе уравнение: $2v_в + 1.5v_м = 135$.

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений:

$\begin{cases} 2v_м - 3v_в = 95 \\ 1.5v_м + 2v_в = 135 \end{cases}$

Решим эту систему. Выразим $v_м$ из первого уравнения:

$2v_м = 95 + 3v_в$

$v_м = \frac{95 + 3v_в}{2} = 47.5 + 1.5v_в$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$1.5(47.5 + 1.5v_в) + 2v_в = 135$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $v_в$:

$71.25 + 2.25v_в + 2v_в = 135$

$4.25v_в = 135 - 71.25$

$4.25v_в = 63.75$

$v_в = \frac{63.75}{4.25} = 15$

Таким образом, скорость велосипедиста равна 15 км/ч.

Теперь найдем скорость мотоциклиста, подставив найденное значение $v_в$ в выражение для $v_м$:

$v_м = 47.5 + 1.5 \cdot 15$

$v_м = 47.5 + 22.5$

$v_м = 70$

Таким образом, скорость мотоциклиста равна 70 км/ч.

Проведем проверку найденных значений.

1. Расстояние, которое проедет мотоциклист за 2 часа: $2 \cdot 70 = 140$ км. Расстояние, которое проедет велосипедист за 3 часа: $3 \cdot 15 = 45$ км. Разница составляет $140 - 45 = 95$ км, что соответствует условию задачи.

2. Расстояние, которое проехал велосипедист до встречи за 2 часа: $2 \cdot 15 = 30$ км. Расстояние, которое проехал мотоциклист до встречи за 1.5 часа: $1.5 \cdot 70 = 105$ км. Суммарное расстояние: $30 + 105 = 135$ км, что соответствует общему расстоянию между пунктами A и B.

Ответ: скорость велосипедиста — 15 км/ч, скорость мотоциклиста — 70 км/ч.