Номер 3, страница 56 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1 Мерзляк, Полонский

Параграф 27. Решение систем линейных уравнений методом подстановки. Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. Рабочая тетрадь 2 - номер 3, страница 56.

Условие.

3. Найдите решения системы уравнений:

1) $$\\begin{cases} 2(x - y) + 1 = 3x - 4y \\\\ 10 - 4(x + y) = 3x - 3y \\end{cases}$$

Решение.

Преобразуем уравнения

данной системы:

$$\\begin{cases} 2x - 2y + 1 = 3x - 4y \\end{cases}$$

2) $$\\begin{cases} \\frac{x}{2} - \\frac{y}{6} = 1 \\\\ \\frac{x}{3} + \\frac{y}{4} = 3 \\end{cases}$$

Решение.

3) $$\\begin{cases} \\frac{2x + 3}{7} - \\frac{5y - 1}{2} = 1 \\\\ 3y + x = 12 \\end{cases}$$

Решение.

Умножим обе части первого

уравнения на число 14:

$$\\begin{cases} (\\frac{2x + 3}{7} - \\frac{5y - 1}{2}) \\cdot 14 = 1 \\cdot 14 \\\\ 3y + x = 12 \\end{cases}$$

4) $$\\begin{cases} \\frac{3x - 2}{7} - \\frac{2y + 1}{3} = 4 \\\\ \\frac{x + y}{4} + \\frac{5x - y}{8} = 2 \\end{cases}$$

Решение.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} 2(x - y) + 1 = 3x - 4y \\ 10 - 4(x + y) = 3x - 3y \end{cases} $

Преобразуем оба уравнения, раскрывая скобки и приводя подобные слагаемые.
Первое уравнение:
$2x - 2y + 1 = 3x - 4y$
$4y - 2y = 3x - 2x - 1$
$2y = x - 1$
$x - 2y = 1$

Второе уравнение:
$10 - 4(x + y) = 3x - 3y$
$10 - 4x - 4y = 3x - 3y$
$10 = 3x + 4x - 3y + 4y$
$10 = 7x + y$
$7x + y = 10$

Получили упрощенную систему: $ \begin{cases} x - 2y = 1 \\ 7x + y = 10 \end{cases} $

Для решения системы используем метод подстановки. Из первого уравнения выразим $x$:
$x = 1 + 2y$

Подставим полученное выражение для $x$ во второе уравнение:
$7(1 + 2y) + y = 10$
$7 + 14y + y = 10$
$15y = 10 - 7$
$15y = 3$
$y = \frac{3}{15} = \frac{1}{5}$

Теперь найдем $x$, подставив значение $y$ в выражение для $x$:
$x = 1 + 2 \cdot \frac{1}{5} = 1 + \frac{2}{5} = \frac{5}{5} + \frac{2}{5} = \frac{7}{5}$

Ответ: $x = \frac{7}{5}, y = \frac{1}{5}$.

2)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} \frac{x}{2} - \frac{y}{6} = 1 \\ \frac{x}{3} + \frac{y}{4} = 3 \end{cases} $

Чтобы избавиться от дробей, умножим каждое уравнение на общий знаменатель его слагаемых.
Умножим первое уравнение на 6 (наименьшее общее кратное для 2 и 6):
$6 \cdot (\frac{x}{2} - \frac{y}{6}) = 6 \cdot 1$
$3x - y = 6$

Умножим второе уравнение на 12 (наименьшее общее кратное для 3 и 4):
$12 \cdot (\frac{x}{3} + \frac{y}{4}) = 12 \cdot 3$
$4x + 3y = 36$

Получили систему линейных уравнений без дробей: $ \begin{cases} 3x - y = 6 \\ 4x + 3y = 36 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $y$:
$y = 3x - 6$

Подставим это выражение во второе уравнение:
$4x + 3(3x - 6) = 36$
$4x + 9x - 18 = 36$
$13x = 36 + 18$
$13x = 54$
$x = \frac{54}{13}$

Теперь найдем $y$:
$y = 3 \cdot \frac{54}{13} - 6 = \frac{162}{13} - \frac{78}{13} = \frac{84}{13}$

Ответ: $x = \frac{54}{13}, y = \frac{84}{13}$.

3)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} \frac{2x + 3}{7} - \frac{5y - 1}{2} = 1 \\ 3y + x = 12 \end{cases} $

Упростим первое уравнение, умножив его на 14 (наименьшее общее кратное для 7 и 2):
$14 \cdot (\frac{2x + 3}{7}) - 14 \cdot (\frac{5y - 1}{2}) = 14 \cdot 1$
$2(2x + 3) - 7(5y - 1) = 14$
$4x + 6 - 35y + 7 = 14$
$4x - 35y + 13 = 14$
$4x - 35y = 1$

Второе уравнение преобразуем, выразив $x$:
$x = 12 - 3y$

Теперь у нас есть система: $ \begin{cases} 4x - 35y = 1 \\ x = 12 - 3y \end{cases} $

Подставим выражение для $x$ из второго уравнения в первое:
$4(12 - 3y) - 35y = 1$
$48 - 12y - 35y = 1$
$48 - 47y = 1$
$47 = 47y$
$y = 1$

Подставим найденное значение $y$ в выражение для $x$:
$x = 12 - 3(1) = 12 - 3 = 9$

Ответ: $x=9, y=1$.

4)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} \frac{3x - 2}{7} - \frac{2y + 1}{3} = 4 \\ \frac{x + y}{4} + \frac{5x - y}{8} = 2 \end{cases} $

Преобразуем первое уравнение, умножив его на 21 (НОК 7 и 3):
$3(3x - 2) - 7(2y + 1) = 84$
$9x - 6 - 14y - 7 = 84$
$9x - 14y = 97$

Преобразуем второе уравнение, умножив его на 8 (НОК 4 и 8):
$2(x + y) + (5x - y) = 16$
$2x + 2y + 5x - y = 16$
$7x + y = 16$

Получили систему: $ \begin{cases} 9x - 14y = 97 \\ 7x + y = 16 \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $y$:
$y = 16 - 7x$

Подставим это выражение в первое уравнение:
$9x - 14(16 - 7x) = 97$
$9x - 224 + 98x = 97$
$107x = 97 + 224$
$107x = 321$
$x = 3$

Найдем $y$, подставив значение $x$:
$y = 16 - 7(3) = 16 - 21 = -5$

Ответ: $x=3, y=-5$.