Номер 13, страница 77 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1 Мерзляк, Полонский

Рабочая тетрадь 2. Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. Параграф 29. Решение задач с помощью систем линейных уравнений - номер 13, страница 77.

Условие.

13. Велосипедист доезжает из города А в город В за 3 ч 22 мин, а из города В в город А – за 3 ч 18 мин. Дорога между городами А и В состоит из спусков, подъёмов и ровных участков. Общая длина ровных участков дороги составляет 18 км. На спусках велосипедист движется со скоростью 15 км/ч, на подъёмах – 10 км/ч, а на ровных участках – 12 км/ч. Найдите длину дороги между городами А и В.

Решение.

Пусть общая длина спусков на пути из А в В равна $x$ км, а общая длина подъёмов – $y$ км. Тогда, двигаясь из А в В, на все спуски велосипедист тратил $\frac{x}{15}$ ч, на все подъёмы – $\frac{y}{10}$ ч, а на ровные участки – $\frac{18}{12}$ ч.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение.

Пусть общая длина спусков на пути из города А в город В равна $x$ км, а общая длина подъёмов на этом же пути — $y$ км. По условию, общая длина ровных участков дороги составляет 18 км.

Скорости велосипедиста на разных участках:

• на спусках ($v_{сп}$): 15 км/ч
• на подъёмах ($v_{пд}$): 10 км/ч
• на ровных участках ($v_{рв}$): 12 км/ч

Переведем общее время в пути в часы:

• Время из А в В: 3 ч 22 мин = $3 + \frac{22}{60} \text{ ч} = 3 + \frac{11}{30} \text{ ч} = \frac{90+11}{30} \text{ ч} = \frac{101}{30}$ ч.
• Время из В в А: 3 ч 18 мин = $3 + \frac{18}{60} \text{ ч} = 3 + \frac{3}{10} \text{ ч} = \frac{30+3}{10} \text{ ч} = \frac{33}{10}$ ч.

Когда велосипедист едет из А в В, он тратит время $t_{АВ}$. Это время складывается из времени на спусках, подъёмах и ровных участках:$t_{АВ} = \frac{x}{v_{сп}} + \frac{y}{v_{пд}} + \frac{18}{v_{рв}}$

Подставим значения скоростей и времени:$\frac{x}{15} + \frac{y}{10} + \frac{18}{12} = \frac{101}{30}$

Когда велосипедист едет обратно из В в А, участки, которые были спусками, становятся подъёмами, а подъёмы — спусками. Длина ровных участков не меняется. Таким образом, на пути из В в А длина спусков равна $y$ км, а длина подъёмов — $x$ км.

Время в пути из В в А ($t_{ВА}$) равно:$t_{ВА} = \frac{y}{v_{сп}} + \frac{x}{v_{пд}} + \frac{18}{v_{рв}}$

Подставим значения:$\frac{y}{15} + \frac{x}{10} + \frac{18}{12} = \frac{33}{10}$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными. Упростим её. Сначала вычислим время на ровных участках: $\frac{18}{12} = \frac{3}{2}$.

Система уравнений:$\begin{cases} \frac{x}{15} + \frac{y}{10} + \frac{3}{2} = \frac{101}{30} \\ \frac{x}{10} + \frac{y}{15} + \frac{3}{2} = \frac{33}{10} \end{cases}$

Перенесем постоянный член $\frac{3}{2}$ в правую часть каждого уравнения:

1) $\frac{x}{15} + \frac{y}{10} = \frac{101}{30} - \frac{3}{2} = \frac{101}{30} - \frac{45}{30} = \frac{56}{30} = \frac{28}{15}$

2) $\frac{x}{10} + \frac{y}{15} = \frac{33}{10} - \frac{3}{2} = \frac{33}{10} - \frac{15}{10} = \frac{18}{10} = \frac{9}{5}$

Получили упрощенную систему:$\begin{cases} \frac{x}{15} + \frac{y}{10} = \frac{28}{15} \\ \frac{x}{10} + \frac{y}{15} = \frac{9}{5} \end{cases}$

Чтобы избавиться от дробей, умножим оба уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей (15, 10, 5), то есть на 30:

$\begin{cases} 30 \cdot (\frac{x}{15} + \frac{y}{10}) = 30 \cdot \frac{28}{15} \\ 30 \cdot (\frac{x}{10} + \frac{y}{15}) = 30 \cdot \frac{9}{5} \end{cases}$

$\begin{cases} 2x + 3y = 56 \\ 3x + 2y = 54 \end{cases}$

Решим эту систему. Умножим первое уравнение на 3, а второе на 2, чтобы уравнять коэффициенты при $x$:

$\begin{cases} 6x + 9y = 168 \\ 6x + 4y = 108 \end{cases}$

Вычтем второе уравнение из первого:$(6x + 9y) - (6x + 4y) = 168 - 108$$5y = 60$$y = 12$

Теперь подставим значение $y=12$ в уравнение $2x + 3y = 56$:$2x + 3 \cdot 12 = 56$$2x + 36 = 56$$2x = 56 - 36$$2x = 20$$x = 10$

Таким образом, общая длина спусков на пути из А в В составляет 10 км, а общая длина подъёмов — 12 км.

Чтобы найти общую длину дороги между городами А и В, нужно сложить длины всех участков: спусков, подъёмов и ровных участков.

Длина дороги = $x + y + 18 = 10 + 12 + 18 = 40$ км.

Ответ: 40 км.