Номер 6, страница 71 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1 Мерзляк, Полонский

Параграф 29. Решение задач с помощью систем линейных уравнений. Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. Рабочая тетрадь 2 - номер 6, страница 71.

Условие.

6. Из одного города одновременно по одной дороге выехали грузовой и легковой автомобили. Через 4,5 ч после начала движения расстояние между ними было 63 км. Если бы они выехали в противоположных направлениях, то через 2,5 ч расстояние между ними составило бы 325 км. Найдите скорость каждого автомобиля.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для решения задачи введем переменные. Пусть $v_л$ — скорость легкового автомобиля в км/ч, а $v_г$ — скорость грузового автомобиля в км/ч.

1. Анализ первого условия: движение в одном направлении.
Когда автомобили выезжают из одного города в одном направлении, расстояние между ними увеличивается со скоростью, равной разности их скоростей (при условии, что скорости не равны). Эту скорость называют скоростью удаления. Предположим, что легковой автомобиль едет быстрее, тогда скорость удаления равна $v_л - v_г$.
По условию, за время $t_1 = 4,5$ ч расстояние между автомобилями стало $S_1 = 63$ км.
Используя формулу расстояния $S = v \cdot t$, составим первое уравнение:
$(v_л - v_г) \cdot 4,5 = 63$
Из этого уравнения можно найти разность скоростей:
$v_л - v_г = \frac{63}{4,5} = \frac{630}{45} = 14$

2. Анализ второго условия: движение в противоположных направлениях.
Если бы автомобили выехали в противоположных направлениях, то скорость их взаимного удаления была бы равна сумме их скоростей: $v_л + v_г$.
По условию, в этом случае за время $t_2 = 2,5$ ч расстояние между ними составило бы $S_2 = 325$ км.
Составим второе уравнение:
$(v_л + v_г) \cdot 2,5 = 325$
Теперь найдем сумму скоростей:
$v_л + v_г = \frac{325}{2,5} = \frac{3250}{25} = 130$

3. Решение системы уравнений.
Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя переменными $v_л$ и $v_г$:

$ \begin{cases} v_л - v_г = 14 \\ v_л + v_г = 130 \end{cases} $

Сложим первое и второе уравнения, чтобы найти скорость легкового автомобиля:
$(v_л - v_г) + (v_л + v_г) = 14 + 130$
$2v_л = 144$
$v_л = \frac{144}{2} = 72$ (км/ч).

Теперь подставим найденное значение $v_л$ во второе уравнение ($v_л + v_г = 130$), чтобы найти скорость грузового автомобиля:
$72 + v_г = 130$
$v_г = 130 - 72$
$v_г = 58$ (км/ч).

Таким образом, скорость легкового автомобиля составляет 72 км/ч, а скорость грузового автомобиля — 58 км/ч.
Ответ: скорость грузового автомобиля — 58 км/ч, скорость легкового автомобиля — 72 км/ч.