Страница 64 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Мерзляк, Полонский

3. Решите уравнение:

1) $x^2 - 4x = 0;$

Решение.

$x(x - 4) = 0;$

$x = 0$ или

Ответ:

3) $18x^2 + 12x = 0;$

Решение.

Ответ:

2) $5x^2 + 25x = 0;$

Решение.

Ответ:

4) $0,7x - 14x^2 = 0.$

Решение.

Ответ:

1) Это неполное квадратное уравнение, в котором отсутствует свободный член. Для его решения вынесем общий множитель $x$ за скобки.
$x^2 - 4x = 0$
$x(x - 4) = 0$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, мы можем приравнять каждый множитель к нулю:
$x = 0$ или $x - 4 = 0$
Решая второе простое уравнение, находим второй корень:
$x = 4$
Уравнение имеет два корня: 0 и 4.
Ответ: 0; 4.

2) Это также неполное квадратное уравнение. Решим его методом разложения на множители. Вынесем за скобки общий множитель $5x$.
$5x^2 + 25x = 0$
$5x(x + 5) = 0$
Теперь приравниваем каждый из множителей к нулю:
$5x = 0$ или $x + 5 = 0$
Решаем каждое из полученных уравнений:
Из $5x = 0$ получаем $x = \frac{0}{5}$, то есть $x = 0$.
Из $x + 5 = 0$ получаем $x = -5$.
Корни уравнения: -5 и 0.
Ответ: -5; 0.

3) Данное уравнение является неполным квадратным. Найдём общий множитель для $18x^2$ и $12x$. Наибольшим общим делителем коэффициентов 18 и 12 является 6. Общий множитель для переменных — $x$. Таким образом, выносим за скобки $6x$.
$18x^2 + 12x = 0$
$6x(3x + 2) = 0$
Приравниваем множители к нулю:
$6x = 0$ или $3x + 2 = 0$
Находим корни:
Из $6x = 0$ следует $x = 0$.
Из $3x + 2 = 0$ следует $3x = -2$, откуда $x = -\frac{2}{3}$.
Корни уравнения: $-\frac{2}{3}$ и 0.
Ответ: $-\frac{2}{3}$; 0.

4) Это неполное квадратное уравнение. Вынесем общий множитель за скобки. Общим множителем является $x$. Также можно вынести числовой коэффициент, например $0,7x$.
$0,7x - 14x^2 = 0$
$0,7x(1 - 20x) = 0$
Приравниваем каждый множитель к нулю:
$0,7x = 0$ или $1 - 20x = 0$
Решаем полученные уравнения:
Из $0,7x = 0$ следует $x = 0$.
Из $1 - 20x = 0$ следует $20x = 1$, откуда $x = \frac{1}{20}$.
Переведём обыкновенную дробь в десятичную: $x = 0,05$.
Корни уравнения: 0 и 0,05.
Ответ: 0; 0,05.

4. Разложите на множители:

1) $3m(a - b) + 7n(a - b) = (a - b)($

2) $5x(3x - 2) - 13(3x - 2) =$

3) $x(x - 2) - 6(2 - x) = x(x - 2) + 6(x - 2) =$

4) $y(y - 9) + (9 - y) =$

5) $(a - 5)^2 - 4(a - 5) = (a - 5)($

6) $c(c + 7)^2 + (c + 7) =$

7) $2m(n - 1) - (n - 1)^2 =$

1) Для разложения на множители выражения $3m(a - b) + 7n(a - b)$ необходимо найти общий множитель. В данном случае это выражение в скобках $(a - b)$. Вынесем его за скобки. От первого слагаемого останется $3m$, а от второго $7n$.
$3m(a - b) + 7n(a - b) = (a - b)(3m + 7n)$
Ответ: $(a - b)(3m + 7n)$

2) В выражении $5x(3x - 2) - 13(3x - 2)$ общий множитель - это $(3x - 2)$. Вынесем его за скобки. В новой скобке останутся выражения $5x$ и $-13$.
$5x(3x - 2) - 13(3x - 2) = (3x - 2)(5x - 13)$
Ответ: $(3x - 2)(5x - 13)$

3) В выражении $x(x - 2) - 6(2 - x)$ заметим, что скобки $(x - 2)$ и $(2 - x)$ являются противоположными, так как $(2 - x) = -(x - 2)$. Заменим $(2 - x)$ на $-(x - 2)$ и изменим знак перед вторым слагаемым.
$x(x - 2) - 6(2 - x) = x(x - 2) - 6 \cdot (-(x - 2)) = x(x - 2) + 6(x - 2)$.
Теперь общий множитель $(x - 2)$ можно вынести за скобки:
$(x - 2)(x + 6)$
Ответ: $(x + 6)(x - 2)$

4) В выражении $y(y - 9) + (9 - y)$ скобки $(y - 9)$ и $(9 - y)$ также противоположны. Заменим $(9 - y)$ на $-(y - 9)$.
$y(y - 9) + (9 - y) = y(y - 9) - (y - 9)$.
Представим второе слагаемое как $1 \cdot (y - 9)$ и вынесем общий множитель $(y - 9)$ за скобки:
$y(y - 9) - 1 \cdot (y - 9) = (y - 9)(y - 1)$
Ответ: $(y - 9)(y - 1)$

5) В выражении $(a - 5)^2 - 4(a - 5)$ общим множителем является $(a - 5)$. Вынесем его за скобки.
$(a - 5)^2 - 4(a - 5) = (a - 5) \cdot (a - 5) - 4 \cdot (a - 5) = (a - 5)((a - 5) - 4)$.
Упростим выражение во второй скобке:
$(a - 5)(a - 5 - 4) = (a - 5)(a - 9)$
Ответ: $(a - 5)(a - 9)$

6) В выражении $c(c + 7)^2 + (c + 7)$ общим множителем является $(c + 7)$. Вынесем его за скобки.
$c(c + 7)^2 + (c + 7) = c(c + 7)(c + 7) + 1 \cdot (c + 7) = (c + 7)(c(c + 7) + 1)$.
Раскроем скобки и упростим выражение во второй скобке:
$(c + 7)(c \cdot c + c \cdot 7 + 1) = (c + 7)(c^2 + 7c + 1)$
Ответ: $(c + 7)(c^2 + 7c + 1)$

7) В выражении $2m(n - 1) - (n - 1)^2$ общим множителем является $(n - 1)$. Вынесем его за скобки.
$2m(n - 1) - (n - 1)^2 = (n - 1)(2m - (n - 1))$.
Раскроем внутренние скобки во втором множителе, изменив знаки на противоположные:
$(n - 1)(2m - n + 1)$
Ответ: $(n - 1)(2m - n + 1)$

9. Решите уравнение:

1) $|x + 4y + 11| + (5x - 2y - 17)^2 = 0;$

Решение.

Левая часть уравнения является суммой двух слагаемых, которые принимают только неотрицательные значения. Их сумма будет равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из слагаемых будет равно

Ответ:

2) $(5x - 2y - 3)^2 + (8x + 3y - 42)^2 = 0;$

3) $2x^2 + 9y^2 + 6xy - 10x + 25 = 0;$

Решение.

Преобразуем левую часть уравнения.

$x^2 + 6xy + 9y^2 +$

Ответ:

4) $49x^2 + 40y^2 - 28xy - 12y + 1 = 0.$

1) Левая часть уравнения $|x + 4y + 11| + (5x - 2y - 17)^2 = 0$ является суммой двух неотрицательных слагаемых: модуля $|x + 4y + 11| \ge 0$ и квадрата $(5x - 2y - 17)^2 \ge 0$. Сумма двух неотрицательных выражений равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из них равно нулю. Следовательно, данное уравнение равносильно системе уравнений:
$\begin{cases} x + 4y + 11 = 0 \\ 5x - 2y - 17 = 0 \end{cases}$
Из первого уравнения выразим $x$: $x = -4y - 11$.
Подставим это выражение во второе уравнение:
$5(-4y - 11) - 2y - 17 = 0$
$-20y - 55 - 2y - 17 = 0$
$-22y - 72 = 0$
$-22y = 72$
$y = -\frac{72}{22} = -\frac{36}{11}$
Теперь найдем $x$:
$x = -4(-\frac{36}{11}) - 11 = \frac{144}{11} - \frac{121}{11} = \frac{23}{11}$
Ответ: $(\frac{23}{11}; -\frac{36}{11})$.

2) Уравнение $(5x - 2y - 3)^2 + (8x + 3y - 42)^2 = 0$ представляет собой сумму двух квадратов. Сумма квадратов действительных чисел равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из оснований квадратов равно нулю. Таким образом, получаем систему уравнений:
$\begin{cases} 5x - 2y - 3 = 0 \\ 8x + 3y - 42 = 0 \end{cases}$
Для решения системы методом сложения умножим первое уравнение на 3, а второе на 2:
$\begin{cases} 15x - 6y - 9 = 0 \\ 16x + 6y - 84 = 0 \end{cases}$
Сложим получившиеся уравнения:
$(15x - 6y - 9) + (16x + 6y - 84) = 0$
$31x - 93 = 0$
$31x = 93$
$x = 3$
Подставим найденное значение $x = 3$ в первое исходное уравнение:
$5(3) - 2y - 3 = 0$
$15 - 2y - 3 = 0$
$12 - 2y = 0$
$2y = 12$
$y = 6$
Ответ: $(3; 6)$.

3) Преобразуем левую часть уравнения $2x^2 + 9y^2 + 6xy - 10x + 25 = 0$, выделив полные квадраты. Для этого сгруппируем слагаемые следующим образом:
$(x^2 + 6xy + 9y^2) + (x^2 - 10x + 25) = 0$
Первая группа слагаемых $x^2 + 6xy + 9y^2$ является полным квадратом суммы $(x + 3y)^2$.
Вторая группа слагаемых $x^2 - 10x + 25$ является полным квадратом разности $(x - 5)^2$.
Таким образом, уравнение можно переписать в виде:
$(x + 3y)^2 + (x - 5)^2 = 0$
Сумма двух квадратов равна нулю, только если каждое основание равно нулю. Это приводит к системе:
$\begin{cases} x + 3y = 0 \\ x - 5 = 0 \end{cases}$
Из второго уравнения сразу находим $x = 5$.
Подставим это значение в первое уравнение:
$5 + 3y = 0$
$3y = -5$
$y = -\frac{5}{3}$
Ответ: $(5; -\frac{5}{3})$.

4) Рассмотрим уравнение $49x^2 + 40y^2 - 28xy - 12y + 1 = 0$. Преобразуем его левую часть путем выделения полных квадратов.
Сгруппируем слагаемые, содержащие $x$ и $xy$: $49x^2 - 28xy$. Дополним их до полного квадрата разности:
$(7x)^2 - 2 \cdot (7x) \cdot (2y) + (2y)^2 = 49x^2 - 28xy + 4y^2 = (7x - 2y)^2$.
Представим исходное уравнение в новом виде, взяв $4y^2$ из $40y^2$:
$(49x^2 - 28xy + 4y^2) + (40y^2 - 4y^2) - 12y + 1 = 0$
$(7x - 2y)^2 + 36y^2 - 12y + 1 = 0$
Заметим, что выражение $36y^2 - 12y + 1$ также является полным квадратом: $(6y)^2 - 2 \cdot (6y) \cdot 1 + 1^2 = (6y - 1)^2$.
Теперь уравнение имеет вид:
$(7x - 2y)^2 + (6y - 1)^2 = 0$
Сумма двух квадратов равна нулю, только если оба основания равны нулю:
$\begin{cases} 7x - 2y = 0 \\ 6y - 1 = 0 \end{cases}$
Из второго уравнения находим $y$:
$6y = 1 \implies y = \frac{1}{6}$
Подставим найденное значение $y$ в первое уравнение:
$7x - 2(\frac{1}{6}) = 0$
$7x - \frac{1}{3} = 0$
$7x = \frac{1}{3}$
$x = \frac{1}{21}$
Ответ: $(\frac{1}{21}; \frac{1}{6})$.