Страница 36 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Мерзляк, Полонский

13. Запишите выражение $2^{60}$ в виде степени с основанием:

1) $2^8$;

2) $2^{15}$;

3) 16;

4) 64.

Для того чтобы представить выражение $2^{60}$ в виде степени с другим основанием, мы будем использовать свойство возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. Для каждого пункта задачи необходимо найти новый показатель степени $x$.

1) Требуется представить $2^{60}$ в виде степени с основанием $2^3$.
Мы ищем такое число $x$, что $(2^3)^x = 2^{60}$.
Используя свойство степеней, левую часть равенства можно записать как $2^{3 \cdot x}$.
Таким образом, мы получаем уравнение: $2^{3x} = 2^{60}$.
Так как основания степеней одинаковы, мы можем приравнять их показатели: $3x = 60$.
Решая это уравнение, находим $x$:
$x = \frac{60}{3} = 20$.
Следовательно, $2^{60} = (2^3)^{20}$.
Ответ: $(2^3)^{20}$.

2) Требуется представить $2^{60}$ в виде степени с основанием $2^{15}$.
Ищем такое число $x$, что $(2^{15})^x = 2^{60}$.
По свойству степеней: $2^{15 \cdot x} = 2^{60}$.
Приравниваем показатели: $15x = 60$.
Находим $x$:
$x = \frac{60}{15} = 4$.
Следовательно, $2^{60} = (2^{15})^4$.
Ответ: $(2^{15})^4$.

3) Требуется представить $2^{60}$ в виде степени с основанием 16.
Сначала выразим основание 16 через степень числа 2: $16 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^4$.
Теперь мы ищем такое число $x$, что $(16)^x = 2^{60}$.
Подставим $16 = 2^4$ в левую часть: $(2^4)^x = 2^{60}$.
По свойству степеней: $2^{4x} = 2^{60}$.
Приравниваем показатели: $4x = 60$.
Находим $x$:
$x = \frac{60}{4} = 15$.
Следовательно, $2^{60} = 16^{15}$.
Ответ: $16^{15}$.

4) Требуется представить $2^{60}$ в виде степени с основанием 64.
Сначала выразим основание 64 через степень числа 2: $64 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^6$.
Ищем такое число $x$, что $(64)^x = 2^{60}$.
Подставим $64 = 2^6$ в левую часть: $(2^6)^x = 2^{60}$.
По свойству степеней: $2^{6x} = 2^{60}$.
Приравниваем показатели: $6x = 60$.
Находим $x$:
$x = \frac{60}{6} = 10$.
Следовательно, $2^{60} = 64^{10}$.
Ответ: $64^{10}$.

14. Сравните значения выражений:

1) $5^{24}$ и $3^{36}$;

Имеем: $5^{24} = (5^2)^{12} = 25^{12}$; $3^{36} = (3^3)^{12} = 27^{12}$.

Поскольку $25^{12} \quad 27^{12}$, то

2) $4^{24}$ и $7^{18}$;

3) $26^{18}$ и $9^{27}$.

1) Для сравнения значений выражений $5^{24}$ и $3^{36}$ необходимо привести их к общему показателю степени. Основной метод для этого — найти наибольший общий делитель (НОД) показателей степеней.
Показатели степеней — 24 и 36. НОД(24, 36) = 12.
Теперь представим каждое из исходных выражений в виде степени с показателем 12, используя свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$5^{24} = 5^{2 \cdot 12} = (5^2)^{12} = 25^{12}$
$3^{36} = 3^{3 \cdot 12} = (3^3)^{12} = 27^{12}$
Теперь задача сводится к сравнению двух степеней с одинаковыми показателями: $25^{12}$ и $27^{12}$.
Так как показатели степеней равны, достаточно сравнить их основания. Поскольку $25 < 27$, то и $25^{12} < 27^{12}$.
Следовательно, $5^{24} < 3^{36}$.
Ответ: $5^{24} < 3^{36}$.

2) Сравним значения выражений $4^{24}$ и $7^{18}$. Приведем их к общему показателю.
Найдем НОД показателей 24 и 18. НОД(24, 18) = 6.
Представим выражения в виде степени с показателем 6:
$4^{24} = 4^{4 \cdot 6} = (4^4)^6 = 256^6$
$7^{18} = 7^{3 \cdot 6} = (7^3)^6 = 343^6$
Теперь сравним $256^6$ и $343^6$. Так как показатели степеней равны, сравниваем основания.
Поскольку $256 < 343$, то $256^6 < 343^6$.
Следовательно, $4^{24} < 7^{18}$.
Ответ: $4^{24} < 7^{18}$.

3) Сравним значения выражений $26^{18}$ и $9^{27}$. Приведем их к общему показателю.
Найдем НОД показателей 18 и 27. НОД(18, 27) = 9.
Представим выражения в виде степени с показателем 9:
$26^{18} = 26^{2 \cdot 9} = (26^2)^9 = 676^9$
$9^{27} = 9^{3 \cdot 9} = (9^3)^9 = 729^9$
Теперь сравним $676^9$ и $729^9$. Так как показатели степеней равны, сравниваем основания.
Поскольку $676 < 729$, то $676^9 < 729^9$.
Следовательно, $26^{18} < 9^{27}$.
Ответ: $26^{18} < 9^{27}$.

2. Подчеркните уравнения с двумя переменными, являющиеся линейными.

1) $8x - 0,9y = \frac{1}{6}$;

2) $x - 4y^2 = 5$;

3) $6x + 2xy = 9$;

4) $3x + 4y = 0$.

Линейным уравнением с двумя переменными называется уравнение вида $ax + by = c$, где $x$ и $y$ — переменные, а $a$, $b$ и $c$ — некоторые числа (коэффициенты), причем хотя бы один из коэффициентов $a$ или $b$ не равен нулю. Ключевые характеристики линейного уравнения:

• Переменные ($x$ и $y$) находятся в первой степени.
• В уравнении нет членов с произведением переменных (например, $xy$).
• Переменные не находятся в знаменателе дроби.

Проанализируем каждое из предложенных уравнений:

1) $8x - 0.9y = \frac{1}{6}$

Данное уравнение полностью соответствует определению линейного уравнения с двумя переменными. Оно имеет вид $ax + by = c$, где $a=8$, $b=-0.9$ и $c=\frac{1}{6}$. Обе переменные, $x$ и $y$, находятся в первой степени, и отсутствуют их произведения или другие недопустимые операции. Следовательно, это уравнение является линейным.

Ответ: является линейным уравнением.

2) $x - 4y^2 = 5$

В этом уравнении переменная $y$ находится во второй степени ($y^2$). Это нарушает основное требование для линейных уравнений, согласно которому все переменные должны быть в первой степени. Поэтому данное уравнение не является линейным.

Ответ: не является линейным уравнением.

3) $6x + 2xy = 9$

Данное уравнение содержит член $2xy$, который представляет собой произведение переменных $x$ и $y$. Это не соответствует стандартному виду линейного уравнения. Следовательно, это уравнение не является линейным.

Ответ: не является линейным уравнением.

4) $3x + 4y = 0$

Это уравнение также является линейным. Оно соответствует виду $ax + by = c$, где $a=3$, $b=4$ и $c=0$. Обе переменные, $x$ и $y$, находятся в первой степени, и нет их произведений. Следовательно, это уравнение является линейным.

Ответ: является линейным уравнением.

Итог: Необходимо подчеркнуть уравнения 1) и 4), так как они являются линейными уравнениями с двумя переменными.

3. Подчеркните пары чисел, являющиеся решениями уравнения $2x - 9y = 13$.

1) $(2,5; 2)$;

2) $(10,5; 2)$;

3) $(5; -\frac{1}{3})$;

4) $(0,4; 1,4)$;

5) $(-7; -3)$.

Чтобы определить, какие из предложенных пар чисел являются решениями уравнения $2x - 9y = 13$, необходимо для каждой пары подставить соответствующие значения $x$ и $y$ в уравнение и проверить, получится ли верное числовое равенство.

1) Проверим пару $(2,5; 2)$. Подставляем $x = 2,5$ и $y = 2$ в левую часть уравнения:
$2 \cdot 2,5 - 9 \cdot 2 = 5 - 18 = -13$.
Поскольку $-13 \neq 13$, эта пара не является решением.
Ответ: не является решением.

2) Проверим пару $(10,5; 2)$. Подставляем $x = 10,5$ и $y = 2$ в левую часть уравнения:
$2 \cdot 10,5 - 9 \cdot 2 = 21 - 18 = 3$.
Поскольку $3 \neq 13$, эта пара не является решением.
Ответ: не является решением.

3) Проверим пару $(5; -\frac{1}{3})$. Подставляем $x = 5$ и $y = -\frac{1}{3}$ в левую часть уравнения:
$2 \cdot 5 - 9 \cdot (-\frac{1}{3}) = 10 + \frac{9}{3} = 10 + 3 = 13$.
Поскольку $13 = 13$, эта пара является решением.
Ответ: является решением.

4) Проверим пару $(0,4; 1,4)$. Подставляем $x = 0,4$ и $y = 1,4$ в левую часть уравнения:
$2 \cdot 0,4 - 9 \cdot 1,4 = 0,8 - 12,6 = -11,8$.
Поскольку $-11,8 \neq 13$, эта пара не является решением.
Ответ: не является решением.

5) Проверим пару $(-7; -3)$. Подставляем $x = -7$ и $y = -3$ в левую часть уравнения:
$2 \cdot (-7) - 9 \cdot (-3) = -14 + 27 = 13$.
Поскольку $13 = 13$, эта пара является решением.
Ответ: является решением.

4. Известно, что пара чисел $(-8; y)$ является решением уравнения $2x - 3y = 4$. Найдите значение $y$.

4. Известно, что пара чисел $(-8; y)$ является решением уравнения $2x - 3y = 4$. Найдите значение $y$.

Решение.

Подставим в данное уравнение вместо переменной $x$ число $-8$:

Решение.

Дано уравнение $2x - 3y = 4$. По условию, пара чисел $(-8; y)$ является решением этого уравнения. Это означает, что если мы подставим в уравнение значение $x = -8$, то сможем найти соответствующее ему значение $y$.

Подставим в данное уравнение вместо переменной $x$ число $-8$:
$2 \cdot (-8) - 3y = 4$

Выполним умножение в левой части уравнения:
$-16 - 3y = 4$

Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $y$. Для этого перенесем $-16$ из левой части в правую, изменив знак на противоположный:
$-3y = 4 + 16$
$-3y = 20$

Чтобы найти $y$, разделим обе части уравнения на коэффициент при $y$, то есть на $-3$:
$y = \frac{20}{-3}$
$y = -\frac{20}{3}$

Ответ: $-\frac{20}{3}$

5. Известно, что пара чисел $(x; \frac{2}{3})$ является решением уравнения $\frac{1}{7}x + 6y = 1$. Найдите значение $x$.

По условию задачи, пара чисел $(x; \frac{2}{3})$ является решением уравнения $\frac{1}{7}x + 6y = 1$. Это означает, что если мы подставим координаты этой точки в уравнение, то получим верное равенство. В данном случае, нам известно значение ординаты $y = \frac{2}{3}$.

Подставим значение $y$ в исходное уравнение:
$\frac{1}{7}x + 6 \cdot \frac{2}{3} = 1$

Теперь необходимо решить полученное уравнение относительно переменной $x$. Сначала упростим второе слагаемое в левой части:
$6 \cdot \frac{2}{3} = \frac{6 \cdot 2}{3} = \frac{12}{3} = 4$

Уравнение примет вид:
$\frac{1}{7}x + 4 = 1$

Перенесем число 4 из левой части в правую, изменив его знак на противоположный:
$\frac{1}{7}x = 1 - 4$
$\frac{1}{7}x = -3$

Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на 7:
$x = -3 \cdot 7$
$x = -21$

Ответ: -21