Номер 7, страница 49 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1 Мерзляк, Полонский

Рабочая тетрадь 2. Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. Параграф 26. Системы уравнений с двумя переменными. Графический метод решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными - номер 7, страница 49.

Условие.

7. Установите графически количество решений системы уравнений:

1) $\begin{cases} 4x - y = 5, \\ 3x + 2y = 10; \end{cases}$

Ответ:

2) $\begin{cases} 3x - y = 4, \\ 3y - 9x = -12; \end{cases}$

Ответ:

3) $\begin{cases} 2x - 3y = 6, \\ 6y - 4x = -12. \end{cases}$

Ответ:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Чтобы графически определить количество решений системы, нужно построить графики каждого уравнения и найти количество их точек пересечения. Каждое линейное уравнение представляет собой прямую на плоскости.

Приведем оба уравнения к виду $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент, а $b$ — свободный член.

Первое уравнение: $4x - y = 5$. Выразим $y$ через $x$:

$y = 4x - 5$

Это уравнение прямой с угловым коэффициентом $k_1 = 4$.

Второе уравнение: $3x + 2y = 10$. Выразим $y$ через $x$:

$2y = 10 - 3x$

$y = -\frac{3}{2}x + 5$

Это уравнение прямой с угловым коэффициентом $k_2 = -\frac{3}{2}$.

Поскольку угловые коэффициенты прямых различны ($k_1 \neq k_2$), прямые пересекаются в одной точке. Следовательно, система имеет одно решение.

Ответ: одно решение.

2) Преобразуем оба уравнения системы к виду $y = kx + b$.

Первое уравнение: $3x - y = 4$. Выразим $y$ через $x$:

$y = 3x - 4$

Угловой коэффициент $k_1 = 3$, свободный член $b_1 = -4$.

Второе уравнение: $3y - 9x = -12$. Выразим $y$ через $x$:

$3y = 9x - 12$

$y = \frac{9x - 12}{3}$

$y = 3x - 4$

Угловой коэффициент $k_2 = 3$, свободный член $b_2 = -4$.

Так как угловые коэффициенты ($k_1=k_2=3$) и свободные члены ($b_1=b_2=-4$) у обоих уравнений совпадают, то эти уравнения описывают одну и ту же прямую. Графики совпадают, а значит, система имеет бесконечное множество точек пересечения.

Ответ: бесконечно много решений.

3) Преобразуем оба уравнения системы к виду $y = kx + b$.

Первое уравнение: $2x - 3y = 6$. Выразим $y$ через $x$:

$-3y = -2x + 6$

$y = \frac{-2x + 6}{-3}$

$y = \frac{2}{3}x - 2$

Угловой коэффициент $k_1 = \frac{2}{3}$, свободный член $b_1 = -2$.

Второе уравнение: $6y - 4x = -12$. Выразим $y$ через $x$:

$6y = 4x - 12$

$y = \frac{4x - 12}{6}$

$y = \frac{2}{3}x - 2$

Угловой коэффициент $k_2 = \frac{2}{3}$, свободный член $b_2 = -2$.

Оба уравнения приводятся к одному и тому же виду. Это означает, что графики уравнений — совпадающие прямые. Система имеет бесконечно много общих точек.

Ответ: бесконечно много решений.