Номер 4, страница 46 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1 Мерзляк, Полонский

Параграф 26. Системы уравнений с двумя переменными. Графический метод решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными. Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. Рабочая тетрадь 2 - номер 4, страница 46.

Условие.

4. Решите графически систему уравнений:

1) $\begin{cases} 2x - y = 2, \\ x + y = 1; \end{cases}$

Решение.

Ответ:

2) $\begin{cases} x - y = -2, \\ x - 6y = 8; \end{cases}$

Решение.

Ответ:

3) $\begin{cases} 5x - 3y = 3, \\ 3x - y = 5. \end{cases}$

Решение.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Для того чтобы решить систему уравнений графически, необходимо построить график каждого уравнения в одной системе координат. Точка пересечения графиков и будет решением системы.

Первое уравнение: $2x - y = 2$. Выразим $y$ через $x$, чтобы получить уравнение функции: $y = 2x - 2$. Это линейная функция, ее график — прямая. Для построения прямой достаточно двух точек. Найдем координаты двух точек:

• Если $x = 0$, то $y = 2 \cdot 0 - 2 = -2$. Точка $(0, -2)$.
• Если $x = 1$, то $y = 2 \cdot 1 - 2 = 0$. Точка $(1, 0)$.

Второе уравнение: $x + y = 1$. Выразим $y$ через $x$: $y = 1 - x$. Это также линейная функция. Найдем координаты двух точек для ее графика:

• Если $x = 0$, то $y = 1 - 0 = 1$. Точка $(0, 1)$.
• Если $x = 1$, то $y = 1 - 1 = 0$. Точка $(1, 0)$.

Построим оба графика на координатной плоскости. Прямая $y = 2x - 2$ проходит через точки $(0, -2)$ и $(1, 0)$. Прямая $y = 1 - x$ проходит через точки $(0, 1)$ и $(1, 0)$. Графики пересекаются в точке с координатами $(1, 0)$. Это и есть решение системы.

Ответ: $(1, 0)$.

2) Решим графически систему уравнений: $\begin{cases} x - y = -2, \\ x - 6y = 8. \end{cases}$

Первое уравнение: $x - y = -2$. Выразим $y$ через $x$: $y = x + 2$. Это линейная функция. Найдем две точки для построения графика:

• Если $x = 0$, то $y = 0 + 2 = 2$. Точка $(0, 2)$.
• Если $x = -2$, то $y = -2 + 2 = 0$. Точка $(-2, 0)$.

Второе уравнение: $x - 6y = 8$. Выразим $y$ через $x$: $6y = x - 8$, откуда $y = \frac{1}{6}x - \frac{8}{6} = \frac{1}{6}x - \frac{4}{3}$. Найдем две точки для построения графика. Чтобы избежать дробей, удобно подбирать значения $x$, которые делятся на 6 или дают целые значения $y$.

• Если $x = 2$, то $y = \frac{1}{6} \cdot 2 - \frac{4}{3} = \frac{1}{3} - \frac{4}{3} = -1$. Точка $(2, -1)$.
• Если $x = -4$, то $y = \frac{1}{6} \cdot (-4) - \frac{4}{3} = -\frac{4}{6} - \frac{4}{3} = -\frac{2}{3} - \frac{4}{3} = -\frac{6}{3} = -2$. Точка $(-4, -2)$.

Построим графики этих функций. Прямая $y = x + 2$ проходит через точки $(0, 2)$ и $(-2, 0)$. Прямая $y = \frac{1}{6}x - \frac{4}{3}$ проходит через точки $(2, -1)$ и $(-4, -2)$. Точка пересечения графиков имеет координаты $(-4, -2)$.

Ответ: $(-4, -2)$.

3) Решим графически систему уравнений: $\begin{cases} 5x - 3y = 3, \\ 3x - y = 5. \end{cases}$

Первое уравнение: $5x - 3y = 3$. Выразим $y$ через $x$: $3y = 5x - 3$, откуда $y = \frac{5}{3}x - 1$. Найдем две точки для построения графика. Чтобы получить целые координаты, подберем $x$ кратное 3.

• Если $x = 0$, то $y = \frac{5}{3} \cdot 0 - 1 = -1$. Точка $(0, -1)$.
• Если $x = 3$, то $y = \frac{5}{3} \cdot 3 - 1 = 5 - 1 = 4$. Точка $(3, 4)$.

Второе уравнение: $3x - y = 5$. Выразим $y$ через $x$: $y = 3x - 5$. Найдем две точки для построения графика:

• Если $x = 2$, то $y = 3 \cdot 2 - 5 = 1$. Точка $(2, 1)$.
• Если $x = 3$, то $y = 3 \cdot 3 - 5 = 4$. Точка $(3, 4)$.

Построим графики. Прямая $y = \frac{5}{3}x - 1$ проходит через точки $(0, -1)$ и $(3, 4)$. Прямая $y = 3x - 5$ проходит через точки $(2, 1)$ и $(3, 4)$. Графики пересекаются в точке с координатами $(3, 4)$.

Ответ: $(3, 4)$.