Страница 35 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Мерзляк, Полонский

5. Представьте в виде степени с основанием с выражение:

1) $(c^4)^6 = $

2) $(((c^2)^5)^7 = $

3) $(c^3)^2 \cdot (c^9)^4 = $

Для решения этой задачи мы будем использовать свойства степеней.

1) $(c^4)^6$

Для упрощения этого выражения воспользуемся свойством возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. В данном случае основание $a=c$, показатель $m=4$, а показатель $n=6$.

Перемножим показатели степеней:
$(c^4)^6 = c^{4 \cdot 6} = c^{24}$

Ответ: $c^{24}$

2) $((c^2)^5)^7$

Здесь мы также используем свойство возведения степени в степень, применяя его последовательно. Правило можно обобщить: $((a^m)^n)^k = a^{m \cdot n \cdot k}$. Основание $a=c$, а показатели степеней равны 2, 5 и 7.

Перемножим все показатели:
$((c^2)^5)^7 = c^{2 \cdot 5 \cdot 7} = c^{10 \cdot 7} = c^{70}$

Ответ: $c^{70}$

3) $(c^3)^2 \cdot (c^9)^4$

В этом выражении нужно применить два свойства степеней: возведение степени в степень и умножение степеней с одинаковым основанием.

Шаг 1: Упростим каждый множитель, используя правило $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
Первый множитель: $(c^3)^2 = c^{3 \cdot 2} = c^6$.
Второй множитель: $(c^9)^4 = c^{9 \cdot 4} = c^{36}$.

Шаг 2: Теперь выражение имеет вид $c^6 \cdot c^{36}$. Применим свойство умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

Сложим показатели степеней:
$c^6 \cdot c^{36} = c^{6+36} = c^{42}$

Ответ: $c^{42}$

6. Впишите в пустую клетку число так, чтобы получилось тождество:

1) $a^{80} = (a^{10})^{\Box}$

2) $a^{80} = (a^{16})^{\Box}$

3) $a^{80} = (a^{\Box})^{20}$

Для решения всех подпунктов используется свойство возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. Согласно этому свойству, чтобы равенство было тождеством, произведение показателей степеней в правой части должно быть равно показателю степени в левой части.

1) $a^{80} = (a^{10})^{\square}$

Пусть число в пустой клетке равно $x$. Тогда равенство примет вид: $a^{80} = (a^{10})^x$.
Применяя свойство степени, получаем: $a^{80} = a^{10 \cdot x}$.
Чтобы равенство было верным, показатели степеней должны быть равны:
$80 = 10 \cdot x$
Отсюда находим $x$:
$x = \frac{80}{10} = 8$
Ответ: 8

2) $a^{80} = (a^{16})^{\square}$

Пусть число в пустой клетке равно $x$. Тогда равенство примет вид: $a^{80} = (a^{16})^x$.
Применяя свойство степени, получаем: $a^{80} = a^{16 \cdot x}$.
Приравниваем показатели степеней:
$80 = 16 \cdot x$
Отсюда находим $x$:
$x = \frac{80}{16} = 5$
Ответ: 5

3) $a^{80} = (a^{\square})^{20}$

Пусть число в пустой клетке равно $x$. Тогда равенство примет вид: $a^{80} = (a^x)^{20}$.
Применяя свойство степени, получаем: $a^{80} = a^{x \cdot 20}$.
Приравниваем показатели степеней:
$80 = x \cdot 20$
Отсюда находим $x$:
$x = \frac{80}{20} = 4$
Ответ: 4

7. Представьте степень в виде произведения степеней:

1) $(a^2b^3)^5 = $

2) $(mn^4k^6)^2 = $

3) $(-p^7c^3)^6 = $

1) $(a^2b^3)^5$

Для решения этой задачи необходимо использовать два основных свойства степеней:
1. Свойство возведения произведения в степень: чтобы возвести произведение в степень, нужно каждый множитель возвести в эту степень. Формула: $(xy)^n = x^n y^n$.
2. Свойство возведения степени в степень: при возведении степени в степень основание оставляют тем же, а показатели перемножают. Формула: $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$.

Сначала применим свойство возведения произведения в степень к выражению $(a^2b^3)^5$:
$(a^2b^3)^5 = (a^2)^5 \cdot (b^3)^5$

Теперь, используя свойство возведения степени в степень, упростим каждый множитель:
$(a^2)^5 = a^{2 \cdot 5} = a^{10}$
$(b^3)^5 = b^{3 \cdot 5} = b^{15}$

Соединив результаты, получаем итоговое выражение в виде произведения степеней: $a^{10}b^{15}$.

Ответ: $a^{10}b^{15}$

2) $(mn^4k^6)^2$

Для выражения $(mn^4k^6)^2$ применяются те же свойства. Важно учесть, что переменная $m$ без указанного показателя степени равна $m$ в первой степени, то есть $m = m^1$.

Возводим каждый множитель в скобках в квадрат:
$(mn^4k^6)^2 = (m^1)^2 \cdot (n^4)^2 \cdot (k^6)^2$

Далее, для каждого основания перемножаем показатели степеней:
$m^{1 \cdot 2} \cdot n^{4 \cdot 2} \cdot k^{6 \cdot 2} = m^2 n^8 k^{12}$

Ответ: $m^2n^8k^{12}$

3) $(-p^7c^3)^6$

В выражении $(-p^7c^3)^6$ знак минус можно рассматривать как отдельный множитель $-1$. Таким образом, выражение можно переписать в виде $((-1) \cdot p^7 \cdot c^3)^6$.

Возводим каждый из трех множителей в шестую степень:
$(-p^7c^3)^6 = (-1)^6 \cdot (p^7)^6 \cdot (c^3)^6$

Вычисляем значение каждого компонента:
- Множитель $(-1)$ возводится в четную степень 6, поэтому результат будет положительным: $(-1)^6 = 1$.
- Для $(p^7)^6$ применяем правило возведения степени в степень: $p^{7 \cdot 6} = p^{42}$.
- Аналогично для $(c^3)^6$: $c^{3 \cdot 6} = c^{18}$.

Перемножаем полученные результаты:
$1 \cdot p^{42} \cdot c^{18} = p^{42}c^{18}$

Ответ: $p^{42}c^{18}$

8. Упростите выражение:

1) $(-2b^8)^2 = (-2)^2 \cdot (b^8)^2 = 4b^{16}$

2) $(-4xy^5)^3 = $

3) $(-a^3)^7 = $

4) $(0,3m^9n^{12})^4 = $

1) Для упрощения выражения $(-2b^8)^2$ используется свойство возведения произведения в степень, которое гласит $(xy)^n = x^n y^n$, и свойство возведения степени в степень: $(x^m)^n = x^{mn}$. Каждый множитель в скобках, $-2$ и $b^8$, возводится в квадрат.
$(-2b^8)^2 = (-2)^2 \cdot (b^8)^2$
Далее вычисляем каждую часть:
$(-2)^2 = 4$
$(b^8)^2 = b^{8 \cdot 2} = b^{16}$
Соединив результаты, получаем: $4 \cdot b^{16} = 4b^{16}$.
Ответ: $4b^{16}$.

2) Чтобы упростить выражение $(-4xy^5)^3$, необходимо возвести в третью степень каждый множитель, находящийся в скобках: коэффициент $-4$, переменную $x$ и переменную $y^5$.
$(-4xy^5)^3 = (-4)^3 \cdot x^3 \cdot (y^5)^3$
Теперь вычислим значение каждого множителя:
$(-4)^3 = -64$
$x^3$ остается без изменений.
Применяя свойство возведения степени в степень, получаем: $(y^5)^3 = y^{5 \cdot 3} = y^{15}$.
Объединяем результаты: $-64 \cdot x^3 \cdot y^{15} = -64x^3y^{15}$.
Ответ: $-64x^3y^{15}$.

3) Для упрощения выражения $(-a^3)^7$ мы возводим в седьмую степень каждый множитель. Выражение можно представить как произведение $-1$ и $a^3$.
$(-a^3)^7 = (-1 \cdot a^3)^7 = (-1)^7 \cdot (a^3)^7$
Вычисляем каждую часть:
$(-1)^7 = -1$, так как при возведении $-1$ в нечетную степень результат всегда $-1$.
$(a^3)^7 = a^{3 \cdot 7} = a^{21}$, согласно свойству возведения степени в степень.
Перемножаем полученные значения: $-1 \cdot a^{21} = -a^{21}$.
Ответ: $-a^{21}$.

4) Чтобы упростить выражение $(0,3m^9n^{12})^4$, возводим в четвертую степень каждый множитель внутри скобок: коэффициент $0,3$, переменную $m^9$ и переменную $n^{12}$.
$(0,3m^9n^{12})^4 = (0,3)^4 \cdot (m^9)^4 \cdot (n^{12})^4$
Вычисляем значение для каждого множителя по отдельности:
$(0,3)^4 = 0,3 \cdot 0,3 \cdot 0,3 \cdot 0,3 = 0,0081$
$(m^9)^4 = m^{9 \cdot 4} = m^{36}$ (по свойству возведения степени в степень).
$(n^{12})^4 = n^{12 \cdot 4} = n^{48}$ (по тому же свойству).
Собираем все вместе: $0,0081 \cdot m^{36} \cdot n^{48} = 0,0081m^{36}n^{48}$.
Ответ: $0,0081m^{36}n^{48}$.

9. Подчеркните выражения, тождественно равные выражению $a^2$.

1) $(-a)^2$

2) $-(-a)^2$

3) $-(-a^2)$

Чтобы определить, какие из предложенных выражений тождественно равны выражению $a^2$, необходимо упростить каждое из них, используя правила алгебраических преобразований.

1) Рассмотрим выражение $(-a)^2$. Возведение в квадрат означает умножение выражения само на себя: $(-a)^2 = (-a) \cdot (-a)$. Произведение двух отрицательных чисел является положительным числом, поэтому: $(-1 \cdot a) \cdot (-1 \cdot a) = (-1)^2 \cdot a^2 = 1 \cdot a^2 = a^2$. Следовательно, выражение $(-a)^2$ тождественно равно $a^2$.
Ответ: тождественно равно $a^2$.

2) Рассмотрим выражение $-(-a)^2$. В этом выражении сначала выполняется операция возведения в степень, так как она имеет более высокий приоритет, чем унарный минус снаружи скобок. Из пункта 1 мы знаем, что $(-a)^2 = a^2$. Подставим это значение обратно в исходное выражение: $-(-a)^2 = -(a^2) = -a^2$. Выражение $-a^2$ не равно $a^2$ (за исключением случая, когда $a=0$), следовательно, они не являются тождественно равными.
Ответ: не тождественно равно $a^2$.

3) Рассмотрим выражение $-(-a^2)$. Это выражение представляет собой раскрытие скобок, перед которыми стоит знак минус. По правилу, минус на минус дает плюс: $-(-a^2) = a^2$. Следовательно, выражение $-(-a^2)$ тождественно равно $a^2$.
Ответ: тождественно равно $a^2$.

Таким образом, выражения, тождественно равные $a^2$, это 1) $(-a)^2$ и 3) $-(-a^2)$.

10. Подчеркните выражения, тождественно равные выражению $a^9$.

1) $(-a)^9$

2) $-(-a)^9$

3) $-(-a^3)^3$

4) $-(-(-a)^3)^3$

Чтобы найти выражения, тождественно равные $a^9$, нужно упростить каждое из предложенных выражений, применяя свойства степеней. Основные правила, которые нам понадобятся:

• При возведении отрицательного основания в нечетную степень, знак "минус" сохраняется: $(-x)^n = -x^n$, если $n$ — нечетное число.
• При возведении степени в степень, показатели перемножаются: $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$.
• Два знака "минус" подряд дают "плюс": $-(-x) = x$.

Рассмотрим каждое выражение.

1) $(-a)^9$
Показатель степени 9 является нечетным числом, поэтому знак "минус" можно вынести из-под знака степени.
$(-a)^9 = -a^9$.
Это выражение не равно $a^9$.
Ответ: не равно $a^9$.

2) $-(-a)^9$
Сначала упростим выражение в скобках. Так как 9 — нечетное число, $(-a)^9 = -a^9$.
Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:
$-(-a)^9 = -(-a^9)$.
Два знака "минус" уничтожают друг друга, поэтому $-(-a^9) = a^9$.
Это выражение тождественно равно $a^9$.
Ответ: равно $a^9$.

3) $-(-a^3)^3$
Упростим выражение в скобках $(-a^3)^3$. Показатель степени 3 является нечетным числом, поэтому знак "минус" выносится:
$(-a^3)^3 = -(a^3)^3$.
Применяя правило возведения степени в степень, получаем:
$-(a^3)^3 = -a^{3 \cdot 3} = -a^9$.
Подставим результат в исходное выражение:
$-(-a^3)^3 = -(-a^9)$.
Два знака "минус" дают "плюс": $-(-a^9) = a^9$.
Это выражение тождественно равно $a^9$.
Ответ: равно $a^9$.

4) $-(-(-a)^3)^3$
Упростим это выражение пошагово, начиная с самых внутренних скобок.
Сначала $(-a)^3$. Так как 3 — нечетное число, $(-a)^3 = -a^3$.
Выражение принимает вид: $-(-(-a^3))^3$.
Теперь упростим то, что находится внутри внешних скобок: $-(-a^3) = a^3$.
Выражение превращается в: $-(a^3)^3$.
По правилу возведения степени в степень, $(a^3)^3 = a^{3 \cdot 3} = a^9$.
В итоге получаем: $-a^9$.
Это выражение не равно $a^9$.
Ответ: не равно $a^9$.

Таким образом, выражения, тождественно равные $a^9$, это выражения под номерами 2 и 3.

11. Заполните пропуски так, чтобы получилось тождество:

1) $a^3 b^6 = (\underline{\hspace{4em}})^3$

2) $16m^4 n^4 = (\underline{\hspace{4em}})^4$

3) $-243p^{10}k^{15} = (\underline{\hspace{4em}})-$

4) $64a^{12}b^{18}c^{30} = (\underline{\hspace{4em}})-$

1) Чтобы найти одночлен, который нужно возвести в куб, чтобы получить $a^3b^6$, необходимо извлечь корень третьей степени из данного выражения. Для этого воспользуемся свойством степени $(x^k y^l)^n = x^{kn} y^{ln}$, примененным в обратном порядке: $\sqrt[n]{x^{kn} y^{ln}} = x^k y^l$. В нашем случае $n=3$.
$\sqrt[3]{a^3b^6} = \sqrt[3]{a^3} \cdot \sqrt[3]{b^6} = a^{3/3} \cdot b^{6/3} = a^1 \cdot b^2 = ab^2$.
Таким образом, пропуск нужно заполнить одночленом $ab^2$.
Проверка: $(ab^2)^3 = a^3 \cdot (b^2)^3 = a^3 \cdot b^{2 \cdot 3} = a^3b^6$. Тождество выполняется.
Ответ: $ab^2$

2) Чтобы найти одночлен, который нужно возвести в четвертую степень, чтобы получить $16m^4n^4$, необходимо извлечь корень четвертой степени из данного выражения.
$\sqrt[4]{16m^4n^4} = \sqrt[4]{16} \cdot \sqrt[4]{m^4} \cdot \sqrt[4]{n^4}$.
Найдем корень из числового коэффициента: $\sqrt[4]{16} = 2$, так как $2^4 = 16$.
Найдем корни из переменных: $\sqrt[4]{m^4} = m^{4/4} = m$ и $\sqrt[4]{n^4} = n^{4/4} = n$.
Собираем все вместе: $2mn$.
Проверка: $(2mn)^4 = 2^4 \cdot m^4 \cdot n^4 = 16m^4n^4$. Тождество выполняется.
Ответ: $2mn$

3) В данном тождестве пропущены как основание степени, так и показатель. Чтобы их найти, проанализируем выражение $-243p^{10}k^{15}$.
Показатель степени, в которую возводится скобка, должен быть общим делителем показателей степеней переменных, то есть 10 и 15. Найдем их наибольший общий делитель: НОД(10, 15) = 5.
Проверим, можно ли представить коэффициент -243 как число, возведенное в 5-ю степень. Да, $(-3)^5 = -243$.
Значит, показатель степени равен 5. Теперь найдем основание, извлекая корень 5-й степени:
$\sqrt[5]{-243p^{10}k^{15}} = \sqrt[5]{-243} \cdot \sqrt[5]{p^{10}} \cdot \sqrt[5]{k^{15}} = -3 \cdot p^{10/5} \cdot k^{15/5} = -3p^2k^3$.
Таким образом, тождество имеет вид: $-243p^{10}k^{15} = (-3p^2k^3)^5$.
Ответ: $(-3p^2k^3)^5$

4) Здесь также необходимо найти основание и показатель степени для выражения $64a^{12}b^{18}c^{30}$.
Показатель степени должен быть общим делителем показателей 12, 18 и 30. Найдем их наибольший общий делитель: НОД(12, 18, 30) = 6.
Проверим, можно ли представить коэффициент 64 как число, возведенное в 6-ю степень. Да, $2^6 = 64$.
Значит, искомый показатель степени равен 6. Теперь найдем основание, извлекая корень 6-й степени из всего выражения:
$\sqrt[6]{64a^{12}b^{18}c^{30}} = \sqrt[6]{64} \cdot \sqrt[6]{a^{12}} \cdot \sqrt[6]{b^{18}} \cdot \sqrt[6]{c^{30}} = 2 \cdot a^{12/6} \cdot b^{18/6} \cdot c^{30/6} = 2a^2b^3c^5$.
Таким образом, тождество имеет вид: $64a^{12}b^{18}c^{30} = (2a^2b^3c^5)^6$.
Ответ: $(2a^2b^3c^5)^6$

12. Найдите значение выражения:

1) $(7^4)^5 : (7^9)^2 = 7^{20} : 7^{18} =$

2) $8^6 : 16^4 = (2^3)^6 : (2^4)^4 =$

3) $\frac{11^{16} \cdot (11^7)^3}{(11^9)^4} =$

4) $\frac{36^3 \cdot 216^2}{6^{12}} =$

5) $\frac{2^9 \cdot 5^9}{10^6} = \frac{(2 \cdot 5)^9}{10^6} =$

6) $4^{19} \cdot 0,25^{17} = 4^2 \cdot 4^{17} \cdot 0,25^{17} =$

7) $\frac{18^6}{64 \cdot 27^4} = \frac{(2 \cdot 3^2)^6}{2^6 \cdot (3^3)^4} =$

8) $\frac{24^5}{4^7 \cdot 9^2} =$

1) Для решения используем свойства степеней: возведение степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ и деление степеней с одинаковым основанием $a^m : a^n = a^{m-n}$.
$(7^4)^5 : (7^9)^2 = 7^{4 \cdot 5} : 7^{9 \cdot 2} = 7^{20} : 7^{18} = 7^{20-18} = 7^2 = 49$.
Ответ: 49

2) Представим основания 8 и 16 в виде степени числа 2: $8 = 2^3$ и $16 = 2^4$. Затем используем свойства степеней.
$8^6 : 16^4 = (2^3)^6 : (2^4)^4 = 2^{3 \cdot 6} : 2^{4 \cdot 4} = 2^{18} : 2^{16} = 2^{18-16} = 2^2 = 4$.
Ответ: 4

3) Используем свойства степеней: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.
$\frac{11^{16} \cdot (11^7)^3}{(11^9)^4} = \frac{11^{16} \cdot 11^{7 \cdot 3}}{11^{9 \cdot 4}} = \frac{11^{16} \cdot 11^{21}}{11^{36}} = \frac{11^{16+21}}{11^{36}} = \frac{11^{37}}{11^{36}} = 11^{37-36} = 11^1 = 11$.
Ответ: 11

4) Представим числа 36 и 216 как степени числа 6: $36 = 6^2$ и $216 = 6^3$.
$\frac{36^3 \cdot 216^2}{6^{12}} = \frac{(6^2)^3 \cdot (6^3)^2}{6^{12}} = \frac{6^{2 \cdot 3} \cdot 6^{3 \cdot 2}}{6^{12}} = \frac{6^6 \cdot 6^6}{6^{12}} = \frac{6^{6+6}}{6^{12}} = \frac{6^{12}}{6^{12}} = 1$.
Ответ: 1

5) Используем свойство произведения степеней с одинаковыми показателями $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$.
$\frac{2^9 \cdot 5^9}{10^6} = \frac{(2 \cdot 5)^9}{10^6} = \frac{10^9}{10^6} = 10^{9-6} = 10^3 = 1000$.
Ответ: 1000

6) Представим $4^{19}$ как $4^2 \cdot 4^{17}$ и используем свойство $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$. Также учтем, что $0.25 = \frac{1}{4}$.
$4^{19} \cdot 0.25^{17} = 4^2 \cdot 4^{17} \cdot 0.25^{17} = 4^2 \cdot (4 \cdot 0.25)^{17} = 16 \cdot (4 \cdot \frac{1}{4})^{17} = 16 \cdot 1^{17} = 16 \cdot 1 = 16$.
Ответ: 16

7) Разложим основания на простые множители: $18 = 2 \cdot 3^2$, $64 = 2^6$, $27 = 3^3$.
$\frac{18^6}{64 \cdot 27^4} = \frac{(2 \cdot 3^2)^6}{2^6 \cdot (3^3)^4} = \frac{2^6 \cdot (3^2)^6}{2^6 \cdot 3^{3 \cdot 4}} = \frac{2^6 \cdot 3^{12}}{2^6 \cdot 3^{12}} = 1$.
Ответ: 1

8) Разложим основания на простые множители: $24 = 2^3 \cdot 3$, $4 = 2^2$, $9 = 3^2$.
$\frac{24^5}{4^7 \cdot 9^2} = \frac{(2^3 \cdot 3)^5}{(2^2)^7 \cdot (3^2)^2} = \frac{(2^3)^5 \cdot 3^5}{2^{2 \cdot 7} \cdot 3^{2 \cdot 2}} = \frac{2^{15} \cdot 3^5}{2^{14} \cdot 3^4} = \frac{2^{15}}{2^{14}} \cdot \frac{3^5}{3^4} = 2^{15-14} \cdot 3^{5-4} = 2^1 \cdot 3^1 = 6$.
Ответ: 6

21. Решите уравнение:

1) $x^2 + y^2 + 10x - 8y + 41 = 0;$

Решение.

Преобразуем левую часть данного уравнения:

$x^2 + 10x + 25 + y^2 - 8y + \text{ } = 0;$

Ответ:

2) $4x^2 - 4x + y^2 = 6y - 11.$

1) $x^2 + y^2 + 10x - 8y + 41 = 0$

Для решения данного уравнения сгруппируем слагаемые с переменной $x$ и с переменной $y$ и выделим полные квадраты. Этот метод называется методом выделения полного квадрата.

Исходное уравнение: $x^2 + y^2 + 10x - 8y + 41 = 0$.

Сгруппируем члены: $(x^2 + 10x) + (y^2 - 8y) + 41 = 0$.

Чтобы выделить полный квадрат для выражения с $x$, нам нужна формула $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. У нас есть $x^2 + 10x$. Здесь $a=x$, $2ab=10x$, откуда $b=5$. Следовательно, нам нужно добавить $b^2 = 5^2 = 25$.

Чтобы выделить полный квадрат для выражения с $y$, нам нужна формула $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. У нас есть $y^2 - 8y$. Здесь $a=y$, $2ab=8y$, откуда $b=4$. Следовательно, нам нужно добавить $b^2 = 4^2 = 16$.

Заметим, что свободный член в уравнении равен $41$, и $41 = 25 + 16$. Это позволяет нам переписать уравнение, не добавляя и вычитая числа, а просто представив $41$ как сумму нужных нам слагаемых.

$(x^2 + 10x + 25) + (y^2 - 8y + 16) = 0$

Теперь мы можем свернуть выражения в скобках в полные квадраты:

$(x + 5)^2 + (y - 4)^2 = 0$

Сумма двух квадратов равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из оснований квадратов равно нулю, так как $(x+5)^2 \ge 0$ и $(y-4)^2 \ge 0$.

Таким образом, мы получаем систему из двух уравнений:

$ \begin{cases} x + 5 = 0 \\ y - 4 = 0 \end{cases} $

Решая эту систему, находим:

$x = -5$

$y = 4$

Следовательно, уравнение имеет единственное решение в виде пары чисел.

Ответ: $(-5; 4)$.

2) $4x^2 - 4x + y^2 = 6y - 11$

Сначала перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить уравнение вида $F(x, y) = 0$.

$4x^2 - 4x + y^2 - 6y + 11 = 0$

Как и в предыдущем задании, сгруппируем члены с $x$ и с $y$ и выделим полные квадраты.

$(4x^2 - 4x) + (y^2 - 6y) + 11 = 0$

Для выражения с $x$ замечаем, что $4x^2 - 4x + 1$ является полным квадратом двучлена $(2x-1)$, так как $(2x-1)^2 = (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 1 + 1^2 = 4x^2 - 4x + 1$.

Для выражения с $y$ нам нужно дополнить $y^2 - 6y$ до полного квадрата. По формуле $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$, где $a=y$ и $2ab=6y$, получаем $b=3$. Следовательно, нужно добавить $b^2=3^2=9$.

Теперь представим свободный член $11$ в виде суммы $1 + 9 + 1$. Это неверно, $1+9=10$. Представим $11$ как $1+10$ или как $1+9+1$. Давайте так: $11 = 1 + 9 + 1$ - это ошибка. Правильно: $11=1+10$. А нам нужно $1$ и $9$. Их сумма $10$. Представим $11$ как $10+1$. То есть, $11 = (1+9)+1$.

Перепишем уравнение, разбив $11$ на $1$, $9$ и $1$:

$(4x^2 - 4x + 1) + (y^2 - 6y + 9) + 1 = 0$

Свернем полные квадраты:

$(2x - 1)^2 + (y - 3)^2 + 1 = 0$

Перенесем свободный член в правую часть уравнения:

$(2x - 1)^2 + (y - 3)^2 = -1$

В левой части уравнения стоит сумма двух квадратов. Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной, то есть $(2x - 1)^2 \ge 0$ и $(y - 3)^2 \ge 0$.

Следовательно, их сумма также всегда неотрицательна: $(2x - 1)^2 + (y - 3)^2 \ge 0$.

В правой части уравнения стоит отрицательное число $-1$. Неотрицательное число не может быть равным отрицательному. Таким образом, мы пришли к противоречию.

Это означает, что данное уравнение не имеет решений в действительных числах.

Ответ: нет решений.

1. Заполните пропуски.

1) Линейным уравнением с двумя переменными называют уравнение вида , где

2) Графиком уравнения $ax + by = c$, где $b \ne 0$, является

3) Графиком уравнения $ax + by = c$, где $a$ $0$, $b$ $0$, является вертикальная прямая.

4) Графиком уравнения $ax + by = c$, где $a = b = c = 0$, является

5) Уравнение $ax + by = c$ не имеет решений, если

1) По определению, линейное уравнение с двумя переменными — это уравнение, которое можно записать в общем виде $ax + by = c$. В этом уравнении $x$ и $y$ являются переменными, а $a$, $b$ и $c$ — это заданные числа (коэффициенты). Ключевое условие, которое отличает это уравнение от уравнения с одной переменной или простого числового равенства, заключается в том, что оно должно содержать хотя бы одну из переменных. Это означает, что коэффициенты при переменных, $a$ и $b$, не могут быть равны нулю одновременно. Если бы $a=0$ и $b=0$, уравнение превратилось бы в $0=c$, что не является уравнением с переменными.
Ответ: Линейным уравнением с двумя переменными называют уравнение вида $ax + by = c$, где $x$ и $y$ — переменные, а $a, b, c$ — некоторые числа, причём хотя бы один из коэффициентов при переменных ($a$ или $b$) не равен нулю.

2) Рассмотрим уравнение $ax + by = c$. Если коэффициент $b \neq 0$, мы можем выразить переменную $y$ через $x$. Для этого перенесём слагаемое $ax$ в правую часть и разделим обе части уравнения на $b$: $by = -ax + c$ $y = (-\frac{a}{b})x + (\frac{c}{b})$ Полученное уравнение имеет вид $y = kx + m$, где $k = -a/b$ и $m = c/b$. Это каноническое уравнение прямой, которая не является вертикальной (так как для вертикальной прямой нельзя выразить $y$ через $x$).
Ответ: Графиком уравнения $ax + by = c$, где $b \neq 0$, является прямая.

3) Вертикальная прямая на координатной плоскости задаётся уравнением вида $x = k$, где $k$ — некоторое постоянное число. Это означает, что значение $x$ фиксировано, а $y$ может быть любым. Чтобы получить такое уравнение из общего вида $ax + by = c$, необходимо, чтобы слагаемое с $y$ отсутствовало. Это происходит, когда коэффициент $b = 0$. При этом, чтобы уравнение не потеряло смысл и не выродилось в $0=c$, коэффициент при $x$ должен быть отличен от нуля, то есть $a \neq 0$. В этом случае уравнение $ax + 0 \cdot y = c$ упрощается до $ax = c$, откуда $x = c/a$. Это и есть уравнение вертикальной прямой.
Ответ: Графиком уравнения $ax + by = c$, где $a \neq 0, b = 0$, является вертикальная прямая.

4) Если в уравнении $ax + by = c$ все коэффициенты равны нулю, то есть $a = 0$, $b = 0$ и $c = 0$, то уравнение принимает вид: $0 \cdot x + 0 \cdot y = 0$ Упрощая левую часть, получаем: $0 = 0$ Это тождество, то есть верное равенство, которое выполняется для абсолютно любых значений переменных $x$ и $y$. Множество всех точек $(x, y)$, для которых выполняется это равенство, и есть график уравнения. Поскольку подходят все точки, графиком является вся координатная плоскость.
Ответ: Графиком уравнения $ax + by = c$, где $a = b = c = 0$, является вся координатная плоскость.

5) Уравнение не имеет решений, если в результате преобразований оно сводится к неверному числовому равенству (противоречию). Рассмотрим, при каких условиях это происходит с уравнением $ax + by = c$. Если коэффициенты при обеих переменных равны нулю ($a=0$ и $b=0$), то левая часть уравнения обращается в ноль для любых $x$ и $y$: $0 \cdot x + 0 \cdot y = 0$ Тогда уравнение принимает вид $0 = c$. Это равенство будет неверным, если число $c$ не равно нулю ($c \neq 0$). В таком случае мы получаем противоречие (например, $0 = 5$), и, следовательно, не существует ни одной пары $(x,y)$, которая бы удовлетворяла исходному уравнению.
Ответ: Уравнение $ax + by = c$ не имеет решений, если $a = 0, b = 0$, и $c \neq 0$.