Номер 20, страница 34 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1 Мерзляк, Полонский

Параграф 24. Уравнение с двумя переменными. Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. Рабочая тетрадь 2 - номер 20, страница 34.

Условие.

20. Если в некотором двузначном числе переставить цифры, то полученное число будет больше этого числа на 54. Найдите все такие числа.

Решение.

Пусть искомое число имеет $a$ десятков и $b$ единиц. Следовательно, оно равно

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение.

Пусть искомое число имеет $a$ десятков и $b$ единиц. Следовательно, оно равно $10a + b$. Поскольку это двузначное число, цифра $a$ (количество десятков) не может быть нулем, то есть $a \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$, а цифра $b$ (количество единиц) может быть любой от 0 до 9, то есть $b \in \{0, 1, ..., 9\}$.

Если переставить цифры местами, то получится новое число, в котором $b$ десятков и $a$ единиц. Его значение будет равно $10b + a$.

По условию задачи, полученное число больше исходного на 54. Это можно записать в виде уравнения:
$(10b + a) - (10a + b) = 54$

Решим это уравнение. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$10b + a - 10a - b = 54$
$9b - 9a = 54$

Разделим обе части уравнения на 9:
$b - a = 6$
Или, что то же самое, $b = a + 6$.

Это уравнение показывает, что цифра единиц $b$ должна быть на 6 больше цифры десятков $a$. Теперь найдем все возможные пары цифр $(a, b)$, которые удовлетворяют этому условию и ограничениям для цифр.
1. Если $a = 1$, то $b = 1 + 6 = 7$. Искомое число — 17. Проверяем: $71 - 17 = 54$. Подходит.
2. Если $a = 2$, то $b = 2 + 6 = 8$. Искомое число — 28. Проверяем: $82 - 28 = 54$. Подходит.
3. Если $a = 3$, то $b = 3 + 6 = 9$. Искомое число — 39. Проверяем: $93 - 39 = 54$. Подходит.

Если взять $a = 4$, то $b = 4 + 6 = 10$, что уже не является цифрой. При больших значениях $a$ значение $b$ также будет больше 9. Поэтому других решений нет.

Ответ: 17, 28, 39.