Номер 21, страница 35 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1 Мерзляк, Полонский

Рабочая тетрадь 2. Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. Параграф 24. Уравнение с двумя переменными - номер 21, страница 35.

Условие.

21. Решите уравнение:

1) $x^2 + y^2 + 10x - 8y + 41 = 0;$

Решение.

Преобразуем левую часть данного уравнения:

$x^2 + 10x + 25 + y^2 - 8y + \text{ } = 0;$

Ответ:

2) $4x^2 - 4x + y^2 = 6y - 11.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) $x^2 + y^2 + 10x - 8y + 41 = 0$

Для решения данного уравнения сгруппируем слагаемые с переменной $x$ и с переменной $y$ и выделим полные квадраты. Этот метод называется методом выделения полного квадрата.

Исходное уравнение: $x^2 + y^2 + 10x - 8y + 41 = 0$.

Сгруппируем члены: $(x^2 + 10x) + (y^2 - 8y) + 41 = 0$.

Чтобы выделить полный квадрат для выражения с $x$, нам нужна формула $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. У нас есть $x^2 + 10x$. Здесь $a=x$, $2ab=10x$, откуда $b=5$. Следовательно, нам нужно добавить $b^2 = 5^2 = 25$.

Чтобы выделить полный квадрат для выражения с $y$, нам нужна формула $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. У нас есть $y^2 - 8y$. Здесь $a=y$, $2ab=8y$, откуда $b=4$. Следовательно, нам нужно добавить $b^2 = 4^2 = 16$.

Заметим, что свободный член в уравнении равен $41$, и $41 = 25 + 16$. Это позволяет нам переписать уравнение, не добавляя и вычитая числа, а просто представив $41$ как сумму нужных нам слагаемых.

$(x^2 + 10x + 25) + (y^2 - 8y + 16) = 0$

Теперь мы можем свернуть выражения в скобках в полные квадраты:

$(x + 5)^2 + (y - 4)^2 = 0$

Сумма двух квадратов равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из оснований квадратов равно нулю, так как $(x+5)^2 \ge 0$ и $(y-4)^2 \ge 0$.

Таким образом, мы получаем систему из двух уравнений:

$ \begin{cases} x + 5 = 0 \\ y - 4 = 0 \end{cases} $

Решая эту систему, находим:

$x = -5$

$y = 4$

Следовательно, уравнение имеет единственное решение в виде пары чисел.

Ответ: $(-5; 4)$.

2) $4x^2 - 4x + y^2 = 6y - 11$

Сначала перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить уравнение вида $F(x, y) = 0$.

$4x^2 - 4x + y^2 - 6y + 11 = 0$

Как и в предыдущем задании, сгруппируем члены с $x$ и с $y$ и выделим полные квадраты.

$(4x^2 - 4x) + (y^2 - 6y) + 11 = 0$

Для выражения с $x$ замечаем, что $4x^2 - 4x + 1$ является полным квадратом двучлена $(2x-1)$, так как $(2x-1)^2 = (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 1 + 1^2 = 4x^2 - 4x + 1$.

Для выражения с $y$ нам нужно дополнить $y^2 - 6y$ до полного квадрата. По формуле $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$, где $a=y$ и $2ab=6y$, получаем $b=3$. Следовательно, нужно добавить $b^2=3^2=9$.

Теперь представим свободный член $11$ в виде суммы $1 + 9 + 1$. Это неверно, $1+9=10$. Представим $11$ как $1+10$ или как $1+9+1$. Давайте так: $11 = 1 + 9 + 1$ - это ошибка. Правильно: $11=1+10$. А нам нужно $1$ и $9$. Их сумма $10$. Представим $11$ как $10+1$. То есть, $11 = (1+9)+1$.

Перепишем уравнение, разбив $11$ на $1$, $9$ и $1$:

$(4x^2 - 4x + 1) + (y^2 - 6y + 9) + 1 = 0$

Свернем полные квадраты:

$(2x - 1)^2 + (y - 3)^2 + 1 = 0$

Перенесем свободный член в правую часть уравнения:

$(2x - 1)^2 + (y - 3)^2 = -1$

В левой части уравнения стоит сумма двух квадратов. Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной, то есть $(2x - 1)^2 \ge 0$ и $(y - 3)^2 \ge 0$.

Следовательно, их сумма также всегда неотрицательна: $(2x - 1)^2 + (y - 3)^2 \ge 0$.

В правой части уравнения стоит отрицательное число $-1$. Неотрицательное число не может быть равным отрицательному. Таким образом, мы пришли к противоречию.

Это означает, что данное уравнение не имеет решений в действительных числах.

Ответ: нет решений.