Номер 16, страница 33 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1 Мерзляк, Полонский

Параграф 24. Уравнение с двумя переменными. Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. Рабочая тетрадь 2 - номер 16, страница 33.

Условие.

16. Найдите все пары $(x, y)$ натуральных чисел, являющиеся решениями уравнения $2x + 5y = 25$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Дано уравнение $2x + 5y = 25$. Требуется найти все решения в натуральных числах, то есть пары $(x, y)$, где $x$ и $y$ — положительные целые числа ($x \ge 1, y \ge 1$).

Для решения выразим одну из переменных через другую. Удобнее выразить $x$, так как его коэффициент 2 меньше коэффициента 5 при $y$.

$2x = 25 - 5y$

$x = \frac{25 - 5y}{2}$

Поскольку по условию $x$ и $y$ являются натуральными числами, на них накладываются следующие ограничения:

1. Так как $x \ge 1$, то и $\frac{25 - 5y}{2} \ge 1$. Умножим обе части неравенства на 2, получим $25 - 5y \ge 2$. Отсюда $23 \ge 5y$, что означает $y \le \frac{23}{5}$, или $y \le 4.6$.

2. По условию $y$ — натуральное число, значит $y \ge 1$.

3. Для того, чтобы $x$ был целым числом, числитель дроби $\frac{25 - 5y}{2}$ должен быть четным числом, то есть делиться на 2. Рассмотрим выражение в числителе: $25 - 5y$. Число 25 является нечетным. Разность двух чисел будет четной только в том случае, если оба числа имеют одинаковую четность (оба четные или оба нечетные). Следовательно, выражение $5y$ также должно быть нечетным. Произведение $5y$ будет нечетным только тогда, когда оба множителя ($5$ и $y$) являются нечетными. Так как число 5 нечетное, то и $y$ должен быть нечетным.

Итак, мы ищем натуральные числа $y$, которые удовлетворяют трем условиям одновременно: $y \ge 1$, $y \le 4.6$ и $y$ — нечетное число. Этим условиям удовлетворяют только два значения: $y = 1$ и $y = 3$.

Рассмотрим каждый из этих двух случаев:

При $y = 1$:

Подставляем это значение в формулу для $x$:

$x = \frac{25 - 5 \cdot 1}{2} = \frac{25 - 5}{2} = \frac{20}{2} = 10$.

Получили пару $(10, 1)$. Оба числа (10 и 1) являются натуральными, следовательно, эта пара является решением уравнения.

При $y = 3$:

Подставляем это значение в формулу для $x$:

$x = \frac{25 - 5 \cdot 3}{2} = \frac{25 - 15}{2} = \frac{10}{2} = 5$.

Получили пару $(5, 3)$. Оба числа (5 и 3) являются натуральными, следовательно, эта пара также является решением.

Других подходящих значений для $y$ нет, значит, мы нашли все возможные пары натуральных чисел.

Ответ: $(10, 1), (5, 3)$.