Номер 6, страница 62 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1 Мерзляк, Полонский

Рабочая тетрадь 2. Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. Параграф 28. Решение систем линейных уравнений методом сложения - номер 6, страница 62.

Условие.

6. Решите систему уравнений

$ \begin{cases} (3x+1)^2 - (3x-y)(3x+y) = (y+6)(y-3)+10, \\ (3x-1)(5y+1) = 5x(3y+2)+1. \end{cases} $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для решения данной системы уравнений сначала упростим каждое уравнение по отдельности.

Исходная система:

$ \begin{cases} (3x + 1)^2 - (3x - y)(3x + y) = (y + 6)(y - 3) + 10 \\ (3x - 1)(5y + 1) = 5x(3y + 2) + 1 \end{cases} $

1. Упрощение первого уравнения

Рассмотрим первое уравнение: $(3x + 1)^2 - (3x - y)(3x + y) = (y + 6)(y - 3) + 10$.

Раскроем скобки в левой части, используя формулы сокращенного умножения: квадрат суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ и разность квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$.

$(3x+1)^2 = (3x)^2 + 2 \cdot 3x \cdot 1 + 1^2 = 9x^2 + 6x + 1$

$(3x-y)(3x+y) = (3x)^2 - y^2 = 9x^2 - y^2$

Левая часть уравнения принимает вид:

$(9x^2 + 6x + 1) - (9x^2 - y^2) = 9x^2 + 6x + 1 - 9x^2 + y^2 = 6x + y^2 + 1$

Теперь раскроем скобки в правой части уравнения:

$(y + 6)(y - 3) + 10 = y^2 - 3y + 6y - 18 + 10 = y^2 + 3y - 8$

Приравняем упрощенные левую и правую части:

$6x + y^2 + 1 = y^2 + 3y - 8$

Сократим $y^2$ в обеих частях и приведем подобные слагаемые:

$6x + 1 = 3y - 8$

$6x - 3y = -8 - 1$

$6x - 3y = -9$

Разделим обе части уравнения на 3, чтобы упростить его:

$2x - y = -3$

2. Упрощение второго уравнения

Рассмотрим второе уравнение: $(3x - 1)(5y + 1) = 5x(3y + 2) + 1$.

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

Левая часть: $3x \cdot 5y + 3x \cdot 1 - 1 \cdot 5y - 1 \cdot 1 = 15xy + 3x - 5y - 1$

Правая часть: $5x \cdot 3y + 5x \cdot 2 + 1 = 15xy + 10x + 1$

Приравняем обе части:

$15xy + 3x - 5y - 1 = 15xy + 10x + 1$

Сократим $15xy$ в обеих частях:

$3x - 5y - 1 = 10x + 1$

Сгруппируем переменные в одной части, а константы в другой:

$3x - 10x - 5y = 1 + 1$

$-7x - 5y = 2$

Умножим обе части на -1 для удобства:

$7x + 5y = -2$

3. Решение системы линейных уравнений

В результате упрощений мы получили систему двух линейных уравнений:

$ \begin{cases} 2x - y = -3 \\ 7x + 5y = -2 \end{cases} $

Решим эту систему методом подстановки. Выразим $y$ из первого уравнения:

$y = 2x + 3$

Подставим это выражение для $y$ во второе уравнение:

$7x + 5(2x + 3) = -2$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $x$:

$7x + 10x + 15 = -2$

$17x = -2 - 15$

$17x = -17$

$x = -1$

Теперь найдем значение $y$, подставив найденное значение $x = -1$ в выражение $y = 2x + 3$:

$y = 2(-1) + 3$

$y = -2 + 3$

$y = 1$

Таким образом, решение системы уравнений: $x = -1, y = 1$.

Ответ: $(-1; 1)$.