Номер 10, страница 51 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1 Мерзляк, Полонский

Параграф 26. Системы уравнений с двумя переменными. Графический метод решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными. Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. Рабочая тетрадь 2 - номер 10, страница 51.

Условие.

10. К уравнению $3x - 2y = 24$ подберите второе линейное уравнение так, чтобы получилась система уравнений, которая:

1) имеет единственное решение:

$\begin{cases} 3x - 2y = 24, \\ \rule{3cm}{0.15mm}; \end{cases}$

2) имеет бесконечно много решений:

$\begin{cases} 3x - 2y = 24, \\ \rule{3cm}{0.15mm}; \end{cases}$

3) не имеет решений:

$\begin{cases} 3x - 2y = 24, \\ \rule{3cm}{0.15mm}. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя переменными в общем виде:

$\begin{cases}a_1x + b_1y = c_1 \\a_2x + b_2y = c_2\end{cases}$

Количество решений такой системы определяется соотношением её коэффициентов. Нам дано первое уравнение $3x - 2y = 24$, где $a_1=3$, $b_1=-2$ и $c_1=24$. Подберем второе уравнение $a_2x + b_2y = c_2$ для каждого из трех случаев.

1) имеет единственное решение:

Система имеет единственное решение, если графики уравнений (прямые) пересекаются в одной точке. Это происходит, когда их угловые коэффициенты различны, что математически выражается условием $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$.

Нам нужно подобрать коэффициенты $a_2$ и $b_2$ так, чтобы выполнялось условие $\frac{3}{a_2} \neq \frac{-2}{b_2}$.

Проще всего выбрать коэффициенты, которые очевидно не пропорциональны исходным. Например, возьмем уравнение $x + y = 5$. В этом случае $a_2=1$ и $b_2=1$.

Проверим условие: $\frac{3}{1} \neq \frac{-2}{1}$, или $3 \neq -2$. Условие выполняется. Свободный член $c_2$ может быть любым.

Таким образом, система уравнений$\begin{cases}3x - 2y = 24, \\x + y = 5\end{cases}$имеет единственное решение.

Ответ: $x + y = 5$

2) имеет бесконечно много решений:

Система имеет бесконечно много решений, если оба уравнения описывают одну и ту же прямую. Это означает, что коэффициенты одного уравнения пропорциональны коэффициентам другого, то есть $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$.

Чтобы получить такое уравнение, достаточно умножить исходное уравнение $3x - 2y = 24$ на любое ненулевое число $k$. Возьмем $k=2$.

$2 \cdot (3x - 2y) = 2 \cdot 24$

$6x - 4y = 48$

В этом случае $a_2=6$, $b_2=-4$, $c_2=48$. Проверим условие пропорциональности:

$\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$; $\frac{-2}{-4} = \frac{1}{2}$; $\frac{24}{48} = \frac{1}{2}$.

Так как $\frac{3}{6} = \frac{-2}{-4} = \frac{24}{48}$, система$\begin{cases}3x - 2y = 24, \\6x - 4y = 48\end{cases}$имеет бесконечно много решений.

Ответ: $6x - 4y = 48$

3) не имеет решений:

Система не имеет решений, если графики уравнений (прямые) параллельны, но не совпадают. Это происходит, когда коэффициенты при переменных пропорциональны, а свободные члены этому отношению не соответствуют: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$.

Мы можем взять левую часть второго уравнения пропорциональной левой части первого, а правую часть — нет. Самый простой способ — скопировать левую часть и изменить правую. Пусть $a_2=3$ и $b_2=-2$. Тогда отношение коэффициентов при переменных будет равно 1: $\frac{3}{3} = \frac{-2}{-2} = 1$.

Теперь нужно выбрать свободный член $c_2$ так, чтобы отношение $\frac{c_1}{c_2}$ не было равно 1. То есть, $\frac{24}{c_2} \neq 1$, что означает $c_2 \neq 24$.

Выберем любое значение для $c_2$, кроме 24, например, $c_2=10$. Получаем уравнение $3x - 2y = 10$.

В этом случае система$\begin{cases}3x - 2y = 24, \\3x - 2y = 10\end{cases}$не имеет решений, так как $\frac{3}{3} = \frac{-2}{-2} = 1$, но $1 \neq \frac{24}{10}$. Условие выполнено.

Ответ: $3x - 2y = 10$