Страница 37 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Мерзляк, Полонский

15. Сколькими нулями оканчивается значение выражения $6^{10} \cdot 15^9$?

Чтобы определить, сколькими нулями оканчивается значение выражения, необходимо найти, сколько раз число 10 является его множителем. Каждый ноль на конце числа образуется произведением множителей 2 и 5 ($10 = 2 \cdot 5$). Следовательно, количество нулей равно минимальному из показателей степеней простых множителей 2 и 5 в разложении данного числа.

Рассмотрим выражение $6^{10} \cdot 15^9$.

Сначала разложим основания степеней (числа 6 и 15) на простые множители:

$6 = 2 \cdot 3$

$15 = 3 \cdot 5$

Теперь подставим эти разложения в исходное выражение:

$6^{10} \cdot 15^9 = (2 \cdot 3)^{10} \cdot (3 \cdot 5)^9$

Используем свойство степени произведения $(ab)^n = a^n b^n$, чтобы раскрыть скобки:

$(2^{10} \cdot 3^{10}) \cdot (3^9 \cdot 5^9)$

Сгруппируем множители с одинаковыми основаниями и применим свойство произведения степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$2^{10} \cdot (3^{10} \cdot 3^9) \cdot 5^9 = 2^{10} \cdot 3^{10+9} \cdot 5^9 = 2^{10} \cdot 3^{19} \cdot 5^9$

Итак, каноническое разложение числа на простые множители имеет вид $2^{10} \cdot 5^9 \cdot 3^{19}$.

Теперь сравним показатели степеней у множителей 2 и 5. Показатель степени у двойки равен 10, а у пятерки — 9. Количество пар $(2 \cdot 5)$, которые можно составить, определяется наименьшим из этих показателей.

$\min(10, 9) = 9$

Это означает, что мы можем сформировать 9 множителей, равных 10. Следовательно, значение выражения будет оканчиваться на 9 нулей.

Ответ: 9

16. Какой цифрой оканчивается значение выражения $23^6 + 11^8$?

Чтобы определить, какой цифрой оканчивается значение выражения $23^6 + 11^8$, необходимо найти последнюю цифру каждого слагаемого по отдельности, а затем найти последнюю цифру их суммы.

Определение последней цифры $23^6$

Последняя цифра степени числа зависит только от последней цифры его основания. Следовательно, последняя цифра числа $23^6$ будет такой же, как и у числа $3^6$.

Рассмотрим последовательность последних цифр степеней числа 3:
$3^1 = 3$ (оканчивается на 3)
$3^2 = 9$ (оканчивается на 9)
$3^3 = 27$ (оканчивается на 7)
$3^4 = 81$ (оканчивается на 1)
$3^5 = 243$ (оканчивается на 3)

Мы видим, что последние цифры образуют цикл длиной 4: (3, 9, 7, 1). Чтобы найти последнюю цифру $3^6$, мы можем определить, на каком месте в цикле она находится. Для этого разделим показатель степени 6 на длину цикла 4:
$6 \div 4 = 1$ с остатком 2.
Остаток 2 означает, что последняя цифра $3^6$ будет соответствовать второму элементу в цикле, то есть 9.
Таким образом, число $23^6$ оканчивается на цифру 9.

Определение последней цифры $11^8$

Аналогично, последняя цифра $11^8$ совпадает с последней цифрой $1^8$.
Любая натуральная степень числа, оканчивающегося на 1, всегда будет оканчиваться на 1.
Например, $11^2 = 121$.
Следовательно, число $11^8$ оканчивается на цифру 1.

Нахождение последней цифры суммы

Теперь, чтобы найти последнюю цифру суммы $23^6 + 11^8$, сложим последние цифры каждого слагаемого:
Последняя цифра суммы = последняя цифра от (последняя цифра $23^6$ + последняя цифра $11^8$).
Это будет последняя цифра от суммы $9 + 1 = 10$.
Последняя цифра числа 10 – это 0.

Ответ: 0.

1. Заполните пропуски.

1) Одночленом называют выражение, представляющее собой ______________

2) Одночлен, содержащий только ________________, отличный от _______________, стоящий _________________, а остальные множители — степени ___________________, называют ______________ стандартным видом одночлена.

3) Число ______________, а также одночлены, тождественно равные _____________, называют нуль-одночленами.

4) Коэффициентом одночлена называют ______________

5) Одночлены, имеющие _____________, называют подобными.

6) Степенью одночлена называют ______________

Степень одночлена, который является числом, отличным от _______________, считают равной _______________.

1) Одночленом называют выражение, представляющее собой произведение чисел, переменных и их степеней.

Ответ: произведение чисел, переменных и их степеней.

2) Одночлен, содержащий только один числовой множитель, отличный от нуля, стоящий на первом месте, а остальные множители — степени различных переменных, называют стандартным видом одночлена.

Ответ: один числовой множитель, нуля, на первом месте, различных переменных.

3) Число $0$, а также одночлены, тождественно равные нулю, называют нуль-одночленами.

Ответ: $0$, нулю.

4) Коэффициентом одночлена называют числовой множитель одночлена, записанного в стандартном виде.

Ответ: числовой множитель одночлена, записанного в стандартном виде.

5) Одночлены, имеющие одинаковую буквенную часть, называют подобными.

Ответ: одинаковую буквенную часть.

6) Степенью одночлена называют сумму показателей степеней всех входящих в него переменных.

Степень одночлена, который является числом, отличным от нуля, считают равной нулю.

Ответ: сумму показателей степеней всех входящих в него переменных; нуля, нулю.

6. Подчеркните уравнения, графики которых проходят через точку $M (-1; 5)$.

1) $9x - 0,2y = -10;$

2) $0,3x + 0,4y = 2,3;$

3) $7x + 10y = 42;$

4) $\frac{1}{3}x + \frac{1}{15}y = 0.$

Чтобы определить, проходит ли график уравнения через точку $M(-1; 5)$, необходимо подставить координаты этой точки ($x = -1$ и $y = 5$) в каждое из уравнений. Если в результате подстановки получается верное числовое равенство, то график данного уравнения проходит через указанную точку.

1) $9x - 0,2y = -10$
Подставим значения $x = -1$ и $y = 5$ в уравнение:
$9 \cdot (-1) - 0,2 \cdot 5 = -9 - 1 = -10$
Получили верное равенство: $-10 = -10$.
Следовательно, график этого уравнения проходит через точку $M$.
Ответ: проходит.

2) $0,3x + 0,4y = 2,3$
Подставим значения $x = -1$ и $y = 5$ в уравнение:
$0,3 \cdot (-1) + 0,4 \cdot 5 = -0,3 + 2 = 1,7$
Получили неверное равенство: $1,7 \neq 2,3$.
Следовательно, график этого уравнения не проходит через точку $M$.
Ответ: не проходит.

3) $7x + 10y = 42$
Подставим значения $x = -1$ и $y = 5$ в уравнение:
$7 \cdot (-1) + 10 \cdot 5 = -7 + 50 = 43$
Получили неверное равенство: $43 \neq 42$.
Следовательно, график этого уравнения не проходит через точку $M$.
Ответ: не проходит.

4) $\frac{1}{3}x + \frac{1}{15}y = 0$
Подставим значения $x = -1$ и $y = 5$ в уравнение:
$\frac{1}{3} \cdot (-1) + \frac{1}{15} \cdot 5 = -\frac{1}{3} + \frac{5}{15} = -\frac{1}{3} + \frac{1}{3} = 0$
Получили верное равенство: $0 = 0$.
Следовательно, график этого уравнения проходит через точку $M$.
Ответ: проходит.

В задании требуется подчеркнуть уравнения, графики которых проходят через точку $M(-1; 5)$. На основании проверки это уравнения 1) и 4).

7. Выразите из данного уравнения переменную $x$ через переменную $y$ и найдите какие-нибудь два решения этого уравнения:

1) $x + 6y = 10;$

2) $3x - 7y = 1.$

1) $x + 6y = 10$

Чтобы выразить переменную $x$ через переменную $y$, необходимо изолировать $x$ в левой части уравнения. Для этого перенесем слагаемое $6y$ в правую часть уравнения, изменив его знак на противоположный:

$x = 10 - 6y$

Теперь, когда у нас есть формула для $x$, мы можем найти решения уравнения, подставляя различные значения для $y$ и вычисляя соответствующие значения $x$.

Найдем первое решение.
Пусть $y = 1$. Подставим это значение в нашу формулу:
$x = 10 - 6 \cdot 1 = 10 - 6 = 4$.
Таким образом, одна пара решений — это $(4; 1)$.

Найдем второе решение.
Пусть $y = 2$. Подставим это значение:
$x = 10 - 6 \cdot 2 = 10 - 12 = -2$.
Таким образом, вторая пара решений — это $(-2; 2)$.

Ответ: $x = 10 - 6y$; два решения уравнения: $(4; 1)$ и $(-2; 2)$.

2) $3x - 7y = 1$

Чтобы выразить переменную $x$, сначала перенесем слагаемое $-7y$ в правую часть уравнения, поменяв знак:

$3x = 1 + 7y$

Теперь разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на 3:

$x = \frac{1 + 7y}{3}$

Теперь найдем два решения. Для удобства будем подбирать такие значения $y$, при которых числитель $(1 + 7y)$ будет делиться на 3 без остатка, чтобы получить целые значения $x$.

Найдем первое решение.
Попробуем $y = 2$. Подставим это значение в формулу:
$x = \frac{1 + 7 \cdot 2}{3} = \frac{1 + 14}{3} = \frac{15}{3} = 5$.
Таким образом, первая пара решений — это $(5; 2)$.

Найдем второе решение.
Попробуем $y = 5$. Подставим это значение:
$x = \frac{1 + 7 \cdot 5}{3} = \frac{1 + 35}{3} = \frac{36}{3} = 12$.
Таким образом, вторая пара решений — это $(12; 5)$.

Ответ: $x = \frac{1 + 7y}{3}$; два решения уравнения: $(5; 2)$ и $(12; 5)$.

8. Постройте график уравнения:

1) $4x - y = 2$;

2) $5x - 2y = 3.$

Решение.

1) Графиком этого уравнения является

прямая. Поэтому для построения

графика найдём координаты

двух любых её точек.

2)

1) Графиком уравнения $4x - y = 2$ является прямая, так как это линейное уравнение с двумя переменными. Для построения прямой достаточно найти координаты двух любых точек, удовлетворяющих этому уравнению.

Для удобства выразим $y$ через $x$:

$y = 4x - 2$

Теперь найдём координаты двух точек, составив таблицу значений:

• При $x = 0$, $y = 4 \cdot 0 - 2 = -2$. Получаем точку А(0; -2).
• При $x = 1$, $y = 4 \cdot 1 - 2 = 2$. Получаем точку B(1; 2).

Отметим точки A(0; -2) и B(1; 2) на координатной плоскости и проведём через них прямую. Эта прямая и будет являться графиком уравнения $4x - y = 2$.

Ответ: График уравнения $4x - y = 2$ – это прямая, проходящая через точки (0; -2) и (1; 2).

2) Уравнение $5x - 2y = 3$ также является линейным, следовательно, его графиком будет прямая. Найдем две точки для её построения.

Выразим $y$ из уравнения:

$-2y = 3 - 5x$

$2y = 5x - 3$

$y = \frac{5x - 3}{2}$ или $y = 2.5x - 1.5$

Подберем значения $x$ так, чтобы было удобно вычислить $y$.

• При $x = 1$, $y = \frac{5 \cdot 1 - 3}{2} = \frac{2}{2} = 1$. Получаем точку C(1; 1).
• При $x = 3$, $y = \frac{5 \cdot 3 - 3}{2} = \frac{15 - 3}{2} = \frac{12}{2} = 6$. Получаем точку D(3; 6).

Построим на координатной плоскости точки C(1; 1) и D(3; 6) и проведём через них прямую. Это и будет график уравнения $5x - 2y = 3$.

Ответ: График уравнения $5x - 2y = 3$ – это прямая, проходящая через точки (1; 1) и (3; 6).