Номер 5, страница 48 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1 Мерзляк, Полонский

Параграф 26. Системы уравнений с двумя переменными. Графический метод решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными. Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. Рабочая тетрадь 2 - номер 5, страница 48.

Условие.

5. Составьте какую-нибудь систему двух линейных уравнений с двумя переменными, решением которой является пара чисел:

1) $(-3; 5)$;

$$\left\{\begin{array}{l} \\ \end{array}\right.$$

2) $(-6; 0)$;

$$\left\{\begin{array}{l} \\ \end{array}\right.$$

3) $(0,3; \frac{1}{9})$.

$$\left\{\begin{array}{l} \\ \end{array}\right.$$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Чтобы составить систему двух линейных уравнений с двумя переменными, решением которой является заданная пара чисел $(x_0, y_0)$, нужно придумать два независимых линейных уравнения вида $ax + by = c$, которые будут верными при подстановке в них значений $x_0$ и $y_0$. Самый простой способ — это выбрать произвольные коэффициенты $a$ и $b$ для левой части уравнения, а затем вычислить правую часть $c$, подставив известные $x$ и $y$. Эту процедуру нужно проделать дважды с разными наборами коэффициентов.

1) (–3; 5)

В данном случае нам дана пара чисел $x = -3$ и $y = 5$.

Составим первое уравнение.

Выберем простые коэффициенты для $x$ и $y$, например, $a_1=1$ и $b_1=1$. Левая часть уравнения будет выглядеть как $x + y$. Теперь вычислим правую часть, подставив наши значения:

$c_1 = (-3) + 5 = 2$.

Таким образом, первое уравнение системы: $x + y = 2$.

Составим второе уравнение.

Для второго уравнения выберем другую пару коэффициентов, чтобы оно было независимым от первого, например, $a_2=1$ и $b_2=-1$. Левая часть уравнения примет вид $x - y$. Вычислим правую часть:

$c_2 = (-3) - 5 = -8$.

Итак, второе уравнение системы: $x - y = -8$.

Запишем получившуюся систему.

Объединив оба уравнения, мы получим искомую систему:

$ \begin{cases} x + y = 2 \\ x - y = -8 \end{cases} $

Для проверки можно решить эту систему: сложив уравнения, получим $2x = -6$, то есть $x = -3$. Подставив $x = -3$ в первое уравнение, найдем $y$: $-3 + y = 2$, откуда $y = 5$. Решение $(-3; 5)$ верное.

Ответ: $ \begin{cases} x + y = 2 \\ x - y = -8 \end{cases} $

2) (–6; 0)

Здесь нам дана пара чисел $x = -6$ и $y = 0$.

Составим первое уравнение.

Самый простой способ составить систему для такого решения — это задать значения каждой переменной отдельным уравнением. Первое уравнение может просто утверждать, что $x$ равен своему значению:

$x = -6$.

Это является линейным уравнением, так как его можно записать в общем виде как $1 \cdot x + 0 \cdot y = -6$.

Составим второе уравнение.

Аналогично поступим для переменной $y$:

$y = 0$.

В общем виде это уравнение выглядит как $0 \cdot x + 1 \cdot y = 0$.

Запишем получившуюся систему.

Эта система уравнений очевидно имеет решение $(-6; 0)$:

$ \begin{cases} x = -6 \\ y = 0 \end{cases} $

Конечно, можно составить и более сложную систему, например, как в предыдущем пункте. Взяв левую часть $x+y$, получим $x+y = -6+0 = -6$. Взяв левую часть $x-y$, получим $x-y = -6-0 = -6$. Но предложенный выше вариант является самым простым и наглядным.

Ответ: $ \begin{cases} x = -6 \\ y = 0 \end{cases} $

3) (0,3; 1/9)

Нам дана пара чисел $x = 0,3$ и $y = \frac{1}{9}$. Чтобы было удобнее работать, представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $x = 0,3 = \frac{3}{10}$.

Составим первое уравнение.

Чтобы избежать дробных коэффициентов в итоговых уравнениях, можно подобрать коэффициенты $a$ и $b$ так, чтобы они сократились со знаменателями дробей. Возьмем для первого уравнения коэффициенты $a_1=10$ и $b_1=9$. Левая часть: $10x + 9y$. Вычислим правую часть:

$c_1 = 10 \cdot \frac{3}{10} + 9 \cdot \frac{1}{9} = 3 + 1 = 4$.

Первое уравнение: $10x + 9y = 4$.

Составим второе уравнение.

Для второго уравнения выберем другие коэффициенты, например, $a_2=10$ и $b_2=-9$. Левая часть: $10x - 9y$. Вычислим правую часть:

$c_2 = 10 \cdot \frac{3}{10} - 9 \cdot \frac{1}{9} = 3 - 1 = 2$.

Второе уравнение: $10x - 9y = 2$.

Запишем получившуюся систему.

Получаем систему с целыми коэффициентами:

$ \begin{cases} 10x + 9y = 4 \\ 10x - 9y = 2 \end{cases} $

Проверим решение: сложим два уравнения, получим $20x = 6$, откуда $x = \frac{6}{20} = \frac{3}{10} = 0,3$. Вычтем из первого уравнения второе: $(10x+9y) - (10x-9y) = 4-2$, что дает $18y=2$, откуда $y = \frac{2}{18} = \frac{1}{9}$. Решение верное.

Ответ: $ \begin{cases} 10x + 9y = 4 \\ 10x - 9y = 2 \end{cases} $