Номер 12, страница 31 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1 Мерзляк, Полонский

Рабочая тетрадь 2. Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. Параграф 24. Уравнение с двумя переменными - номер 12, страница 31.

Условие.

12. При каких значениях a уравнение $3x^2 + 4|y| = a - 3$:

1) имеет одно решение;

2) не имеет решений?

Ответ: 1) _____; 2) ________.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Рассмотрим данное уравнение: $3x^2 + 4|y| = a - 3$.

Левая часть уравнения, $3x^2 + 4|y|$, состоит из двух слагаемых, каждое из которых является неотрицательным при любых значениях $x$ и $y$.

Действительно, $x^2 \ge 0$, следовательно, $3x^2 \ge 0$.

Аналогично, $|y| \ge 0$, следовательно, $4|y| \ge 0$.

Сумма двух неотрицательных выражений также является неотрицательной: $3x^2 + 4|y| \ge 0$.

Минимальное значение левой части достигается тогда и только тогда, когда оба слагаемых равны нулю, то есть при $x=0$ и $y=0$. В этом случае значение выражения равно $3(0)^2 + 4|0| = 0$.

Правая часть уравнения, $a - 3$, представляет собой константу, зависящую от параметра $a$.

1) имеет одно решение

Уравнение имеет решения (пары $(x, y)$) только в том случае, если правая часть не меньше левой. Поскольку минимальное значение левой части равно 0, уравнение может иметь решения только при $a - 3 \ge 0$.

Рассмотрим симметрию решений. Если пара $(x_0, y_0)$ является решением, то:

- Пара $(-x_0, y_0)$ также является решением, так как $(-x_0)^2 = x_0^2$.

- Пара $(x_0, -y_0)$ также является решением, так как $|-y_0| = |y_0|$.

Чтобы решение было единственным, необходимо, чтобы все симметричные решения совпадали. Это возможно только в том случае, когда $x_0 = -x_0$ и $y_0 = -y_0$, что означает $x_0 = 0$ и $y_0 = 0$.

Таким образом, единственное возможное решение — это пара $(0, 0)$. Подставим эти значения в исходное уравнение, чтобы найти соответствующее значение параметра $a$:

$3(0)^2 + 4|0| = a - 3$

$0 + 0 = a - 3$

$0 = a - 3$

$a = 3$

Проверим. При $a=3$ уравнение принимает вид $3x^2 + 4|y| = 0$. Как мы уже установили, сумма двух неотрицательных слагаемых равна нулю только тогда, когда каждое из них равно нулю. То есть $3x^2=0$ и $4|y|=0$, откуда следует, что $x=0$ и $y=0$. Это и есть единственное решение.

Ответ: $a=3$

2) не имеет решений

Уравнение не будет иметь решений, если значение левой части никогда не сможет быть равным значению правой части.

Мы установили, что левая часть уравнения, $3x^2 + 4|y|$, всегда неотрицательна: $3x^2 + 4|y| \ge 0$.

Следовательно, если правая часть уравнения, $a - 3$, будет строго отрицательной, то равенство станет невозможным, и уравнение не будет иметь решений.

Найдем значения $a$, при которых правая часть отрицательна:

$a - 3 < 0$

$a < 3$

При таких значениях $a$ неотрицательное выражение $3x^2 + 4|y|$ должно равняться отрицательному числу $a-3$, что невозможно для действительных чисел $x$ и $y$.

Ответ: $a < 3$