Страница 47 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Мерзляк, Полонский

13. Докажите, что разность чисел $\overline{abc}$ и $\overline{cab}$ делится нацело на 9.

Решение.

Имеем: $\overline{abc}-\overline{cab}=100a+10b+c-($

Решение.

Запишем числа $\overline{abc}$ и $\overline{cab}$ в виде суммы их разрядных слагаемых. Запись $\overline{xyz}$ обозначает число, состоящее из цифр x, y и z.

Значение числа $\overline{abc}$ равно $100a + 10b + c$.

Значение числа $\overline{cab}$ равно $100c + 10a + b$.

Теперь найдем разность этих двух чисел:

$\overline{abc} - \overline{cab} = (100a + 10b + c) - (100c + 10a + b)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$100a + 10b + c - 100c - 10a - b = (100a - 10a) + (10b - b) + (c - 100c) = 90a + 9b - 99c$

Вынесем общий множитель 9 за скобки:

$90a + 9b - 99c = 9 \cdot (10a + b - 11c)$

Так как a, b и c являются цифрами, то они целые числа. Следовательно, выражение в скобках $(10a + b - 11c)$ также является целым числом.

Поскольку разность чисел $\overline{abc}$ и $\overline{cab}$ может быть представлена в виде произведения, где один из множителей равен 9, это означает, что разность всегда делится нацело на 9.

Ответ: Что и требовалось доказать.

14. Докажите, что сумма чисел $\overline{abc}$, $\overline{bca}$ и $\overline{cab}$ делится нацело на сумму цифр этих трёх чисел.

Пусть даны три трехзначных числа $\overline{abc}$, $\overline{bca}$ и $\overline{cab}$, где $a, b, c$ — это цифры. Черта сверху означает, что это позиционная запись числа, а не произведение. Поскольку $a$, $b$ и $c$ в разных числах стоят на месте сотен, они не могут быть равны нулю ($a \neq 0, b \neq 0, c \neq 0$).

Для доказательства утверждения представим каждое число в виде суммы его разрядных слагаемых:

• Число $\overline{abc}$ можно записать как $100 \cdot a + 10 \cdot b + c$.
• Число $\overline{bca}$ можно записать как $100 \cdot b + 10 \cdot c + a$.
• Число $\overline{cab}$ можно записать как $100 \cdot c + 10 \cdot a + b$.

Теперь найдем сумму этих трех чисел, которую обозначим как $S$:

$S = \overline{abc} + \overline{bca} + \overline{cab} = (100a + 10b + c) + (100b + 10c + a) + (100c + 10a + b)$

Сгруппируем слагаемые, содержащие одинаковые переменные ($a, b, c$):

$S = (100a + a + 10a) + (10b + 100b + b) + (c + 10c + 100c)$

Приведем подобные слагаемые:

$S = 111a + 111b + 111c$

Вынесем общий множитель 111 за скобки, чтобы упростить выражение:

$S = 111 \cdot (a + b + c)$

Теперь найдем сумму цифр этих чисел. Сумма цифр для каждого из данных чисел одна и та же и равна $a+b+c$.

Чтобы доказать, что сумма чисел $S$ делится нацело на сумму их цифр, необходимо показать, что результат деления $S$ на $(a+b+c)$ является целым числом.

$\frac{S}{a+b+c} = \frac{111 \cdot (a+b+c)}{a+b+c}$

Так как $a, b, c$ — ненулевые цифры, их сумма $(a+b+c)$ не равна нулю. Поэтому мы можем сократить дробь на выражение $(a+b+c)$:

$\frac{111 \cdot (a+b+c)}{a+b+c} = 111$

Результат деления равен 111, что является целым числом. Таким образом, мы доказали, что сумма чисел $\overline{abc}$, $\overline{bca}$ и $\overline{cab}$ всегда делится нацело на сумму цифр $a+b+c$, из которых они состоят.

Ответ: утверждение доказано. Сумма чисел $\overline{abc} + \overline{bca} + \overline{cab}$ равна $111 \cdot (a+b+c)$, а сумма их цифр равна $a+b+c$. Отношение суммы чисел к сумме их цифр всегда равно 111, что является целым числом. Следовательно, делимость нацело выполняется.