Номер 19, страница 34 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1 Мерзляк, Полонский

Параграф 24. Уравнение с двумя переменными. Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. Рабочая тетрадь 2 - номер 19, страница 34.

Условие.

19. Сумма двух двузначных чисел равна 46. Найдите эти числа, если в их записи есть три одинаковые цифры.

Решение.

Обозначим одинаковые цифры буквой $x$, а отличную от них цифру — буквой $y$. Тогда одно число имеет вид $\overline{xx}$, а другое — $\overline{xy}$ или

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Пусть искомые числа — это два двузначных числа. По условию, в их записи (всего 4 цифры) три цифры одинаковы, а одна отличается. Следуя рассуждению на изображении, обозначим три одинаковые цифры буквой $x$, а отличную от них цифру — буквой $y$.

Поскольку три из четырех цифр одинаковы, одно из чисел должно состоять из двух одинаковых цифр, то есть иметь вид $\overline{xx}$. Второе число тогда будет состоять из одной цифры $x$ и одной цифры $y$. Это означает, что для второго числа возможны два варианта записи: $\overline{xy}$ или $\overline{yx}$.

Рассмотрим каждый случай отдельно.

Случай 1: Числа имеют вид $\overline{xx}$ и $\overline{xy}$.

По условию, их сумма равна 46. Составим уравнение, представив числа в виде суммы их разрядных слагаемых: $(10x + x) + (10x + y) = 46$ $11x + 10x + y = 46$ $21x + y = 46$

Здесь $x$ и $y$ — это цифры от 0 до 9. Так как $\overline{xx}$ и $\overline{xy}$ являются двузначными числами, то $x$ не может быть равно 0. Также по условию $x \ne y$. Найдем подходящие цифры методом перебора для $x$:

- Если $x = 1$, то $21 \cdot 1 + y = 46$, откуда $y = 25$. Это значение не является цифрой.

- Если $x = 2$, то $21 \cdot 2 + y = 46$, откуда $42 + y = 46$, и $y = 4$. Это решение подходит, так как $y=4$ — это цифра и $y \ne x$ ($4 \ne 2$).

- Если $x \ge 3$, то произведение $21x$ будет больше 46, поэтому других решений в этом случае нет.

Таким образом, мы нашли первую пару чисел: первое число $\overline{xx} = 22$ и второе число $\overline{xy} = 24$. Проверка: $22 + 24 = 46$. В записи чисел 22 и 24 (цифры 2, 2, 2, 4) действительно три одинаковые цифры.

Случай 2: Числа имеют вид $\overline{xx}$ и $\overline{yx}$.

Их сумма также равна 46. Составим уравнение: $(10x + x) + (10y + x) = 46$ $11x + 10y + x = 46$ $12x + 10y = 46$

Для удобства вычислений разделим обе части уравнения на 2: $6x + 5y = 23$

Так как $\overline{xx}$ и $\overline{yx}$ — двузначные числа, обе цифры $x$ и $y$ должны быть отличны от нуля ($x \ge 1$, $y \ge 1$). Также $x \ne y$. Найдем подходящие цифры перебором:

- Если $x = 1$, то $6 \cdot 1 + 5y = 23 \implies 5y = 17$. Нет целочисленного решения для $y$.

- Если $x = 2$, то $6 \cdot 2 + 5y = 23 \implies 12 + 5y = 23 \implies 5y = 11$. Нет целочисленного решения для $y$.

- Если $x = 3$, то $6 \cdot 3 + 5y = 23 \implies 18 + 5y = 23 \implies 5y = 5 \implies y = 1$. Это решение подходит, так как $y=1$ — это цифра, $y \ne 0$ и $y \ne x$ ($1 \ne 3$).

- Если $x = 4$, то $6 \cdot 4 = 24$, что уже больше 23. Дальнейший перебор для $x$ не имеет смысла.

Таким образом, мы нашли вторую пару чисел: первое число $\overline{xx} = 33$ и второе число $\overline{yx} = 13$. Проверка: $33 + 13 = 46$. В записи чисел 33 и 13 (цифры 3, 3, 1, 3) действительно три одинаковые цифры.

Задача имеет два возможных набора чисел, удовлетворяющих всем условиям.

Ответ: искомые числа — это 22 и 24, или 13 и 33.