Страница 44 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Мерзляк, Полонский

4. Решите уравнение:

1) $10 - (7 - 4x - x^2) = x^2 + 8x - 9$;

Решение.

Ответ:

2) $5y^3 - (6y + 1) - (2y + 5y^3) = 19.$

1) $10 - (7 - 4x - x^2) = x^2 + 8x - 9$

Сначала раскроем скобки в левой части уравнения. Так как перед скобкой стоит знак минус, все знаки внутри скобок меняются на противоположные:

$10 - 7 + 4x + x^2 = x^2 + 8x - 9$

Упростим левую часть, выполнив вычитание:

$3 + 4x + x^2 = x^2 + 8x - 9$

Теперь перенесем все слагаемые с переменной $x$ в правую часть, а числовые слагаемые — в левую часть уравнения. При переносе слагаемого из одной части в другую его знак меняется на противоположный.

$3 + 9 = x^2 - x^2 + 8x - 4x$

Приведем подобные слагаемые в обеих частях. Слагаемые $x^2$ и $-x^2$ в правой части взаимно уничтожаются.

$12 = 4x$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 4:

$x = \frac{12}{4}$

$x = 3$

Ответ: $3$

2) $5y^3 - (6y + 1) - (2y + 5y^3) = 19$

Раскроем скобки. Поскольку перед обеими скобками стоит знак минус, знаки всех слагаемых внутри них меняются на противоположные:

$5y^3 - 6y - 1 - 2y - 5y^3 = 19$

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения. Слагаемые $5y^3$ и $-5y^3$ взаимно уничтожаются.

$(5y^3 - 5y^3) + (-6y - 2y) - 1 = 19$

$0 - 8y - 1 = 19$

$-8y - 1 = 19$

Перенесем число -1 в правую часть уравнения, изменив его знак на плюс:

$-8y = 19 + 1$

$-8y = 20$

Чтобы найти $y$, разделим обе части уравнения на -8:

$y = \frac{20}{-8}$

Сократим дробь на 4 и вынесем знак минус:

$y = -\frac{5}{2}$

Представим ответ в виде десятичной дроби:

$y = -2.5$

Ответ: $-2.5$

5. Заполните пропуск так, чтобы образовалось тождество:

1) $10a^2 - 4ab + b^2 + (\text{_______________}) = 3a^2 + ab - 2b^2$;

2) $10a^2 - 4ab + b^2 - (\text{_______________}) = 3a^2 + ab - 2b^2$.

1) Обозначим искомый многочлен в скобках как $M$. Исходное тождество имеет вид: $10a^2 - 4ab + b^2 + M = 3a^2 + ab - 2b^2$.
Чтобы найти неизвестное слагаемое $M$, нужно из суммы ($3a^2 + ab - 2b^2$) вычесть известное слагаемое ($10a^2 - 4ab + b^2$):
$M = (3a^2 + ab - 2b^2) - (10a^2 - 4ab + b^2)$
Раскроем скобки. Так как перед второй скобкой стоит знак минус, все знаки слагаемых в ней меняются на противоположные:
$M = 3a^2 + ab - 2b^2 - 10a^2 + 4ab - b^2$
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$M = (3a^2 - 10a^2) + (ab + 4ab) + (-2b^2 - b^2)$
$M = -7a^2 + 5ab - 3b^2$
Ответ: $-7a^2 + 5ab - 3b^2$

2) Обозначим искомый многочлен в скобках как $N$. Исходное тождество имеет вид: $10a^2 - 4ab + b^2 - N = 3a^2 + ab - 2b^2$.
Чтобы найти вычитаемое $N$, нужно из уменьшаемого ($10a^2 - 4ab + b^2$) вычесть разность ($3a^2 + ab - 2b^2$):
$N = (10a^2 - 4ab + b^2) - (3a^2 + ab - 2b^2)$
Раскроем скобки, изменив знаки слагаемых во второй скобке на противоположные:
$N = 10a^2 - 4ab + b^2 - 3a^2 - ab + 2b^2$
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$N = (10a^2 - 3a^2) + (-4ab - ab) + (b^2 + 2b^2)$
$N = 7a^2 - 5ab + 3b^2$
Ответ: $7a^2 - 5ab + 3b^2$

6. Найдите значение выражения $4x^2 - 7x - (3 - 6x^2 - (10x - 3x^2))$, если $x = -2$.

Решение.

Упростим данное выражение:

$4x^2 - 7x - (3 - 6x^2 - (10x - 3x^2))=$

Упростим данное выражение:

Чтобы найти значение выражения, сначала упростим его, последовательно раскрывая скобки, начиная с самых внутренних.

Исходное выражение: $4x^2 - 7x - (3 - 6x^2 - (10x - 3x^2))$

1. Раскроем внутренние скобки $-(10x - 3x^2)$, поменяв знаки у слагаемых внутри них:

$4x^2 - 7x - (3 - 6x^2 - 10x + 3x^2)$

2. Приведем подобные слагаемые внутри оставшихся скобок:

$3 - 6x^2 - 10x + 3x^2 = 3 + (-6x^2 + 3x^2) - 10x = 3 - 3x^2 - 10x$

Теперь выражение выглядит так:

$4x^2 - 7x - (3 - 3x^2 - 10x)$

3. Раскроем последние скобки, снова меняя знаки у всех слагаемых внутри них на противоположные:

$4x^2 - 7x - 3 + 3x^2 + 10x$

4. Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(4x^2 + 3x^2) + (-7x + 10x) - 3 = 7x^2 + 3x - 3$

Теперь, когда выражение упрощено, подставим в него значение $x = -2$:

$7x^2 + 3x - 3 = 7(-2)^2 + 3(-2) - 3$

Выполним вычисления, соблюдая порядок действий (сначала возведение в степень, затем умножение, затем сложение и вычитание):

$7 \cdot 4 + 3 \cdot (-2) - 3 = 28 - 6 - 3 = 22 - 3 = 19$

Ответ: 19

21. Составьте уравнение, график которого изображён на рисунке.

Решение.

$y = \frac{1}{2}x - 2$

График, изображенный на рисунке, является прямой линией. Уравнение прямой в общем виде записывается как $y = kx + b$, где $k$ — это угловой коэффициент (тангенс угла наклона прямой к оси $x$), а $b$ — это ордината точки пересечения прямой с осью $y$.

Найдем коэффициент $b$.
Коэффициент $b$ соответствует значению $y$ при $x=0$. Из графика видно, что прямая пересекает ось ординат (ось $y$) в точке $(0, -2)$. Следовательно, $b = -2$.

Найдем угловой коэффициент $k$.
Для нахождения коэффициента $k$ выберем на графике две точки с целочисленными координатами. Удобно взять точку пересечения с осью $y$, назовем ее A, и точку пересечения с осью $x$, назовем ее B.
Координаты точки A: $(0, -2)$.
Координаты точки B: $(4, 0)$.

Угловой коэффициент $k$ можно вычислить по формуле: $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

Подставим координаты наших точек в формулу: $k = \frac{0 - (-2)}{4 - 0} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ или $0.5$.

Составим уравнение прямой.
Теперь, зная значения $k = 0.5$ и $b = -2$, подставим их в общее уравнение прямой $y = kx + b$. Получаем искомое уравнение: $y = 0.5x - 2$.

Ответ: $y = 0.5x - 2$

1. Заполните пропуски.

1) Если требуется найти _____________ нескольких уравнений, то говорят, что надо решить систему уравнений.

2) Решением системы уравнений с двумя переменными называют _____________

______________

3) Решить систему уравнений – это значит ________________

______________

4) Суть графического метода решения системы уравнений состоит в следующем:

• построить на одной координатной плоскости ___________________

______________;

• найти _____________

______________;

• _____________ и будут

искомыми решениями.

5) Если одно из уравнений системы не имеет решений, то вся система _____________

______________.

6) Если каждое уравнение системы линейных уравнений имеет решения и графиком одного из уравнений является вся плоскость, то система имеет ______________

______________.

7) Если графиками уравнений, входящих в систему линейных уравнений, являются прямые, то количество решений этой системы зависит от ______________:

______________

а) если прямые _____________, то система имеет единственное решение;

б) если прямые _____________, то система имеет бесконечно много решений;

в) если прямые _____________, то система решений не имеет.

1) Если требуется найти общие решения нескольких уравнений, то говорят, что надо решить систему уравнений.
Ответ: общие решения.

2) Решением системы уравнений с двумя переменными называют пару значений переменных, которая обращает каждое уравнение системы в верное числовое равенство.
Ответ: пару значений переменных, которая обращает каждое уравнение системы в верное числовое равенство.

3) Решить систему уравнений — это значит найти все её решения или доказать, что решений нет.
Ответ: найти все её решения или доказать, что решений нет.

4) Суть графического метода решения систем уравнений состоит в следующем:
• построить на одной координатной плоскости графики каждого из уравнений системы;
• найти координаты точек пересечения этих графиков;
• координаты этих точек и будут искомыми решениями.
Ответ: графики каждого из уравнений системы; координаты точек пересечения этих графиков; координаты этих точек.

5) Если одно из уравнений системы не имеет решений, то вся система не имеет решений.
Ответ: не имеет решений.

6) Если каждое уравнение системы линейных уравнений имеет решения и графиком одного из уравнений является вся плоскость, то система имеет бесконечно много решений.
Ответ: бесконечно много решений.

7) Если графиками уравнений, входящих в систему линейных уравнений, являются прямые, то количество решений этой системы зависит от взаимного расположения этих прямых:
а) если прямые пересекаются, то система имеет единственное решение;
б) если прямые совпадают, то система имеет бесконечно много решений;
в) если прямые параллельны, то система решений не имеет.
Ответ: взаимного расположения этих прямых; а) пересекаются; б) совпадают; в) параллельны.