Номер 4, страница 70 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1 Мерзляк, Полонский

Параграф 29. Решение задач с помощью систем линейных уравнений. Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. Рабочая тетрадь 2 - номер 4, страница 70.

Условие.

4. Из двух пунктов, расстояние между которыми 78 км, выехали одновременно навстречу друг другу два велосипедиста, которые встретились через 3 ч после начала движения. Известно, что за 2,5 ч один велосипедист проезжает на 16 км больше, чем второй велосипедист за час. Найдите скорость каждого велосипедиста.

Решение.

Пусть скорость первого велосипедиста равна $x$ км/ч, а скорость вто-рого — $y$ км/ч. За 3 ч первый велосипедист проехал км, а второй — км.

Велосипедисты встретились, следовательно, вместе они проехали 78 км. Можем записать уравнение:

За 2,5 ч первый велосипедист проезжает км, что на 16 км больше, чем км. Можем записать уравнение:

Получили систему уравнений:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение.

Пусть скорость первого велосипедиста равна $x$ км/ч, а скорость второго — $y$ км/ч. Расстояние, которое проехал первый велосипедист за 3 часа, равно $3x$ км, а второй за то же время — $3y$ км.

Поскольку велосипедисты выехали одновременно навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 78 км, и встретились через 3 часа, то суммарное расстояние, которое они проехали, равно 78 км. На основании этого можно составить первое уравнение:

$3x + 3y = 78$

Известно, что за 2,5 часа один велосипедист проезжает на 16 км больше, чем второй за час. Согласно условию, будем считать, что это первый велосипедист. Расстояние, которое он проезжает за 2,5 часа, равно $2.5x$ км. Расстояние, которое второй велосипедист проезжает за 1 час, равно $y$ км. Составим второе уравнение:

$2.5x - y = 16$

Таким образом, мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases} 3x + 3y = 78 \\ 2.5x - y = 16 \end{cases}$

Для удобства решения упростим первое уравнение, разделив обе его части на 3:

$x + y = 26$

Теперь система выглядит так:

$\begin{cases} x + y = 26 \\ 2.5x - y = 16 \end{cases}$

Выразим $y$ из первого уравнения:

$y = 26 - x$

Подставим полученное выражение для $y$ во второе уравнение системы:

$2.5x - (26 - x) = 16$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $x$:

$2.5x - 26 + x = 16$

$3.5x = 16 + 26$

$3.5x = 42$

$x = \frac{42}{3.5}$

$x = 12$

Итак, скорость первого велосипедиста составляет 12 км/ч.

Теперь найдем скорость второго велосипедиста, подставив найденное значение $x$ в выражение $y = 26 - x$:

$y = 26 - 12$

$y = 14$

Следовательно, скорость второго велосипедиста составляет 14 км/ч.

Проверка:

1. Проверим, встретятся ли они через 3 часа: $3 \cdot 12 + 3 \cdot 14 = 36 + 42 = 78$ км. Условие выполняется.

2. Проверим второе условие: $2.5 \cdot 12 - 14 = 30 - 14 = 16$ км. Условие выполняется.

Ответ: скорость первого велосипедиста — 12 км/ч, скорость второго велосипедиста — 14 км/ч.