Номер 5, страница 61 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1 Мерзляк, Полонский

Параграф 28. Решение систем линейных уравнений методом сложения. Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. Рабочая тетрадь 2 - номер 5, страница 61.

Условие.

5. Решите систему уравнений:

1) $\left\{\begin{matrix} 3(2x-5) - 2(4+3y) = -32; \\ 6(2y+1) + 10 = 20 - 16x; \end{matrix}\right.$

2) $\left\{\begin{matrix} \frac{6x-y}{8} + \frac{3x+4y}{12} = \frac{1}{8}, \\ \frac{12x-5y}{3} - \frac{9x-2y}{5} = 2. \end{matrix}\right.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1)

Исходная система уравнений:

$ \begin{cases} 3(2x - 5) - 2(4 + 3y) = -32, \\ 6(2y + 1) + 10 = 20 - 16x; \end{cases} $

Сначала упростим каждое уравнение системы. Раскроем скобки в первом уравнении:

$3 \cdot 2x - 3 \cdot 5 - 2 \cdot 4 - 2 \cdot 3y = -32$

$6x - 15 - 8 - 6y = -32$

$6x - 6y - 23 = -32$

Перенесем свободные члены в правую часть:

$6x - 6y = -32 + 23$

$6x - 6y = -9$

Для удобства разделим обе части уравнения на 3:

$2x - 2y = -3$

Теперь упростим второе уравнение:

$6(2y + 1) + 10 = 20 - 16x$

$12y + 6 + 10 = 20 - 16x$

$12y + 16 = 20 - 16x$

Перенесем члены с переменными в левую часть, а постоянные — в правую:

$16x + 12y = 20 - 16$

$16x + 12y = 4$

Разделим обе части уравнения на 4:

$4x + 3y = 1$

Теперь у нас есть упрощенная система уравнений:

$ \begin{cases} 2x - 2y = -3, \\ 4x + 3y = 1; \end{cases} $

Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на 2, чтобы коэффициенты при $x$ во втором уравнении и в измененном первом стали противоположными по знаку, если первое уравнение умножить на -2, или одинаковыми, если на 2. Умножим на -2:

$-2(2x - 2y) = -2(-3)$

$-4x + 4y = 6$

Теперь сложим полученное уравнение со вторым уравнением системы ($4x + 3y = 1$):

$(-4x + 4y) + (4x + 3y) = 6 + 1$

$7y = 7$

$y = 1$

Подставим найденное значение $y = 1$ в любое из упрощенных уравнений, например, в $4x + 3y = 1$:

$4x + 3(1) = 1$

$4x + 3 = 1$

$4x = 1 - 3$

$4x = -2$

$x = \frac{-2}{4} = -0.5$

Ответ: $(-0.5; 1)$.

2)

Исходная система уравнений:

$ \begin{cases} \frac{6x - y}{8} + \frac{3x + 4y}{12} = \frac{1}{8}, \\ \frac{12x - 5y}{3} - \frac{9x - 2y}{5} = 2. \end{cases} $

Упростим каждое уравнение, избавившись от дробей. Для первого уравнения найдем наименьший общий знаменатель для 8 и 12. Это 24. Умножим обе части уравнения на 24:

$24 \cdot \frac{6x - y}{8} + 24 \cdot \frac{3x + 4y}{12} = 24 \cdot \frac{1}{8}$

$3(6x - y) + 2(3x + 4y) = 3$

$18x - 3y + 6x + 8y = 3$

$24x + 5y = 3$

Для второго уравнения наименьший общий знаменатель для 3 и 5 равен 15. Умножим обе части уравнения на 15:

$15 \cdot \frac{12x - 5y}{3} - 15 \cdot \frac{9x - 2y}{5} = 15 \cdot 2$

$5(12x - 5y) - 3(9x - 2y) = 30$

$60x - 25y - 27x + 6y = 30$

$33x - 19y = 30$

Получили упрощенную систему:

$ \begin{cases} 24x + 5y = 3, \\ 33x - 19y = 30; \end{cases} $

Решим эту систему методом сложения. Чтобы исключить переменную $y$, умножим первое уравнение на 19, а второе на 5:

$19(24x + 5y) = 19 \cdot 3 \implies 456x + 95y = 57$

$5(33x - 19y) = 5 \cdot 30 \implies 165x - 95y = 150$

Теперь сложим два новых уравнения:

$(456x + 95y) + (165x - 95y) = 57 + 150$

$621x = 207$

$x = \frac{207}{621}$

Сократим дробь. Сумма цифр числителя $2+0+7=9$, сумма цифр знаменателя $6+2+1=9$. Оба числа делятся на 9.

$207 \div 9 = 23$

$621 \div 9 = 69$

$x = \frac{23}{69} = \frac{23}{3 \cdot 23} = \frac{1}{3}$

Подставим значение $x = \frac{1}{3}$ в одно из упрощенных уравнений, например, в $24x + 5y = 3$:

$24(\frac{1}{3}) + 5y = 3$

$8 + 5y = 3$

$5y = 3 - 8$

$5y = -5$

$y = -1$

Ответ: $(\frac{1}{3}; -1)$.