Номер 11, страница 75 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1 Мерзляк, Полонский

Рабочая тетрадь 2. Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. Параграф 29. Решение задач с помощью систем линейных уравнений - номер 11, страница 75.

Условие.

11. Имеется два водно-солевых раствора. Первый раствор содержит $35\%$, а второй – $15\%$ соли. Сколько граммов каждого раствора надо взять, чтобы получить $200$ г раствора, содержащего $29\%$ соли?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для решения этой задачи составим систему из двух уравнений с двумя неизвестными. Обозначим массу первого раствора (с 35% содержанием соли) как $x$ грамм, а массу второго раствора (с 15% содержанием соли) как $y$ грамм.

1. Уравнение общей массы.

Сумма масс двух растворов должна быть равна массе итогового раствора, то есть 200 г. Отсюда получаем первое уравнение:

$x + y = 200$

2. Уравнение массы соли.

Масса соли в первом растворе составляет 35% от его общей массы, то есть $0.35x$ г.

Масса соли во втором растворе составляет 15% от его общей массы, то есть $0.15y$ г.

Масса соли в конечном растворе должна составлять 29% от его общей массы (200 г), что равно $0.29 \cdot 200 = 58$ г.

Сумма масс соли из двух исходных растворов должна быть равна массе соли в конечном растворе. Отсюда получаем второе уравнение:

$0.35x + 0.15y = 58$

3. Решение системы уравнений.

Мы получили систему уравнений:

$\begin{cases} x + y = 200 \\ 0.35x + 0.15y = 58 \end{cases}$

Выразим $y$ из первого уравнения:

$y = 200 - x$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$0.35x + 0.15(200 - x) = 58$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $x$:

$0.35x + 30 - 0.15x = 58$

$0.20x = 58 - 30$

$0.2x = 28$

$x = \frac{28}{0.2}$

$x = 140$

Таким образом, масса первого раствора составляет 140 г. Теперь найдем массу второго раствора, подставив значение $x$ в выражение для $y$:

$y = 200 - 140$

$y = 60$

Масса второго раствора составляет 60 г.

4. Проверка.

Проверим, выполняется ли условие по массе соли:

Масса соли в 140 г 35%-го раствора: $140 \cdot 0.35 = 49$ г.

Масса соли в 60 г 15%-го раствора: $60 \cdot 0.15 = 9$ г.

Общая масса соли: $49 + 9 = 58$ г.

Масса соли в 200 г 29%-го раствора: $200 \cdot 0.29 = 58$ г.

Условия выполняются, решение верное.

Ответ: необходимо взять 140 грамм первого раствора (35%) и 60 грамм второго раствора (15%).