Номер 10, страница 66 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1 Мерзляк, Полонский

Параграф 28. Решение систем линейных уравнений методом сложения. Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. Рабочая тетрадь 2 - номер 10, страница 66.

Условие.

10. Решите систему уравнений:

$1) \begin{cases} \frac{3}{x} + \frac{14}{y} = -30, \\ \frac{7}{x} + \frac{4}{y} = 16; \end{cases}$

Решение.

Обозначим $\frac{1}{x} = a, \frac{1}{y} = b$. Тогда данная система примет вид

$2) \begin{cases} \frac{9}{x - 3y} + \frac{55}{2x + 4y} = 8, \\ \frac{12}{x - 3y} - \frac{11}{2x + 4y} = 3. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} \frac{3}{x} + \frac{14}{y} = -30 \\ \frac{7}{x} + \frac{4}{y} = 16 \end{cases} $$ Для решения этой системы удобно ввести новые переменные. Пусть $a = \frac{1}{x}$ и $b = \frac{1}{y}$. Тогда исходная система уравнений преобразуется в линейную систему относительно $a$ и $b$: $$ \begin{cases} 3a + 14b = -30 \\ 7a + 4b = 16 \end{cases} $$ Решим эту систему методом алгебраического сложения. Умножим первое уравнение на 2, а второе на -7, чтобы коэффициенты при переменной $b$ стали противоположными числами: $$ \begin{cases} 2 \cdot (3a + 14b) = 2 \cdot (-30) \\ -7 \cdot (7a + 4b) = -7 \cdot 16 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} 6a + 28b = -60 \\ -49a - 28b = -112 \end{cases} $$ Теперь сложим два уравнения почленно: $$(6a + 28b) + (-49a - 28b) = -60 + (-112)$$ $$6a - 49a = -172$$ $$-43a = -172$$ $$a = \frac{-172}{-43} = 4$$ Подставим найденное значение $a=4$ во второе уравнение системы для $a$ и $b$ ($7a + 4b = 16$): $$7(4) + 4b = 16$$ $$28 + 4b = 16$$ $$4b = 16 - 28$$ $$4b = -12$$ $$b = \frac{-12}{4} = -3$$ Теперь, зная значения $a$ и $b$, вернемся к исходным переменным $x$ и $y$.
Поскольку $a = \frac{1}{x}$, то $4 = \frac{1}{x}$, откуда следует, что $x = \frac{1}{4}$.
Поскольку $b = \frac{1}{y}$, то $-3 = \frac{1}{y}$, откуда следует, что $y = -\frac{1}{3}$.

Ответ: $(\frac{1}{4}; -\frac{1}{3})$

2)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} \frac{9}{x - 3y} + \frac{55}{2x + 4y} = 8 \\ \frac{12}{x - 3y} - \frac{11}{2x + 4y} = 3 \end{cases} $$ Введем новые переменные. Пусть $a = \frac{1}{x - 3y}$ и $b = \frac{1}{2x + 4y}$. Тогда система примет вид: $$ \begin{cases} 9a + 55b = 8 \\ 12a - 11b = 3 \end{cases} $$ Решим эту систему методом сложения. Умножим второе уравнение на 5, чтобы коэффициенты при $b$ стали противоположными: $$ \begin{cases} 9a + 55b = 8 \\ 5 \cdot (12a - 11b) = 5 \cdot 3 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} 9a + 55b = 8 \\ 60a - 55b = 15 \end{cases} $$ Сложим два уравнения: $$(9a + 55b) + (60a - 55b) = 8 + 15$$ $$69a = 23$$ $$a = \frac{23}{69} = \frac{1}{3}$$ Подставим $a = \frac{1}{3}$ во второе уравнение системы для $a$ и $b$ ($12a - 11b = 3$): $$12\left(\frac{1}{3}\right) - 11b = 3$$ $$4 - 11b = 3$$ $$-11b = 3 - 4$$ $$-11b = -1$$ $$b = \frac{-1}{-11} = \frac{1}{11}$$ Теперь вернемся к переменным $x$ и $y$. Мы получили новую систему: $$ \begin{cases} \frac{1}{x - 3y} = \frac{1}{3} \\ \frac{1}{2x + 4y} = \frac{1}{11} \end{cases} $$ Что эквивалентно: $$ \begin{cases} x - 3y = 3 \\ 2x + 4y = 11 \end{cases} $$ Решим эту систему методом подстановки. Из первого уравнения выразим $x$: $x = 3 + 3y$.
Подставим это выражение во второе уравнение: $$2(3 + 3y) + 4y = 11$$ $$6 + 6y + 4y = 11$$ $$10y = 11 - 6$$ $$10y = 5$$ $$y = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$$ Теперь найдем $x$, подставив значение $y$ в выражение для $x$: $$x = 3 + 3y = 3 + 3\left(\frac{1}{2}\right) = 3 + \frac{3}{2} = \frac{6}{2} + \frac{3}{2} = \frac{9}{2}$$

Ответ: $(\frac{9}{2}; \frac{1}{2})$