Страница 68 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Мерзляк, Полонский

11. Разложите на множители ($n$ – натуральное число):

1) $7^{2n} + 7^n = 7^n($ + $)$;

2) $125^n - 3 \cdot 25^n + 6 \cdot 5^{n+1} = (5^3)^n - $

3) $a^{2n+1}b^{n+4} - a^{2n-1}b^{n+2} = $

1) $7^{2n} + 7^n$

Для разложения на множители необходимо найти общий множитель и вынести его за скобки. Воспользуемся свойством степеней $a^{m \cdot k} = (a^m)^k$. Представим $7^{2n}$ как $(7^n)^2$.

$7^{2n} + 7^n = (7^n)^2 + 7^n$

Общим множителем является $7^n$. Вынесем его за скобки:

$(7^n)^2 + 7^n = 7^n \cdot (7^n + 1)$

Ответ: $7^n(7^n + 1)$

2) $125^n - 3 \cdot 25^n + 6 \cdot 5^n + 1$

Данное выражение, скорее всего, содержит опечатку, так как в этом виде оно не раскладывается на множители стандартными школьными методами. Вероятно, имелось в виду выражение, которое сворачивается по формуле куба разности $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$. Наиболее близкое по виду выражение — это $125^n - 3 \cdot 25^n + 3 \cdot 5^n - 1$. Решим задачу для этого исправленного выражения.

Представим числа 125 и 25 в виде степеней числа 5: $125 = 5^3$, $25 = 5^2$.

$125^n - 3 \cdot 25^n + 3 \cdot 5^n - 1 = (5^3)^n - 3 \cdot (5^2)^n + 3 \cdot 5^n - 1$

Используя свойство степени $(a^m)^k = (a^k)^m$, перепишем выражение:

$(5^n)^3 - 3 \cdot (5^n)^2 + 3 \cdot 5^n - 1$

Это выражение соответствует формуле куба разности $(a-b)^3$ при $a = 5^n$ и $b=1$:

$(5^n)^3 - 3 \cdot (5^n)^2 \cdot 1 + 3 \cdot 5^n \cdot 1^2 - 1^3 = (5^n - 1)^3$

Ответ: $(5^n - 1)^3$ (в предположении, что в условии опечатка и оно должно выглядеть как $125^n - 3 \cdot 25^n + 3 \cdot 5^n - 1$)

3) $a^{2n+1}b^{n+4} - a^{2n-1}b^{n+2}$

Для разложения на множители найдем общий множитель, выбрав для каждого основания ($a$ и $b$) наименьшую из имеющихся степеней, и вынесем его за скобки.

Для основания $a$ степени равны $2n+1$ и $2n-1$. Наименьшая степень: $2n-1$.

Для основания $b$ степени равны $n+4$ и $n+2$. Наименьшая степень: $n+2$.

Общий множитель выражения: $a^{2n-1}b^{n+2}$. Вынесем его за скобки, используя правило деления степеней $a^m/a^k = a^{m-k}$:

$a^{2n+1}b^{n+4} - a^{2n-1}b^{n+2} = a^{2n-1}b^{n+2} \cdot (a^{(2n+1)-(2n-1)}b^{(n+4)-(n+2)} - 1)$

Упростим показатели степеней в скобках:

$a^{2n-1}b^{n+2} \cdot (a^2b^2 - 1)$

Выражение в скобках $a^2b^2 - 1$ является разностью квадратов. Применим формулу $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$, где $x=ab$ и $y=1$:

$a^2b^2 - 1 = (ab)^2 - 1^2 = (ab - 1)(ab + 1)$

Окончательный вид разложения:

$a^{2n-1}b^{n+2}(ab - 1)(ab + 1)$

Ответ: $a^{2n-1}b^{n+2}(ab - 1)(ab + 1)$

12. Докажите, что при любом натуральном значении n значение выражения:

1) $2^n + 2^{n+1} + 2^{n+2}$ кратно 14;

2) $5^{6n-1} - 3 \cdot 5^{6n-2} + 2 \cdot 5^{6n-3}$ кратно 12;

3) $9^{3n+1} - 27^{2n-1}$ кратно 121.

Решение.

1) Разложим данное выражение на множители:

$2^n + 2^{n+1} + 2^{n+2} = 2^n($ + + )=

2) Вынесем в данном выражении за скобки степень числа 5 с наименьшим показателем:

$5^{6n-1} - 3 \cdot 5^{6n-2} + 2 \cdot 5^{6n-3} =$

3) $9^{3n+1} - 27^{2n-1} = (3^2)^{3n+1} -$

1) Докажем, что выражение $2^n + 2^{n+1} + 2^{n+2}$ кратно 14 при любом натуральном $n$.

Для этого преобразуем выражение, вынеся за скобки общий множитель $2^n$ (степень с наименьшим показателем):

$2^n + 2^{n+1} + 2^{n+2} = 2^n(1 + 2^1 + 2^2)$

Вычислим значение выражения в скобках:

$1 + 2 + 4 = 7$

Таким образом, исходное выражение равно:

$2^n \cdot 7$

Поскольку $n$ — натуральное число, то $n \ge 1$. Это значит, что множитель $2^n$ всегда делится на 2. Следовательно, все выражение $7 \cdot 2^n$ делится и на 7, и на 2, а значит, оно кратно их произведению $7 \cdot 2 = 14$. Можно также представить выражение в виде $14 \cdot 2^{n-1}$.

Ответ: Поскольку $2^{n-1}$ является целым числом при любом натуральном $n$, исходное выражение всегда кратно 14, что и требовалось доказать.

2) Докажем, что выражение $5^{6n-1} - 3 \cdot 5^{6n-2} + 2 \cdot 5^{6n-3}$ кратно 12 при любом натуральном $n$.

Вынесем за скобки общий множитель, которым является степень с наименьшим показателем, то есть $5^{6n-3}$:

$5^{6n-1} - 3 \cdot 5^{6n-2} + 2 \cdot 5^{6n-3} = 5^{6n-3}(5^2 - 3 \cdot 5^1 + 2 \cdot 1)$

Вычислим значение выражения в скобках:

$25 - 15 + 2 = 10 + 2 = 12$

Таким образом, исходное выражение равно:

$12 \cdot 5^{6n-3}$

Ответ: Так как $n$ — натуральное число, то $6n-3 \ge 3$, и $5^{6n-3}$ является целым числом. Следовательно, выражение $12 \cdot 5^{6n-3}$ всегда кратно 12, что и требовалось доказать.

3) Докажем, что выражение $9^{3n+1} - 27^{2n-1}$ кратно 121 при любом натуральном $n$.

Для начала приведем степени к одному основанию — числу 3, так как $9 = 3^2$ и $27 = 3^3$:

$9^{3n+1} = (3^2)^{3n+1} = 3^{2(3n+1)} = 3^{6n+2}$

$27^{2n-1} = (3^3)^{2n-1} = 3^{3(2n-1)} = 3^{6n-3}$

Теперь выражение имеет вид:

$3^{6n+2} - 3^{6n-3}$

Вынесем за скобки общий множитель $3^{6n-3}$ (степень с наименьшим показателем):

$3^{6n-3}(3^{(6n+2)-(6n-3)} - 1) = 3^{6n-3}(3^5 - 1)$

Вычислим значение выражения в скобках:

$3^5 - 1 = 243 - 1 = 242$

Исходное выражение равно:

$242 \cdot 3^{6n-3}$

Заметим, что число 242 делится на 121: $242 = 2 \cdot 121$. Тогда выражение можно переписать в виде:

$121 \cdot 2 \cdot 3^{6n-3}$

Ответ: Поскольку $n$ — натуральное число, $6n-3 \ge 3$, и $2 \cdot 3^{6n-3}$ является целым числом. Следовательно, исходное выражение всегда кратно 121, что и требовалось доказать.

13. Известно, что при некотором значении $x$ значение выражения $2x^2 - 3x + 1$ равно 2.

Найдите при этом значении переменной $x$ значение выражения:

1) $2x^2(2x^2 - 3x + 1) - 3x(2x^2 - 3x + 1)$;

2) $10x^2 - 15x - 20$.

По условию задачи известно, что при некотором значении $x$ выполняется равенство:

$2x^2 - 3x + 1 = 2$

Из этого равенства мы можем найти значение выражения $2x^2 - 3x$. Для этого вычтем 1 из обеих частей уравнения:

$2x^2 - 3x = 2 - 1$

$2x^2 - 3x = 1$

Теперь, используя полученные равенства, найдем значения требуемых выражений.

1) $2x^2(2x^2 - 3x + 1) - 3x(2x^2 - 3x + 1)$

В данном выражении есть общий множитель $(2x^2 - 3x + 1)$. Вынесем его за скобки:

$(2x^2 - 3x)(2x^2 - 3x + 1)$

Мы знаем, что $2x^2 - 3x = 1$ и $2x^2 - 3x + 1 = 2$. Подставим эти значения в преобразованное выражение:

$1 \cdot 2 = 2$

Ответ: $2$

2) $10x^2 - 15x - 20$

Сгруппируем первые два слагаемых и вынесем общий множитель 5 за скобки:

$5(2x^2 - 3x) - 20$

Так как мы уже выяснили, что $2x^2 - 3x = 1$, подставим это значение в выражение:

$5(1) - 20 = 5 - 20 = -15$

Ответ: $-15$

2. В копилке лежат 20 монет по 2 р. и по 5 р. на сумму 58 р. Сколько монет каждого достоинства лежит в копилке?

Для решения этой задачи можно использовать систему уравнений. Обозначим количество двухрублевых монет через $x$, а количество пятирублевых монет через $y$.

Исходя из условия, что всего в копилке 20 монет, мы можем составить первое уравнение:

$x + y = 20$

Общая сумма денег в копилке составляет 58 рублей. Сумма, образованная двухрублевыми монетами, равна $2x$ рублей, а пятирублевыми — $5y$ рублей. Это дает нам второе уравнение:

$2x + 5y = 58$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

$\begin{cases} x + y = 20 \\ 2x + 5y = 58 \end{cases}$

Решим эту систему методом подстановки. Из первого уравнения выразим $x$:

$x = 20 - y$

Подставим это выражение для $x$ во второе уравнение:

$2(20 - y) + 5y = 58$

Теперь решим полученное уравнение относительно $y$:

$40 - 2y + 5y = 58$

$40 + 3y = 58$

$3y = 58 - 40$

$3y = 18$

$y = \frac{18}{3}$

$y = 6$

Таким образом, в копилке находится 6 пятирублевых монет.

Теперь найдем количество двухрублевых монет, подставив значение $y=6$ в выражение для $x$:

$x = 20 - 6$

$x = 14$

Следовательно, в копилке 14 двухрублевых монет.

Проверка:

1. Проверим общее количество монет: $14 + 6 = 20$ монет. Это соответствует условию.

2. Проверим общую сумму: $14 \cdot 2 \, \text{руб.} + 6 \cdot 5 \, \text{руб.} = 28 \, \text{руб.} + 30 \, \text{руб.} = 58 \, \text{руб.}$ Это также соответствует условию.

Ответ: в копилке лежит 14 монет по 2 рубля и 6 монет по 5 рублей.