Страница 72 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Мерзляк, Полонский

3. Упростите выражение:

1) $(0,3x - 0,6y)(0,3x + 0,6y) + 0,36y^2 = $

2) $\frac{9}{16} m^2 - \left(\frac{3}{4} m + \frac{1}{7} n\right)\left(\frac{3}{4} m - \frac{1}{7} n\right) = $

3) $(b + 3)(b - 5) - (4 + b)(b - 4) = $

1) $(0,3x - 0,6y)(0,3x + 0,6y) + 0,36y^2$

Для упрощения первого слагаемого $(0,3x - 0,6y)(0,3x + 0,6y)$ применим формулу разности квадратов: $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, где $a = 0,3x$ и $b = 0,6y$.

$(0,3x - 0,6y)(0,3x + 0,6y) = (0,3x)^2 - (0,6y)^2 = 0,09x^2 - 0,36y^2$.

Теперь подставим полученное выражение обратно в исходное:

$0,09x^2 - 0,36y^2 + 0,36y^2$.

Слагаемые $-0,36y^2$ и $0,36y^2$ взаимно уничтожаются (их сумма равна нулю).

$0,09x^2 - 0,36y^2 + 0,36y^2 = 0,09x^2$.

Ответ: $0,09x^2$.

2) $\frac{9}{16}m^2 - (\frac{3}{4}m + \frac{1}{7}n)(\frac{3}{4}m - \frac{1}{7}n)$

Выражение в скобках $(\frac{3}{4}m + \frac{1}{7}n)(\frac{3}{4}m - \frac{1}{7}n)$ представляет собой произведение суммы и разности. Применим формулу разности квадратов: $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$, где $a = \frac{3}{4}m$ и $b = \frac{1}{7}n$.

$(\frac{3}{4}m + \frac{1}{7}n)(\frac{3}{4}m - \frac{1}{7}n) = (\frac{3}{4}m)^2 - (\frac{1}{7}n)^2 = \frac{9}{16}m^2 - \frac{1}{49}n^2$.

Подставим это в исходное выражение:

$\frac{9}{16}m^2 - (\frac{9}{16}m^2 - \frac{1}{49}n^2)$.

Раскроем скобки. Так как перед скобкой стоит знак минус, знаки всех слагаемых внутри скобок меняются на противоположные:

$\frac{9}{16}m^2 - \frac{9}{16}m^2 + \frac{1}{49}n^2$.

Слагаемые $\frac{9}{16}m^2$ и $-\frac{9}{16}m^2$ взаимно уничтожаются.

В результате остается: $\frac{1}{49}n^2$.

Ответ: $\frac{1}{49}n^2$.

3) $(b + 3)(b - 5) - (4 + b)(b - 4)$

Для упрощения выражения необходимо раскрыть скобки в каждом произведении и привести подобные слагаемые.

Раскроем первое произведение: $(b + 3)(b - 5) = b \cdot b + b \cdot (-5) + 3 \cdot b + 3 \cdot (-5) = b^2 - 5b + 3b - 15 = b^2 - 2b - 15$.

Раскроем второе произведение. Заметим, что $(4 + b)(b - 4)$ можно переписать как $(b + 4)(b - 4)$, что является формулой разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$, где $a=b$ и $b=4$.

$(b + 4)(b - 4) = b^2 - 4^2 = b^2 - 16$.

Теперь подставим раскрытые выражения в исходное:

$(b^2 - 2b - 15) - (b^2 - 16)$.

Раскроем скобки, учитывая знак минус перед вторыми скобками:

$b^2 - 2b - 15 - b^2 + 16$.

Приведем подобные слагаемые:

$(b^2 - b^2) - 2b + (-15 + 16) = 0 - 2b + 1 = 1 - 2b$.

Ответ: $1 - 2b$.

4. Впишите в пустые клетки такие одночлены, чтобы получилось тождество:

1) $(\quad - 9b)(\quad + \quad ) = 64c^2 - \quad $;

2) $(\quad - 3c^2)(\quad + 3c^2) = 49m^2 - \quad $;

3) $(0.5a + \quad)(\quad - 0.5a) = \frac{1}{64}p^{10} - \quad .$

1)

Данное тождество основано на формуле разности квадратов: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.
Изначальное выражение: $(\Box - 9b)(\Box + \Box) = 64c^2 - \Box$.
Правая часть тождества, $64c^2 - \Box$, соответствует $a^2 - b^2$. Отсюда следует, что $a^2 = 64c^2$.
Найдем $a$, извлекая квадратный корень: $a = \sqrt{64c^2} = 8c$. Этот одночлен должен стоять на первом месте в каждой скобке. Вписываем $8c$ в первые две пустые клетки.
Левая часть тождества должна иметь вид $(a - b)(a + b)$. Сравнивая первую скобку $(\Box - 9b)$ с $(a - b)$, мы видим, что $b = 9b$. Следовательно, во второй скобке $(\Box + \Box)$ второй член также должен быть $b$, то есть $9b$. Вписываем $9b$ в третью пустую клетку.
Теперь левая часть полностью определена: $(8c - 9b)(8c + 9b)$.
Найдем правую часть тождества, раскрыв скобки по формуле: $(8c)^2 - (9b)^2 = 64c^2 - 81b^2$.
Следовательно, в последнюю пустую клетку в правой части нужно вписать $81b^2$.
Полученное тождество: $(8c - 9b)(8c + 9b) = 64c^2 - 81b^2$.

Ответ: В пустые клетки слева направо следует вписать: $8c$, $8c$, $9b$, $81b^2$.

2)

Это тождество также использует формулу разности квадратов: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.
Изначальное выражение: $(\Box - 3c^2)(\Box + 3c^2) = 49m^2 - \Box$.
Левая часть $(\Box - 3c^2)(\Box + 3c^2)$ соответствует $(a - b)(a + b)$, где $b = 3c^2$. Первые члены в скобках одинаковы и равны $a$.
Правая часть $49m^2 - \Box$ соответствует $a^2 - b^2$. Отсюда $a^2 = 49m^2$.
Найдем $a$: $a = \sqrt{49m^2} = 7m$. Этот одночлен вписываем в пустые клетки в обеих скобках.
Теперь найдем недостающий член в правой части, который равен $b^2$: $b^2 = (3c^2)^2 = 3^2 \cdot (c^2)^2 = 9c^4$.
Полученное тождество: $(7m - 3c^2)(7m + 3c^2) = 49m^2 - 9c^4$.

Ответ: В пустые клетки в скобках следует вписать $7m$, а в клетку в правой части равенства – $9c^4$.

3)

Это тождество также основано на формуле разности квадратов $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$.
Изначальное выражение: $(0,5a + \Box)(\Box - 0,5a) = \frac{1}{64}p^{10} - \Box$.
Чтобы применить формулу, переставим слагаемые в первой скобке: $(\Box + 0,5a)(\Box - 0,5a)$.
Теперь левая часть соответствует виду $(x + y)(x - y)$, где $x$ — это одночлен в пустых клетках, а $y = 0,5a$.
Правая часть тождества равна $x^2 - y^2$, то есть $\frac{1}{64}p^{10} - \Box$.
Следовательно, $x^2 = \frac{1}{64}p^{10}$.
Найдем $x$: $x = \sqrt{\frac{1}{64}p^{10}} = \frac{1}{8}p^5$. Этот одночлен нужно вписать в обе пустые клетки в скобках.
Теперь найдем недостающий член в правой части, который равен $y^2$: $y^2 = (0,5a)^2 = 0,25a^2$.
Полученное тождество: $(0,5a + \frac{1}{8}p^5)(\frac{1}{8}p^5 - 0,5a) = \frac{1}{64}p^{10} - 0,25a^2$.

Ответ: В пустые клетки в скобках следует вписать $\frac{1}{8}p^5$, а в клетку в правой части равенства – $0,25a^2$.

5. Представьте в виде многочлена выражение:

1) $x(x - 10)(x + 10) = x(x^2 - 100) = $

2) $6m^3(m + 6)(6 - m) = $

3) $(c^2 - 4)(c^2 + 4)(16 + c^4) = $

4) $(a - b)(a + b)(a^2 + b^2)(a^4 + b^4) = (a^2 - b^2)(a^2 + b^2)(a^4 + b^4) = $

1) Чтобы представить выражение $x(x - 10)(x + 10)$ в виде многочлена, воспользуемся формулой разности квадратов $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$ для сомножителей в скобках. В данном случае $a = x$ и $b = 10$.
$(x - 10)(x + 10) = x^2 - 10^2 = x^2 - 100$.
Теперь исходное выражение принимает вид: $x(x^2 - 100)$.
Раскроем скобки, умножив $x$ на каждый член многочлена в скобках:
$x \cdot x^2 - x \cdot 100 = x^3 - 100x$.
Ответ: $x^3 - 100x$.

2) В выражении $6m^3(m + 6)(6 - m)$ переставим слагаемые в первой скобке, чтобы было удобнее применить формулу разности квадратов: $6m^3(6 + m)(6 - m)$.
Применим формулу $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$, где $a = 6$ и $b = m$.
$(6 + m)(6 - m) = 6^2 - m^2 = 36 - m^2$.
Подставим результат в исходное выражение: $6m^3(36 - m^2)$.
Теперь раскроем скобки, умножив $6m^3$ на каждый член многочлена в скобках:
$6m^3 \cdot 36 - 6m^3 \cdot m^2 = 216m^3 - 6m^5$.
Для стандартного вида многочлена запишем его члены в порядке убывания степеней:
$-6m^5 + 216m^3$.
Ответ: $-6m^5 + 216m^3$.

3) Выражение $(c^2 - 4)(c^2 + 4)(16 + c^4)$ будем упрощать пошагово, используя формулу разности квадратов.
Сначала рассмотрим первые два сомножителя: $(c^2 - 4)(c^2 + 4)$. Здесь $a = c^2$ и $b = 4$.
$(c^2 - 4)(c^2 + 4) = (c^2)^2 - 4^2 = c^4 - 16$.
Теперь выражение выглядит так: $(c^4 - 16)(16 + c^4)$. Переставим слагаемые во второй скобке: $(c^4 - 16)(c^4 + 16)$.
Снова применяем формулу разности квадратов, где $a = c^4$ и $b = 16$.
$(c^4 - 16)(c^4 + 16) = (c^4)^2 - 16^2 = c^8 - 256$.
Ответ: $c^8 - 256$.

4) В выражении $(a - b)(a + b)(a^2 + b^2)(a^4 + b^4)$ последовательно применяем формулу разности квадратов.
Шаг 1: Умножим первые две скобки $(a - b)(a + b)$.
$(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.
Выражение принимает вид: $(a^2 - b^2)(a^2 + b^2)(a^4 + b^4)$.
Шаг 2: Умножим первые две скобки получившегося выражения $(a^2 - b^2)(a^2 + b^2)$.
$(a^2 - b^2)(a^2 + b^2) = (a^2)^2 - (b^2)^2 = a^4 - b^4$.
Выражение принимает вид: $(a^4 - b^4)(a^4 + b^4)$.
Шаг 3: Применим формулу разности квадратов в последний раз.
$(a^4 - b^4)(a^4 + b^4) = (a^4)^2 - (b^4)^2 = a^8 - b^8$.
Ответ: $a^8 - b^8$.

6. Выполните умножение двучленов (n - натуральное число):

1) $ (a^{4n} - b^{3n})(a^{4n} + b^{3n}) = (a^{4n})^2 - \underline{\hspace{2em}} = a^{8n} - \underline{\hspace{2em}} $

2) $ (2^n + 3^{n+1})(3^{n+1} - 2^n) = \underline{\hspace{2em}} $

3) $ (6x^{3n-2} - 5y^{5n-3})(6x^{3n-2} + 5y^{5n-3}) = \underline{\hspace{2em}} $

1) Для умножения двучленов $(a^{4n} - b^{3n})(a^{4n} + b^{3n})$ используется формула сокращенного умножения "разность квадратов": $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$.

В данном примере $x = a^{4n}$ и $y = b^{3n}$.

Применим формулу:

$(a^{4n} - b^{3n})(a^{4n} + b^{3n}) = (a^{4n})^2 - (b^{3n})^2$

Далее используем свойство степени "возведение степени в степень" $(x^m)^k = x^{m \cdot k}$:

$(a^{4n})^2 = a^{4n \cdot 2} = a^{8n}$

$(b^{3n})^2 = b^{3n \cdot 2} = b^{6n}$

Таким образом, получаем:

$(a^{4n} - b^{3n})(a^{4n} + b^{3n}) = a^{8n} - b^{6n}$

Если заполнить пропуски в исходном задании, получится:

$(a^{4n} - b^{3n})(a^{4n} + b^{3n}) = (a^{4n})^2 - (b^{3n})^2 = a^{8n} - b^{6n}$

Ответ: $a^{8n} - b^{6n}$.

2) Рассмотрим выражение $(2^n + 3^{n+1})(3^{n+1} - 2^n)$.

Чтобы применить формулу разности квадратов, поменяем местами слагаемые в первой скобке (от перемены мест слагаемых сумма не меняется):

$(3^{n+1} + 2^n)(3^{n+1} - 2^n)$

Теперь выражение соответствует формуле $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$, где $x = 3^{n+1}$ и $y = 2^n$.

Подставляем в формулу:

$(3^{n+1} + 2^n)(3^{n+1} - 2^n) = (3^{n+1})^2 - (2^n)^2$

Применяем свойство возведения степени в степень $(x^m)^k = x^{mk}$:

$(3^{n+1})^2 = 3^{(n+1) \cdot 2} = 3^{2n+2}$

$(2^n)^2 = 2^{2n}$

В результате получаем:

$3^{2n+2} - 2^{2n}$

Ответ: $3^{2n+2} - 2^{2n}$.

3) Выполним умножение двучленов $(6x^{3n-2} - 5y^{5n-3})(6x^{3n-2} + 5y^{5n-3})$.

Это выражение также соответствует формуле разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

В данном случае $a = 6x^{3n-2}$ и $b = 5y^{5n-3}$.

Применяем формулу:

$(6x^{3n-2} - 5y^{5n-3})(6x^{3n-2} + 5y^{5n-3}) = (6x^{3n-2})^2 - (5y^{5n-3})^2$

Для упрощения используем свойства степеней $(uv)^m = u^m v^m$ и $(u^k)^m = u^{km}$:

$(6x^{3n-2})^2 = 6^2 \cdot (x^{3n-2})^2 = 36 \cdot x^{(3n-2) \cdot 2} = 36x^{6n-4}$

$(5y^{5n-3})^2 = 5^2 \cdot (y^{5n-3})^2 = 25 \cdot y^{(5n-3) \cdot 2} = 25y^{10n-6}$

Собираем итоговое выражение:

$36x^{6n-4} - 25y^{10n-6}$

Ответ: $36x^{6n-4} - 25y^{10n-6}$.

7. Упростите выражение:

1) $(3a - 4)(3a + 4) - (5a - 1)(5a + 1) = $

2) $(x + 2)(x - 2) - (x - 1)(x - 7) + (7 - x)(x + 7) = $

3) $(9m^2n - 2)(9m^2n + 2) - (7 - 9m^2n)(-7 - 9m^2n) = $

1) $(3a - 4)(3a + 4) - (5a - 1)(5a + 1) =$

Для упрощения данного выражения воспользуемся формулой сокращенного умножения "разность квадратов": $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$.

Применим эту формулу к каждой паре скобок:

Первое произведение: $(3a - 4)(3a + 4) = (3a)^2 - 4^2 = 9a^2 - 16$.

Второе произведение: $(5a - 1)(5a + 1) = (5a)^2 - 1^2 = 25a^2 - 1$.

Теперь подставим упрощенные части обратно в исходное выражение:

$(9a^2 - 16) - (25a^2 - 1)$

Раскроем скобки. Так как перед второй скобкой стоит знак минус, все знаки внутри нее меняются на противоположные:

$9a^2 - 16 - 25a^2 + 1$

Приведем подобные слагаемые:

$(9a^2 - 25a^2) + (-16 + 1) = -16a^2 - 15$.

Ответ: $-16a^2 - 15$

2) $(x + 2)(x - 2) - (x - 1)(x - 7) + (7 - x)(x + 7) =$

Упростим каждое произведение по отдельности.

Первое произведение $(x + 2)(x - 2)$ — это формула разности квадратов: $x^2 - 2^2 = x^2 - 4$.

Второе произведение $(x - 1)(x - 7)$ раскроем по правилу умножения многочленов:

$(x - 1)(x - 7) = x \cdot x + x \cdot (-7) - 1 \cdot x - 1 \cdot (-7) = x^2 - 7x - x + 7 = x^2 - 8x + 7$.

Третье произведение $(7 - x)(x + 7)$ также можно привести к формуле разности квадратов, поменяв слагаемые во второй скобке местами: $(7 - x)(7 + x) = 7^2 - x^2 = 49 - x^2$.

Подставим полученные выражения в исходное:

$(x^2 - 4) - (x^2 - 8x + 7) + (49 - x^2)$

Раскроем скобки, обращая внимание на знак минус перед второй скобкой:

$x^2 - 4 - x^2 + 8x - 7 + 49 - x^2$

Приведем подобные слагаемые:

$(x^2 - x^2 - x^2) + 8x + (-4 - 7 + 49) = -x^2 + 8x + 38$.

Ответ: $-x^2 + 8x + 38$

3) $(9m^2n - 2)(9m^2n + 2) - (7 - 9m^2n)(-7 - 9m^2n) =$

Для первого произведения $(9m^2n - 2)(9m^2n + 2)$ применим формулу разности квадратов:

$(9m^2n)^2 - 2^2 = 81m^4n^2 - 4$.

Рассмотрим второе произведение: $(7 - 9m^2n)(-7 - 9m^2n)$. Чтобы использовать формулу разности квадратов, вынесем $-1$ из второй скобки:

$(7 - 9m^2n) \cdot (-1) \cdot (7 + 9m^2n) = -(7 - 9m^2n)(7 + 9m^2n)$

Теперь это формула разности квадратов со знаком минус перед ней:

$-(7^2 - (9m^2n)^2) = -(49 - 81m^4n^2) = -49 + 81m^4n^2$.

Подставим упрощенные части в исходное выражение:

$(81m^4n^2 - 4) - (-49 + 81m^4n^2)$

Раскроем скобки. Знак минус перед скобкой меняет знаки внутри на противоположные:

$81m^4n^2 - 4 + 49 - 81m^4n^2$

Приведем подобные слагаемые:

$(81m^4n^2 - 81m^4n^2) + (-4 + 49) = 0 + 45 = 45$.

Ответ: $45$

7. Теплоход, двигаясь 3 ч по течению реки и 2 ч против течения, проходит 182 км, а двигаясь 2 ч по течению и 3 ч против течения, – 178 км. Найдите собственную скорость теплохода и скорость течения реки.

Решение.

Пусть собственная скорость теплохода равна $x$ км/ч, а скорость течения реки – $y$ км/ч. Тогда скорость теплохода по течению равна $(x+y)$ км/ч, а против течения – $(x-y)$ км/ч.

За 3 ч движения теплохода по течению он прошёл $3(x+y)$ км, а за 2 ч движения против течения – $2(x-y)$ км.

Из условия задачи следует, что $3(x+y)+2(x-y)=182$.

Пусть собственная скорость теплохода равна $x$ км/ч, а скорость течения реки — $y$ км/ч.

Тогда скорость теплохода при движении по течению реки составляет $(x + y)$ км/ч, а скорость при движении против течения — $(x - y)$ км/ч.

Согласно первому условию, за 3 часа движения по течению и 2 часа против течения теплоход проходит 182 км. Можем составить первое уравнение:

$3(x + y) + 2(x - y) = 182$

Согласно второму условию, за 2 часа по течению и 3 часа против течения он проходит 178 км. Составим второе уравнение:

$2(x + y) + 3(x - y) = 178$

Получили систему из двух линейных уравнений:

$\begin{cases} 3(x + y) + 2(x - y) = 182 \\ 2(x + y) + 3(x - y) = 178 \end{cases}$

Упростим оба уравнения, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые.

Первое уравнение: $3x + 3y + 2x - 2y = 182$, что приводит к $5x + y = 182$.

Второе уравнение: $2x + 2y + 3x - 3y = 178$, что приводит к $5x - y = 178$.

Теперь система имеет вид:

$\begin{cases} 5x + y = 182 \\ 5x - y = 178 \end{cases}$

Решим данную систему методом алгебраического сложения. Сложим левые и правые части обоих уравнений:

$(5x + y) + (5x - y) = 182 + 178$

$10x = 360$

$x = \frac{360}{10}$

$x = 36$

Теперь подставим найденное значение $x=36$ в первое упрощенное уравнение ($5x + y = 182$), чтобы найти $y$:

$5 \cdot 36 + y = 182$

$180 + y = 182$

$y = 182 - 180$

$y = 2$

Таким образом, собственная скорость теплохода равна 36 км/ч, а скорость течения реки — 2 км/ч.

Ответ: собственная скорость теплохода — 36 км/ч, скорость течения реки — 2 км/ч.