Номер 1, страница 35 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1 Мерзляк, Полонский

Параграф 25. Линейное уравнения с двумя переменными и его график. Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. Рабочая тетрадь 2 - номер 1, страница 35.

Условие.

1. Заполните пропуски.

1) Линейным уравнением с двумя переменными называют уравнение вида , где

2) Графиком уравнения $ax + by = c$, где $b \ne 0$, является

3) Графиком уравнения $ax + by = c$, где $a$ $0$, $b$ $0$, является вертикальная прямая.

4) Графиком уравнения $ax + by = c$, где $a = b = c = 0$, является

5) Уравнение $ax + by = c$ не имеет решений, если

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) По определению, линейное уравнение с двумя переменными — это уравнение, которое можно записать в общем виде $ax + by = c$. В этом уравнении $x$ и $y$ являются переменными, а $a$, $b$ и $c$ — это заданные числа (коэффициенты). Ключевое условие, которое отличает это уравнение от уравнения с одной переменной или простого числового равенства, заключается в том, что оно должно содержать хотя бы одну из переменных. Это означает, что коэффициенты при переменных, $a$ и $b$, не могут быть равны нулю одновременно. Если бы $a=0$ и $b=0$, уравнение превратилось бы в $0=c$, что не является уравнением с переменными.
Ответ: Линейным уравнением с двумя переменными называют уравнение вида $ax + by = c$, где $x$ и $y$ — переменные, а $a, b, c$ — некоторые числа, причём хотя бы один из коэффициентов при переменных ($a$ или $b$) не равен нулю.

2) Рассмотрим уравнение $ax + by = c$. Если коэффициент $b \neq 0$, мы можем выразить переменную $y$ через $x$. Для этого перенесём слагаемое $ax$ в правую часть и разделим обе части уравнения на $b$: $by = -ax + c$ $y = (-\frac{a}{b})x + (\frac{c}{b})$ Полученное уравнение имеет вид $y = kx + m$, где $k = -a/b$ и $m = c/b$. Это каноническое уравнение прямой, которая не является вертикальной (так как для вертикальной прямой нельзя выразить $y$ через $x$).
Ответ: Графиком уравнения $ax + by = c$, где $b \neq 0$, является прямая.

3) Вертикальная прямая на координатной плоскости задаётся уравнением вида $x = k$, где $k$ — некоторое постоянное число. Это означает, что значение $x$ фиксировано, а $y$ может быть любым. Чтобы получить такое уравнение из общего вида $ax + by = c$, необходимо, чтобы слагаемое с $y$ отсутствовало. Это происходит, когда коэффициент $b = 0$. При этом, чтобы уравнение не потеряло смысл и не выродилось в $0=c$, коэффициент при $x$ должен быть отличен от нуля, то есть $a \neq 0$. В этом случае уравнение $ax + 0 \cdot y = c$ упрощается до $ax = c$, откуда $x = c/a$. Это и есть уравнение вертикальной прямой.
Ответ: Графиком уравнения $ax + by = c$, где $a \neq 0, b = 0$, является вертикальная прямая.

4) Если в уравнении $ax + by = c$ все коэффициенты равны нулю, то есть $a = 0$, $b = 0$ и $c = 0$, то уравнение принимает вид: $0 \cdot x + 0 \cdot y = 0$ Упрощая левую часть, получаем: $0 = 0$ Это тождество, то есть верное равенство, которое выполняется для абсолютно любых значений переменных $x$ и $y$. Множество всех точек $(x, y)$, для которых выполняется это равенство, и есть график уравнения. Поскольку подходят все точки, графиком является вся координатная плоскость.
Ответ: Графиком уравнения $ax + by = c$, где $a = b = c = 0$, является вся координатная плоскость.

5) Уравнение не имеет решений, если в результате преобразований оно сводится к неверному числовому равенству (противоречию). Рассмотрим, при каких условиях это происходит с уравнением $ax + by = c$. Если коэффициенты при обеих переменных равны нулю ($a=0$ и $b=0$), то левая часть уравнения обращается в ноль для любых $x$ и $y$: $0 \cdot x + 0 \cdot y = 0$ Тогда уравнение принимает вид $0 = c$. Это равенство будет неверным, если число $c$ не равно нулю ($c \neq 0$). В таком случае мы получаем противоречие (например, $0 = 5$), и, следовательно, не существует ни одной пары $(x,y)$, которая бы удовлетворяла исходному уравнению.
Ответ: Уравнение $ax + by = c$ не имеет решений, если $a = 0, b = 0$, и $c \neq 0$.