Страница 39 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Мерзляк, Полонский

6. Преобразуйте выражение в одночлен стандартного вида и запишите его коэффициент в пустую клетку:

1) $ (4a^3b)^2 $ =

2) $ (-6pc^4)^4 $ =

3) $ (-\frac{1}{3}x^5y^6)^5 $ =

1) Чтобы преобразовать выражение $(4a^3b)^2$ в одночлен стандартного вида, необходимо возвести в квадрат каждый множитель, находящийся в скобках. Для этого применяются свойства степеней: $(xyz)^n = x^n y^n z^n$ и $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$.

$(4a^3b)^2 = 4^2 \cdot (a^3)^2 \cdot b^2$

Вычисляем числовой коэффициент: $4^2 = 16$.

Преобразуем переменные: $(a^3)^2 = a^{3 \cdot 2} = a^6$ и $b^2$.

Собираем все вместе и получаем одночлен стандартного вида: $16a^6b^2$.

Коэффициентом одночлена является его числовой множитель.

Ответ: 16.

2) Для преобразования выражения $(-6pc^4)^4$ в одночлен стандартного вида возведем каждый множитель в четвертую степень.

$(-6pc^4)^4 = (-6)^4 \cdot p^4 \cdot (c^4)^4$

Вычисляем числовой коэффициент. Так как показатель степени (4) — четное число, результат будет положительным: $(-6)^4 = 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 = 1296$.

Преобразуем переменные: $(c^4)^4 = c^{4 \cdot 4} = c^{16}$.

Записываем одночлен в стандартном виде, располагая переменные в алфавитном порядке: $1296c^{16}p^4$.

Коэффициент этого одночлена равен 1296.

Ответ: 1296.

3) Чтобы преобразовать выражение $(-\frac{1}{3}x^5y^6)^5$ в одночлен стандартного вида, возведем каждый множитель в пятую степень.

$(-\frac{1}{3}x^5y^6)^5 = (-\frac{1}{3})^5 \cdot (x^5)^5 \cdot (y^6)^5$

Вычисляем числовой коэффициент. Так как показатель степени (5) — нечетное число, знак минус сохраняется: $(-\frac{1}{3})^5 = -\frac{1^5}{3^5} = -\frac{1}{243}$.

Преобразуем переменные: $(x^5)^5 = x^{5 \cdot 5} = x^{25}$ и $(y^6)^5 = y^{6 \cdot 5} = y^{30}$.

Собираем все вместе и получаем одночлен стандартного вида: $-\frac{1}{243}x^{25}y^{30}$.

Коэффициент этого одночлена равен $-\frac{1}{243}$.

Ответ: $-\frac{1}{243}$.

7. Заполните пропуск так, чтобы образовалось тождество:

1) $6a^4b^7 = 1,5a^2b^3 \cdot $

2) $-28a^7b^9 = 1,4ab : $

3) $3\frac{1}{6}m^{10}n^{18} = \frac{1}{2}m^5n^9 \cdot $

1) Чтобы найти неизвестный множитель в тождестве, необходимо произведение (левую часть равенства) разделить на известный множитель (часть правой части). Обозначим искомое выражение как $X$.
$X = \frac{6a^4b^7}{1,5a^2b^3}$
Выполним деление, разделив отдельно числовые коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями. При делении степеней их показатели вычитаются ($a^m / a^n = a^{m-n}$).
Деление коэффициентов: $6 \div 1,5 = 4$.
Деление переменных:
$a^4 \div a^2 = a^{4-2} = a^2$
$b^7 \div b^3 = b^{7-3} = b^4$
Таким образом, пропущенное выражение равно $4a^2b^4$.
Проверим: $1,5a^2b^3 \cdot (4a^2b^4) = (1,5 \cdot 4) \cdot (a^2 \cdot a^2) \cdot (b^3 \cdot b^4) = 6a^{2+2}b^{3+4} = 6a^4b^7$. Тождество верно.
Ответ: $4a^2b^4$

2) Действуем аналогично первому пункту. Обозначим пропущенный множитель как $Y$.
$Y = \frac{-28a^7b^9}{1,4ab}$
Разделим коэффициенты: $-28 \div 1,4 = -20$.
Разделим переменные, помня, что $a = a^1$ и $b = b^1$:
$a^7 \div a^1 = a^{7-1} = a^6$
$b^9 \div b^1 = b^{9-1} = b^8$
Следовательно, искомое выражение равно $-20a^6b^8$.
Проверим: $1,4ab \cdot (-20a^6b^8) = (1,4 \cdot -20) \cdot (a \cdot a^6) \cdot (b \cdot b^8) = -28a^{1+6}b^{1+8} = -28a^7b^9$. Тождество верно.
Ответ: $-20a^6b^8$

3) Найдём неизвестный множитель $Z$ путём деления.
$Z = \frac{3\frac{1}{6}m^{10}n^{18}}{\frac{1}{2}m^5n^9}$
Для удобства вычислений преобразуем смешанную дробь $3\frac{1}{6}$ в неправильную: $3\frac{1}{6} = \frac{3 \cdot 6 + 1}{6} = \frac{19}{6}$.
Теперь разделим коэффициенты:
$\frac{19}{6} \div \frac{1}{2} = \frac{19}{6} \cdot \frac{2}{1} = \frac{19 \cdot 2}{6 \cdot 1} = \frac{38}{6} = \frac{19}{3} = 6\frac{1}{3}$.
Разделим переменные:
$m^{10} \div m^5 = m^{10-5} = m^5$
$n^{18} \div n^9 = n^{18-9} = n^9$
Значит, пропущенный множитель равен $6\frac{1}{3}m^5n^9$.
Проверим: $\frac{1}{2}m^5n^9 \cdot (6\frac{1}{3}m^5n^9) = \frac{1}{2}m^5n^9 \cdot \frac{19}{3}m^5n^9 = (\frac{1}{2} \cdot \frac{19}{3}) \cdot (m^5 \cdot m^5) \cdot (n^9 \cdot n^9) = \frac{19}{6}m^{10}n^{18} = 3\frac{1}{6}m^{10}n^{18}$. Тождество верно.
Ответ: $6\frac{1}{3}m^5n^9$

8. Представьте выражение в виде квадрата одночлена стандартного вида:

1) $25a^6 = (\underline{\hspace{2em}})^2$

2) $0,81m^8n^{12} = (\underline{\hspace{2em}})^2$

3) $\frac{49}{225}p^{10}c^{14} = (\underline{\hspace{2em}})^2$

4) $0,01x^2y^8z^{24} = (\underline{\hspace{2em}})^2$

1) Чтобы представить одночлен $25a^6$ в виде квадрата другого одночлена, необходимо для каждого множителя в его составе найти такое выражение, квадрат которого равен этому множителю. Это эквивалентно извлечению квадратного корня из числового коэффициента и делению показателя степени каждой переменной на 2.
Для коэффициента: $\sqrt{25} = 5$.
Для переменной $a$: показатель степени 6 делим на 2, получаем $a^{6/2} = a^3$.
Объединяя результаты, получаем искомый одночлен $5a^3$.
Проверим: $(5a^3)^2 = 5^2 \cdot (a^3)^2 = 25 \cdot a^{3 \cdot 2} = 25a^6$.
Ответ: $5a^3$.

2) Представим выражение $0,81m^8n^{12}$ в виде квадрата одночлена.
Для коэффициента: $\sqrt{0,81} = 0,9$.
Для переменной $m$: показатель степени 8 делим на 2, получаем $m^{8/2} = m^4$.
Для переменной $n$: показатель степени 12 делим на 2, получаем $n^{12/2} = n^6$.
Таким образом, искомый одночлен — это $0,9m^4n^6$.
Проверим: $(0,9m^4n^6)^2 = 0,9^2 \cdot (m^4)^2 \cdot (n^6)^2 = 0,81 \cdot m^{4 \cdot 2} \cdot n^{6 \cdot 2} = 0,81m^8n^{12}$.
Ответ: $0,9m^4n^6$.

3) Представим выражение $\frac{49}{225}p^{10}c^{14}$ в виде квадрата одночлена.
Для коэффициента-дроби: $\sqrt{\frac{49}{225}} = \frac{\sqrt{49}}{\sqrt{225}} = \frac{7}{15}$.
Для переменной $p$: показатель степени 10 делим на 2, получаем $p^{10/2} = p^5$.
Для переменной $c$: показатель степени 14 делим на 2, получаем $c^{14/2} = c^7$.
Собираем одночлен: $\frac{7}{15}p^5c^7$.
Проверим: $(\frac{7}{15}p^5c^7)^2 = (\frac{7}{15})^2 \cdot (p^5)^2 \cdot (c^7)^2 = \frac{49}{225} \cdot p^{5 \cdot 2} \cdot c^{7 \cdot 2} = \frac{49}{225}p^{10}c^{14}$.
Ответ: $\frac{7}{15}p^5c^7$.

4) Представим выражение $0,01x^2y^8z^{24}$ в виде квадрата одночлена.
Для коэффициента: $\sqrt{0,01} = 0,1$.
Для переменной $x$: показатель степени 2 делим на 2, получаем $x^{2/2} = x^1 = x$.
Для переменной $y$: показатель степени 8 делим на 2, получаем $y^{8/2} = y^4$.
Для переменной $z$: показатель степени 24 делим на 2, получаем $z^{24/2} = z^{12}$.
Итоговый одночлен: $0,1xy^4z^{12}$.
Проверим: $(0,1xy^4z^{12})^2 = 0,1^2 \cdot x^2 \cdot (y^4)^2 \cdot (z^{12})^2 = 0,01x^2y^{4 \cdot 2}z^{12 \cdot 2} = 0,01x^2y^8z^{24}$.
Ответ: $0,1xy^4z^{12}$.

9. Представьте выражение в виде куба одночлена стандартного вида:

1) $27b^3 = (\underline{\hspace{3em}})^3$

2) $-125a^6b^9 = (\underline{\hspace{3em}})^3$

3) $1000m^{18}n^{30}p^{24} = (\underline{\hspace{3em}})^3$

Чтобы представить выражение в виде куба одночлена стандартного вида, необходимо найти такой одночлен, который при возведении в третью степень (в куб) даст исходное выражение. Для этого мы будем использовать свойство степени $(abc)^n = a^n b^n c^n$ и $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ в обратном порядке. Это означает, что нам нужно найти кубический корень из числового коэффициента и разделить показатель каждой степени на 3.

Рассмотрим выражение $27b^3$. Нам нужно найти одночлен $X$, такой что $X^3 = 27b^3$.

Для этого найдем кубический корень из числового коэффициента и каждой переменной в степени:

• Кубический корень из 27: $\sqrt[3]{27} = 3$, так как $3^3 = 27$.
• Кубический корень из $b^3$: $\sqrt[3]{b^3} = b^{3/3} = b^1 = b$.

Объединив результаты, получаем одночлен $3b$.

Проверим: $(3b)^3 = 3^3 \cdot b^3 = 27b^3$.

Ответ: $3b$

Рассмотрим выражение $-125a^6b^9$. Нам нужно найти одночлен $Y$, такой что $Y^3 = -125a^6b^9$.

Найдем кубический корень из каждого множителя:

• Кубический корень из -125: $\sqrt[3]{-125} = -5$, так как $(-5)^3 = -125$.
• Для переменной $a^6$: показатель степени делится на 3, $6 \div 3 = 2$, так что получаем $a^2$.
• Для переменной $b^9$: показатель степени делится на 3, $9 \div 3 = 3$, так что получаем $b^3$.

Собирая все части вместе, получаем одночлен $-5a^2b^3$.

Проверим: $(-5a^2b^3)^3 = (-5)^3 \cdot (a^2)^3 \cdot (b^3)^3 = -125 \cdot a^{2 \cdot 3} \cdot b^{3 \cdot 3} = -125a^6b^9$.

Ответ: $-5a^2b^3$

Рассмотрим выражение $1000m^{18}n^{30}p^{24}$. Нам нужно найти одночлен $Z$, такой что $Z^3 = 1000m^{18}n^{30}p^{24}$.

Найдем кубический корень из каждого множителя:

• Кубический корень из 1000: $\sqrt[3]{1000} = 10$, так как $10^3 = 1000$.
• Для переменной $m^{18}$: показатель степени делится на 3, $18 \div 3 = 6$, получаем $m^6$.
• Для переменной $n^{30}$: показатель степени делится на 3, $30 \div 3 = 10$, получаем $n^{10}$.
• Для переменной $p^{24}$: показатель степени делится на 3, $24 \div 3 = 8$, получаем $p^8$.

Объединяя все, получаем одночлен $10m^6n^{10}p^8$.

Проверим: $(10m^6n^{10}p^8)^3 = 10^3 \cdot (m^6)^3 \cdot (n^{10})^3 \cdot (p^8)^3 = 1000 \cdot m^{6 \cdot 3} \cdot n^{10 \cdot 3} \cdot p^{8 \cdot 3} = 1000m^{18}n^{30}p^{24}$.

Ответ: $10m^6n^{10}p^8$

10. Упростите выражение.

1) $ (-3a^2b)^3 \cdot a^2bc^5 = $

2) $ (-(-2m^4)^2)^3 \cdot \frac{1}{4}a^2 = $

3) $ 2,16x^6y^3 \cdot \left(-\frac{5}{6}x^4y^5\right)^3 = $

4) $ \left(-\frac{1}{3}ab^2c\right)^3 \cdot \left(-1\frac{1}{2}a^2c\right)^2 = $

1) Для упрощения выражения $(-3a^2b)^3 \cdot a^2bc^5$ выполним следующие действия.
Сначала возведем в степень первый множитель, используя свойство степени произведения $(xyz)^n = x^n y^n z^n$ и свойство степени степени $(x^m)^n = x^{mn}$:
$(-3a^2b)^3 = (-3)^3 \cdot (a^2)^3 \cdot b^3 = -27a^6b^3$.
Теперь умножим полученный результат на второй множитель:
$(-27a^6b^3) \cdot (a^2bc^5)$.
Сгруппируем коэффициенты и переменные с одинаковыми основаниями и применим свойство произведения степеней $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$:
$-27 \cdot (a^6 \cdot a^2) \cdot (b^3 \cdot b^1) \cdot c^5 = -27 \cdot a^{6+2} \cdot b^{3+1} \cdot c^5 = -27a^8b^4c^5$.
Ответ: $-27a^8b^4c^5$.

2) Для упрощения выражения $(-(-2m^4)^2)^3 \cdot \frac{1}{4}a^2$ будем действовать по порядку выполнения операций, начиная с самых внутренних скобок.
Сначала возведем в квадрат выражение в самых внутренних скобках:
$(-2m^4)^2 = (-2)^2 \cdot (m^4)^2 = 4m^8$.
Подставим результат в исходное выражение:
$(-(4m^8))^3 \cdot \frac{1}{4}a^2 = (-4m^8)^3 \cdot \frac{1}{4}a^2$.
Теперь возведем в куб первый множитель:
$(-4m^8)^3 = (-4)^3 \cdot (m^8)^3 = -64m^{24}$.
Наконец, умножим полученные выражения:
$-64m^{24} \cdot \frac{1}{4}a^2 = (-\frac{64}{4})m^{24}a^2 = -16m^{24}a^2$.
Ответ: $-16m^{24}a^2$.

3) Для упрощения выражения $2,16x^6y^3 \cdot (-\frac{5}{6}x^4y^5)^3$ выполним следующие шаги.
Сначала возведем в куб второй множитель:
$(-\frac{5}{6}x^4y^5)^3 = (-\frac{5}{6})^3 \cdot (x^4)^3 \cdot (y^5)^3 = -\frac{125}{216}x^{12}y^{15}$.
Теперь умножим первый множитель на полученный результат. Для удобства представим десятичное число 2,16 в виде обыкновенной дроби: $2,16 = \frac{216}{100}$.
$\frac{216}{100}x^6y^3 \cdot (-\frac{125}{216}x^{12}y^{15})$.
Перемножим коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями:
$(\frac{216}{100} \cdot -\frac{125}{216}) \cdot (x^6 \cdot x^{12}) \cdot (y^3 \cdot y^{15})$.
Сократим дробь $\frac{216}{216}$, получим:
$-\frac{125}{100} \cdot x^{6+12} \cdot y^{3+15} = -\frac{5}{4}x^{18}y^{18}$.
Ответ: $-\frac{5}{4}x^{18}y^{18}$.

4) Для упрощения выражения $(-\frac{1}{3}ab^2c)^3 \cdot (-1\frac{1}{2}a^2c)^2$ упростим каждый множитель по отдельности.
Упростим первый множитель:
$(-\frac{1}{3}ab^2c)^3 = (-\frac{1}{3})^3 \cdot a^3 \cdot (b^2)^3 \cdot c^3 = -\frac{1}{27}a^3b^6c^3$.
Упростим второй множитель. Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $-1\frac{1}{2} = -\frac{3}{2}$.
$(-\frac{3}{2}a^2c)^2 = (-\frac{3}{2})^2 \cdot (a^2)^2 \cdot c^2 = \frac{9}{4}a^4c^2$.
Теперь перемножим полученные выражения:
$(-\frac{1}{27}a^3b^6c^3) \cdot (\frac{9}{4}a^4c^2)$.
Сгруппируем и перемножим коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями:
$(-\frac{1}{27} \cdot \frac{9}{4}) \cdot (a^3 \cdot a^4) \cdot b^6 \cdot (c^3 \cdot c^2) = -\frac{9}{27 \cdot 4} \cdot a^{3+4} \cdot b^6 \cdot c^{3+2}$.
Сократим коэффициент $-\frac{9}{108}$ на 9:
$-\frac{1}{12}a^7b^6c^5$.
Ответ: $-\frac{1}{12}a^7b^6c^5$.

10. Найдите координаты точек пересечения прямой $0,4x + 0,7y = 28$ с осями координат.

Для нахождения координат точек пересечения прямой с осями координат необходимо поочередно приравнять к нулю координаты $x$ и $y$.

Пересечение с осью абсцисс (осью Ox)

Точка, лежащая на оси абсцисс, имеет ординату (координату $y$) равную нулю. Подставим $y=0$ в уравнение прямой $0.4x + 0.7y = 28$:

$0.4x + 0.7 \cdot 0 = 28$

$0.4x = 28$

Теперь найдем значение $x$:

$x = \frac{28}{0.4} = \frac{280}{4} = 70$

Следовательно, точка пересечения с осью Ox имеет координаты $(70; 0)$.

Ответ: $(70; 0)$.

Пересечение с осью ординат (осью Oy)

Точка, лежащая на оси ординат, имеет абсциссу (координату $x$) равную нулю. Подставим $x=0$ в уравнение прямой $0.4x + 0.7y = 28$:

$0.4 \cdot 0 + 0.7y = 28$

$0.7y = 28$

Теперь найдем значение $y$:

$y = \frac{28}{0.7} = \frac{280}{7} = 40$

Следовательно, точка пересечения с осью Oy имеет координаты $(0; 40)$.

Ответ: $(0; 40)$.

11. При каком значении $a$ точка $M (3 - a; 2a)$ принадлежит графику уравнения $4x - 5y = 33$?

Решение.

Подставим координаты точки $M$ в данное уравнение:

Решим полученное уравнение:

Подставим координаты точки М в данное уравнение:

Условие, что точка $M(3 - a; 2a)$ принадлежит графику уравнения $4x - 5y = 33$, означает, что ее координаты $x = 3 - a$ и $y = 2a$ должны удовлетворять этому уравнению. Подставим эти выражения вместо $x$ и $y$ в данное уравнение:

$4(3 - a) - 5(2a) = 33$

Решим полученное уравнение:

Мы получили линейное уравнение с одной переменной $a$. Решим его по шагам:

1. Раскроем скобки в левой части уравнения:

$12 - 4a - 10a = 33$

2. Приведем подобные слагаемые:

$12 - 14a = 33$

3. Перенесем число 12 из левой части в правую, изменив его знак на противоположный:

$-14a = 33 - 12$

$-14a = 21$

4. Чтобы найти $a$, разделим обе части уравнения на -14:

$a = \frac{21}{-14}$

5. Сократим полученную дробь на 7:

$a = -\frac{3}{2}$

6. Представим ответ в виде десятичной дроби:

$a = -1.5$

Таким образом, при $a = -1.5$ точка М будет иметь координаты $M(3 - (-1.5); 2 \cdot (-1.5))$, то есть $M(4.5; -3)$, и эти координаты удовлетворяют исходному уравнению: $4 \cdot 4.5 - 5 \cdot (-3) = 18 + 15 = 33$.

Ответ: $a = -1.5$