Страница 41 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Мерзляк, Полонский

2. Подчеркните выражения, являющиеся многочленами.

1) $x^2 + 1$

2) $4x^2y \cdot 3y$

3) $\frac{1}{x^2 + 1}$

4) $9$

5) $xy(x^2 - 3y)$

6) $2x^3 - 2x + 2$

1) Выражение $x^2 + 1$ является многочленом. По определению, многочлен — это алгебраическая сумма одночленов. В данном случае это сумма одночленов $x^2$ и $1$. Все переменные в выражении возведены в целые неотрицательные степени.
Ответ: является многочленом.

3. Подчеркните многочлены третьей степени.

1) $3a^2 + 3a + 3$

2) $a^3 - 1$

3) $a^2 + 2a - 6$

4) $a^2b + b^2 - 1$

5) $a^3 + a^2b^2 + b^3$

6) $a^3 + a + 1$

Для того чтобы определить, является ли многочлен многочленом третьей степени, необходимо найти степень каждого его члена (одночлена) и выбрать наибольшую из них. Степень члена, в котором есть переменные, — это сумма показателей степеней всех переменных в этом члене. Степень члена, являющегося числом (константой), отличным от нуля, равна нулю. Если наибольшая степень среди всех членов многочлена равна 3, то это многочлен третьей степени. Проанализируем каждый из предложенных многочленов.

1) В многочлене $3a^2 + 3a + 3$ рассмотрим степени его членов. Степень члена $3a^2$ равна 2. Степень члена $3a$ (то есть $3a^1$) равна 1. Степень члена $3$ (константы) равна 0. Наибольшая из этих степеней — 2. Следовательно, это многочлен второй степени.

Ответ: не является многочленом третьей степени.

2) В многочлене $a^3 - 1$ два члена: $a^3$ и $-1$. Степень члена $a^3$ равна 3. Степень члена $-1$ равна 0. Наибольшая степень равна 3. Следовательно, это многочлен третьей степени.

Ответ: является многочленом третьей степени.

3) В многочлене $a^2 + 2a - 6$ степени его членов следующие: степень $a^2$ равна 2, степень $2a$ равна 1, степень $-6$ равна 0. Наибольшая степень — 2. Следовательно, это многочлен второй степени.

Ответ: не является многочленом третьей степени.

4) В многочлене $a^2b + b^2 - 1$ рассмотрим степени его членов. Степень члена $a^2b$ (или $a^2b^1$) равна сумме показателей степеней переменных: $2+1=3$. Степень члена $b^2$ равна 2. Степень члена $-1$ равна 0. Наибольшая степень равна 3. Следовательно, это многочлен третьей степени.

Ответ: является многочленом третьей степени.

5) В многочлене $a^3 + a^2b^2 + b^3$ степени его членов следующие: степень $a^3$ равна 3, степень члена $a^2b^2$ равна сумме показателей $2+2=4$, степень члена $b^3$ равна 3. Наибольшая степень равна 4. Следовательно, это многочлен четвертой степени.

Ответ: не является многочленом третьей степени.

6) В многочлене $a^3 + a + 1$ степени его членов следующие: степень $a^3$ равна 3, степень $a$ (или $a^1$) равна 1, степень $1$ равна 0. Наибольшая степень равна 3. Следовательно, это многочлен третьей степени.

Ответ: является многочленом третьей степени.

Таким образом, многочлены третьей степени, которые необходимо подчеркнуть, это многочлены под номерами 2, 4 и 6.

4. Расположите члены многочлена в порядке убывания степеней переменной:

1) $8x - 3x^2 + 6x^3 - 4 = 6x^3 - 3x^2 +$

2) $x^4 - 5x^6 - 3x^2 + 3x^3 - 7x + 2 = $

3) $3 - 10x^5 + x = $

1) Чтобы расположить члены многочлена $8x - 3x^2 + 6x^3 - 4$ в порядке убывания степеней переменной, необходимо сначала определить степень каждого члена. Степенью члена многочлена называется показатель степени переменной в этом члене.
Выпишем члены многочлена и их степени:
• Член $6x^3$ имеет степень 3.
• Член $-3x^2$ имеет степень 2.
• Член $8x$ можно записать как $8x^1$, его степень равна 1.
• Член $-4$ является свободным членом, его степень равна 0 (можно представить как $-4x^0$).
Теперь расположим члены многочлена в порядке убывания их степеней, то есть от наибольшей к наименьшей: 3, 2, 1, 0.
Получаем: $6x^3 - 3x^2 + 8x - 4$.
Ответ: $6x^3 - 3x^2 + 8x - 4$

2) Рассмотрим многочлен $x^4 - 5x^6 - 3x^2 + 3x^3 - 7x + 2$.
Определим степени его членов:
• Член $-5x^6$ имеет наибольшую степень 6.
• Член $x^4$ имеет степень 4.
• Член $3x^3$ имеет степень 3.
• Член $-3x^2$ имеет степень 2.
• Член $-7x$ (или $-7x^1$) имеет степень 1.
• Член $2$ (или $2x^0$) имеет степень 0.
Располагая члены в порядке убывания их степеней (6, 4, 3, 2, 1, 0), мы получаем многочлен в стандартном виде.
Получаем: $-5x^6 + x^4 + 3x^3 - 3x^2 - 7x + 2$.
Ответ: $-5x^6 + x^4 + 3x^3 - 3x^2 - 7x + 2$

3) В многочлене $3 - 10x^5 + x$ определим степени каждого члена:
• Член $-10x^5$ имеет степень 5.
• Член $x$ (или $x^1$) имеет степень 1.
• Член $3$ (или $3x^0$) имеет степень 0.
Расположим члены в порядке убывания их степеней (5, 1, 0).
Получаем: $-10x^5 + x + 3$.
Ответ: $-10x^5 + x + 3$

5. Найдите значения многочленов при указанном значении переменной и заполните таблицу.

Для решения задачи необходимо последовательно подставить каждое значение переменной $x$ в каждый многочлен и вычислить результат.

Расчеты для многочлена $x^2 - 2x + 1$

При x = 0:
$0^2 - 2 \cdot 0 + 1 = 0 - 0 + 1 = 1$
Ответ: 1

При x = -1:
$(-1)^2 - 2 \cdot (-1) + 1 = 1 + 2 + 1 = 4$
Ответ: 4

При x = 1:
$1^2 - 2 \cdot 1 + 1 = 1 - 2 + 1 = 0$
Ответ: 0

При x = 4:
$4^2 - 2 \cdot 4 + 1 = 16 - 8 + 1 = 9$
Ответ: 9

Расчеты для многочлена $x^3 - 8$

При x = 0:
$0^3 - 8 = 0 - 8 = -8$
Ответ: -8

При x = -1:
$(-1)^3 - 8 = -1 - 8 = -9$
Ответ: -9

При x = 1:
$1^3 - 8 = 1 - 8 = -7$
Ответ: -7

При x = 4:
$4^3 - 8 = 64 - 8 = 56$
Ответ: 56

Расчеты для многочлена $-4x^2 + 16$

При x = 0:
$-4 \cdot (0)^2 + 16 = -4 \cdot 0 + 16 = 0 + 16 = 16$
Ответ: 16

При x = -1:
$-4 \cdot (-1)^2 + 16 = -4 \cdot 1 + 16 = -4 + 16 = 12$
Ответ: 12

При x = 1:
$-4 \cdot (1)^2 + 16 = -4 \cdot 1 + 16 = -4 + 16 = 12$
Ответ: 12

При x = 4:
$-4 \cdot (4)^2 + 16 = -4 \cdot 16 + 16 = -64 + 16 = -48$
Ответ: -48

Расчеты для многочлена $x^3 - 2x^2$

При x = 0:
$0^3 - 2 \cdot (0)^2 = 0 - 0 = 0$
Ответ: 0

При x = -1:
$(-1)^3 - 2 \cdot (-1)^2 = -1 - 2 \cdot 1 = -1 - 2 = -3$
Ответ: -3

При x = 1:
$1^3 - 2 \cdot (1)^2 = 1 - 2 \cdot 1 = 1 - 2 = -1$
Ответ: -1

При x = 4:
$4^3 - 2 \cdot (4)^2 = 64 - 2 \cdot 16 = 64 - 32 = 32$
Ответ: 32

Заполненная таблица

15. Укажите с помощью стрелки для каждого уравнения его график.

$x + y = 2$

$x + y = -2$

$x - y = 2$

$x - y = -2$

y, 0, -2, 2, x

y, 2, 0, 2, x

y, 2, -2, 0, x

y, -2, -2, 0, x

Чтобы установить соответствие между уравнениями и их графиками, мы для каждого уравнения найдем точки пересечения с осями координат. Любая прямая однозначно определяется двумя точками. Точки пересечения с осями $Ox$ (ось абсцисс) и $Oy$ (ось ординат) легко найти, подставляя в уравнение $y=0$ и $x=0$ соответственно.

$x + y = 2$
Найдем точки пересечения графика с осями координат.
1. Пересечение с осью $Ox$: подставим $y=0$. Получим $x + 0 = 2$, откуда $x=2$. Координаты точки: $(2, 0)$.
2. Пересечение с осью $Oy$: подставим $x=0$. Получим $0 + y = 2$, откуда $y=2$. Координаты точки: $(0, 2)$.
Таким образом, график этого уравнения — это прямая, проходящая через точки $(2, 0)$ и $(0, 2)$. На рисунке это второй график (в верхнем ряду справа), что совпадает с указанием стрелки в условии задачи.
Ответ: второй график (в верхнем ряду справа).

$x + y = -2$
Найдем точки пересечения графика с осями координат.
1. Пересечение с осью $Ox$: подставим $y=0$. Получим $x + 0 = -2$, откуда $x=-2$. Координаты точки: $(-2, 0)$.
2. Пересечение с осью $Oy$: подставим $x=0$. Получим $0 + y = -2$, откуда $y=-2$. Координаты точки: $(0, -2)$.
График этого уравнения — это прямая, проходящая через точки $(-2, 0)$ и $(0, -2)$. На рисунке это четвертый график (в нижнем ряду справа).
Ответ: четвертый график (в нижнем ряду справа).

$x - y = 2$
Найдем точки пересечения графика с осями координат.
1. Пересечение с осью $Ox$: подставим $y=0$. Получим $x - 0 = 2$, откуда $x=2$. Координаты точки: $(2, 0)$.
2. Пересечение с осью $Oy$: подставим $x=0$. Получим $0 - y = 2$, откуда $y=-2$. Координаты точки: $(0, -2)$.
График этого уравнения — это прямая, проходящая через точки $(2, 0)$ и $(0, -2)$. На рисунке это первый график (в нижнем ряду слева).
Ответ: первый график (в нижнем ряду слева).

$x - y = -2$
Найдем точки пересечения графика с осями координат.
1. Пересечение с осью $Ox$: подставим $y=0$. Получим $x - 0 = -2$, откуда $x=-2$. Координаты точки: $(-2, 0)$.
2. Пересечение с осью $Oy$: подставим $x=0$. Получим $0 - y = -2$, откуда $y=2$. Координаты точки: $(0, 2)$.
График этого уравнения — это прямая, проходящая через точки $(-2, 0)$ и $(0, 2)$. На рисунке это третий график (в нижнем ряду по центру).
Ответ: третий график (в нижнем ряду по центру).

16. Установите соответствие между уравнениями и их графиками.

1) $0x + y = 4$

2) $x - 2y = 1$

3) $x - 2y = 0$

4) $6x + 0y = 18$

1) 2) 3) 4) Ответ:

Для того чтобы установить соответствие между уравнениями и их графиками, проанализируем каждое уравнение.

1) $0x + y = 4$

Упростим данное уравнение. Слагаемое $0x$ равно нулю при любом значении $x$, поэтому уравнение принимает вид $y = 4$. Это уравнение задает горизонтальную прямую, все точки которой имеют ординату (координату $y$), равную 4. На предложенных рисунках такая прямая изображена на графике под номером 3.

Ответ: для уравнения 1) соответствует график 3.

2) $x - 2y = 1$

Это линейное уравнение с двумя переменными, его график — прямая. Чтобы определить, какой из графиков ему соответствует, найдем координаты двух точек, принадлежащих этой прямой.

• Если $x = 1$, подставим это значение в уравнение: $1 - 2y = 1$. Отсюда следует, что $-2y = 0$, значит $y = 0$. Мы получили точку $(1, 0)$.
• Если $x = 3$, подставим это значение в уравнение: $3 - 2y = 1$. Отсюда $-2y = 1 - 3$, то есть $-2y = -2$, и $y = 1$. Мы получили точку $(3, 1)$.

Прямая, проходящая через точки $(1, 0)$ и $(3, 1)$, изображена на графике под номером 4.

Ответ: для уравнения 2) соответствует график 4.

3) $x - 2y = 0$

Выразим $y$ из этого уравнения, чтобы привести его к стандартному виду $y = kx + b$.

$x = 2y \implies y = \frac{1}{2}x$.

Это уравнение прямой, которая проходит через начало координат $(0, 0)$ и имеет угловой коэффициент $k = \frac{1}{2}$. Найдем еще одну точку для проверки. Если $x=2$, то $y = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1$. Точка $(2, 1)$ принадлежит этой прямой. График, проходящий через $(0, 0)$ и $(2, 1)$, изображен под номером 1.

Ответ: для уравнения 3) соответствует график 1.

4) $6x + 0y = 18$

Упростим это уравнение. Слагаемое $0y$ равно нулю, поэтому получаем $6x = 18$. Разделив обе части уравнения на 6, получим $x = 3$. Это уравнение задает вертикальную прямую, все точки которой имеют абсциссу (координату $x$), равную 3. Такая прямая изображена на графике под номером 2.

Ответ: для уравнения 4) соответствует график 2.

В результате мы получили следующие соответствия: 1-3, 2-4, 3-1, 4-2. Заполним итоговую таблицу.

17. Составьте линейное уравнение с двумя переменными, график которого пересекает оси координат в точках A (8; 0) и B (0; -6).

Решение.

Пусть $ax + by = c$ — искомое уравнение.

Поскольку график этого уравнения пересекает оси координат в разных точках, то $c \neq 0$.

Разделим обе части этого уравнения на $c$: $\frac{a}{c}x + \frac{b}{c}y = 1$.

Обозначим: $m = \frac{a}{c}$, $n = \frac{b}{c}$. Тогда искомое уравнение примет вид

Решение.

Общий вид линейного уравнения с двумя переменными — это $ax + by = c$, где $a$, $b$ и $c$ — некоторые числа, причем хотя бы один из коэффициентов $a$ или $b$ не равен нулю.

По условию, график этого уравнения проходит через две точки: A(8; 0) и B(0; -6). Это означает, что координаты каждой из этих точек должны удовлетворять уравнению.

1. Подставим координаты точки A(8; 0) в уравнение. Здесь $x=8$ и $y=0$:

$a \cdot 8 + b \cdot 0 = c$

$8a = c$

2. Теперь подставим координаты точки B(0; -6) в то же уравнение. Здесь $x=0$ и $y=-6$:

$a \cdot 0 + b \cdot (-6) = c$

$-6b = c$

Мы получили систему из двух равенств, связывающих коэффициенты $a$, $b$ и $c$:

$\begin{cases} 8a = c \\ -6b = c \end{cases}$

Из этой системы следует, что $8a = -6b$. Мы можем выразить один коэффициент через другой. Например, выразим $a$ через $b$:

$a = \frac{-6b}{8} = -\frac{3}{4}b$

Теперь мы можем выбрать любое удобное ненулевое значение для одного из коэффициентов, чтобы найти остальные. Чтобы избежать дробей, выберем значение для $b$ так, чтобы оно было кратно 4. Например, пусть $b = -4$.

Тогда коэффициент $a$ будет равен:

$a = -\frac{3}{4} \cdot (-4) = 3$

Теперь найдем коэффициент $c$, используя любое из первоначальных равенств, например, $-6b = c$:

$c = -6 \cdot (-4) = 24$

Итак, мы нашли значения коэффициентов: $a=3$, $b=-4$, $c=24$. Подставим их в исходное уравнение $ax + by = c$:

$3x + (-4)y = 24$

$3x - 4y = 24$

Это и есть искомое линейное уравнение. Можно выполнить проверку, подставив в него координаты исходных точек:

Для точки A(8; 0): $3 \cdot 8 - 4 \cdot 0 = 24 - 0 = 24$. Равенство верно.

Для точки B(0; -6): $3 \cdot 0 - 4 \cdot (-6) = 0 + 24 = 24$. Равенство верно.

Ответ: $3x - 4y = 24$.