Страница 33 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Мерзляк, Полонский

11. Докажите, что значение выражения $10^n + 5$ делится нацело на 3 при любом натуральном значении $n$.

Решение.

При любом натуральном значении $n$ значение выражения $10^n$ имеет вид $1\underbrace{00...0}_{n \text{ раз}}$. Следовательно, значение выражения $10^n + 5$ имеет вид $1\underbrace{00...0}_{n-1 \text{ раз}}5$. Сумма цифр полученного числа равна

Решение:

Для доказательства того, что значение выражения $10^n + 5$ делится нацело на 3 при любом натуральном значении $n$, воспользуемся признаком делимости на 3. Согласно этому признаку, число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3. Этот метод решения как раз и предложен в условии задачи.

При любом натуральном значении $n$ число $10^n$ представляет собой единицу, за которой следует $n$ нулей (например, $10^1 = 10$, $10^2 = 100$, $10^3 = 1000$).

Следовательно, прибавив 5, мы получим число, которое будет состоять из первой цифры 1, последней цифры 5, и $n-1$ нулей между ними. Например: - при $n=1$: $10^1 + 5 = 15$ - при $n=2$: $10^2 + 5 = 105$ - при $n=3$: $10^3 + 5 = 1005$ В общем виде число можно записать как $1\underbrace{00...0}_{n-1 \text{ раз}}5$.

Теперь найдем сумму цифр этого числа. Она будет состоять из первой цифры (1), суммы $n-1$ нулей и последней цифры (5): $1 + (n-1) \cdot 0 + 5 = 1 + 0 + 5 = 6$.

Таким образом, сумма цифр числа $10^n + 5$ для любого натурального $n$ постоянна и равна 6.

Поскольку полученная сумма цифр (6) делится нацело на 3 ($6 \div 3 = 2$), то, по признаку делимости на 3, и само число $10^n + 5$ делится нацело на 3 при любом натуральном $n$.

Для полноты решения приведем еще два способа доказательства.

Способ 2: Использование сравнений по модулю.
Нам нужно доказать, что $10^n + 5$ делится на 3, то есть $10^n + 5 \equiv 0 \pmod{3}$.
Рассмотрим остатки от деления на 3 для чисел 10 и 5.
$10 = 3 \cdot 3 + 1 \implies 10 \equiv 1 \pmod{3}$.
Возводя в любую натуральную степень $n$, получаем: $10^n \equiv 1^n \equiv 1 \pmod{3}$.
$5 = 1 \cdot 3 + 2 \implies 5 \equiv 2 \pmod{3}$.
Теперь сложим эти сравнения: $10^n + 5 \equiv 1 + 2 \pmod{3}$.
$10^n + 5 \equiv 3 \pmod{3}$.
Так как $3 \equiv 0 \pmod{3}$, то и $10^n + 5 \equiv 0 \pmod{3}$. Это доказывает, что $10^n + 5$ делится на 3 без остатка.

Способ 3: Метод математической индукции.
1. База индукции: Проверим утверждение для $n=1$.
$10^1 + 5 = 15$. Число 15 делится на 3. Утверждение верно.
2. Индукционное предположение: Предположим, что утверждение верно для некоторого натурального $k$, то есть $10^k + 5$ делится на 3.
3. Индукционный шаг: Докажем, что утверждение верно и для $n=k+1$, то есть что $10^{k+1} + 5$ делится на 3.
$10^{k+1} + 5 = 10 \cdot 10^k + 5 = (9+1) \cdot 10^k + 5 = 9 \cdot 10^k + (10^k + 5)$.
В полученной сумме первое слагаемое $9 \cdot 10^k$ очевидно делится на 3, так как содержит множитель 9. Второе слагаемое $(10^k + 5)$ делится на 3 по нашему индукционному предположению. Сумма двух чисел, каждое из которых делится на 3, также делится на 3. Следовательно, $10^{k+1} + 5$ делится на 3.
По принципу математической индукции, утверждение доказано для всех натуральных $n$.

Ответ: Сумма цифр полученного числа равна $1+0+5=6$. Так как 6 делится на 3, то и само число $10^n+5$ делится на 3 при любом натуральном $n$, что и требовалось доказать.

12. Докажите, что значение выражения $4 \cdot 10^n + 2$ делится нацело на 6 при любом натуральном значении $n$.

Решение.

Для того чтобы доказать, что число делится нацело на 6, надо показать, что оно делится нацело и на 2, и на 3.

Для того чтобы доказать, что значение выражения $4 \cdot 10^n + 2$ делится нацело на 6, необходимо доказать, что оно делится нацело и на 2, и на 3, поскольку $6 = 2 \cdot 3$, а числа 2 и 3 являются взаимно простыми.

Сначала докажем делимость на 2. Выражение $4 \cdot 10^n$ является четным числом при любом натуральном $n$, так как содержит множитель 4, который делится на 2. Число 2 также является четным. Сумма двух четных чисел ($4 \cdot 10^n$ и 2) всегда является четным числом. Следовательно, значение выражения $4 \cdot 10^n + 2$ всегда четное, а значит, делится нацело на 2.

Теперь докажем делимость на 3. Воспользуемся признаком делимости на 3: число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3. Рассмотрим запись числа $4 \cdot 10^n + 2$. При любом натуральном $n$, число $10^n$ — это цифра 1, за которой следуют $n$ нулей. Соответственно, $4 \cdot 10^n$ — это цифра 4, за которой следуют $n$ нулей. Тогда число $4 \cdot 10^n + 2$ будет состоять из первой цифры 4, за ней будут следовать $n-1$ нулей, и последней цифры 2.
Например:
при $n=1$: $4 \cdot 10^1 + 2 = 42$;
при $n=2$: $4 \cdot 10^2 + 2 = 402$;
при $n=3$: $4 \cdot 10^3 + 2 = 4002$.
Сумма цифр такого числа при любом натуральном $n$ всегда будет равна $4 + 0 + \dots + 0 + 2 = 6$. Так как сумма цифр (6) делится нацело на 3, то и само число $4 \cdot 10^n + 2$ делится нацело на 3.

Поскольку мы доказали, что значение выражения $4 \cdot 10^n + 2$ делится нацело и на 2, и на 3, то оно делится и на их произведение, то есть на 6. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

16. Найдите все пары $(x, y)$ натуральных чисел, являющиеся решениями уравнения $2x + 5y = 25$.

Дано уравнение $2x + 5y = 25$. Требуется найти все решения в натуральных числах, то есть пары $(x, y)$, где $x$ и $y$ — положительные целые числа ($x \ge 1, y \ge 1$).

Для решения выразим одну из переменных через другую. Удобнее выразить $x$, так как его коэффициент 2 меньше коэффициента 5 при $y$.

$2x = 25 - 5y$

$x = \frac{25 - 5y}{2}$

Поскольку по условию $x$ и $y$ являются натуральными числами, на них накладываются следующие ограничения:

1. Так как $x \ge 1$, то и $\frac{25 - 5y}{2} \ge 1$. Умножим обе части неравенства на 2, получим $25 - 5y \ge 2$. Отсюда $23 \ge 5y$, что означает $y \le \frac{23}{5}$, или $y \le 4.6$.

2. По условию $y$ — натуральное число, значит $y \ge 1$.

3. Для того, чтобы $x$ был целым числом, числитель дроби $\frac{25 - 5y}{2}$ должен быть четным числом, то есть делиться на 2. Рассмотрим выражение в числителе: $25 - 5y$. Число 25 является нечетным. Разность двух чисел будет четной только в том случае, если оба числа имеют одинаковую четность (оба четные или оба нечетные). Следовательно, выражение $5y$ также должно быть нечетным. Произведение $5y$ будет нечетным только тогда, когда оба множителя ($5$ и $y$) являются нечетными. Так как число 5 нечетное, то и $y$ должен быть нечетным.

Итак, мы ищем натуральные числа $y$, которые удовлетворяют трем условиям одновременно: $y \ge 1$, $y \le 4.6$ и $y$ — нечетное число. Этим условиям удовлетворяют только два значения: $y = 1$ и $y = 3$.

Рассмотрим каждый из этих двух случаев:

При $y = 1$:

Подставляем это значение в формулу для $x$:

$x = \frac{25 - 5 \cdot 1}{2} = \frac{25 - 5}{2} = \frac{20}{2} = 10$.

Получили пару $(10, 1)$. Оба числа (10 и 1) являются натуральными, следовательно, эта пара является решением уравнения.

При $y = 3$:

Подставляем это значение в формулу для $x$:

$x = \frac{25 - 5 \cdot 3}{2} = \frac{25 - 15}{2} = \frac{10}{2} = 5$.

Получили пару $(5, 3)$. Оба числа (5 и 3) являются натуральными, следовательно, эта пара также является решением.

Других подходящих значений для $y$ нет, значит, мы нашли все возможные пары натуральных чисел.

Ответ: $(10, 1), (5, 3)$.

17. Найдите все пары $(x; y)$ целых чисел, являющиеся решениями уравнения $x^2 + |y| = 6$.

Для решения уравнения $x^2 + |y| = 6$ в целых числах $(x; y)$, необходимо найти все пары целых $x$ и $y$, которые удовлетворяют этому равенству.

Поскольку $x$ и $y$ по условию являются целыми числами, то $x^2$ — это неотрицательное целое число, которое является полным квадратом ($0, 1, 4, 9, \ldots$), а $|y|$ — это неотрицательное целое число ($0, 1, 2, 3, \ldots$).

Выразим $|y|$ из данного уравнения:$|y| = 6 - x^2$

Так как $|y|$ не может быть отрицательным числом, то есть $|y| \ge 0$, должно выполняться неравенство:$6 - x^2 \ge 0$$x^2 \le 6$

Теперь найдем все целые значения $x$, квадрат которых не превосходит 6. Переберем возможные значения:

• Если $x=0$, то $x^2 = 0$. $0 \le 6$ (подходит).
• Если $x=\pm 1$, то $x^2 = 1$. $1 \le 6$ (подходит).
• Если $x=\pm 2$, то $x^2 = 4$. $4 \le 6$ (подходит).
• Если $x=\pm 3$, то $x^2 = 9$. $9 > 6$ (не подходит).

Таким образом, возможные целые значения для $x$ это $0, 1, -1, 2, -2$. Рассмотрим каждый случай и найдем соответствующие значения $y$.

1. Если $x = 0$:
Подставляем в уравнение: $0^2 + |y| = 6 \implies |y| = 6$.
Отсюда $y$ может быть равен $6$ или $-6$.
Получаем две пары решений: $(0; 6)$ и $(0; -6)$.

2. Если $x = 1$ или $x = -1$:
В обоих случаях $x^2 = 1$.
Подставляем в уравнение: $1 + |y| = 6 \implies |y| = 5$.
Отсюда $y$ может быть равен $5$ или $-5$.
Получаем четыре пары решений: $(1; 5), (1; -5), (-1; 5), (-1; -5)$.

3. Если $x = 2$ или $x = -2$:
В обоих случаях $x^2 = 4$.
Подставляем в уравнение: $4 + |y| = 6 \implies |y| = 2$.
Отсюда $y$ может быть равен $2$ или $-2$.
Получаем еще четыре пары решений: $(2; 2), (2; -2), (-2; 2), (-2; -2)$.

Объединив все найденные решения, получаем полный список пар целых чисел.

Ответ: $(0; 6), (0; -6), (1; 5), (1; -5), (-1; 5), (-1; -5), (2; 2), (2; -2), (-2; 2), (-2; -2)$.

18. Покупателю надо заплатить за календарь 9 р.; у него есть только монеты по 1 р. и по 2 р. Сколькими способами он может рассчитаться за покупку без сдачи?

Для решения этой задачи нам нужно найти количество комбинаций монет номиналом 1 рубль и 2 рубля, которые в сумме дают 9 рублей.

Пусть $x$ — это количество монет достоинством в 1 рубль, а $y$ — количество монет достоинством в 2 рубля. Поскольку общая стоимость календаря составляет 9 рублей, и оплата производится без сдачи, мы можем составить следующее уравнение:

$1 \cdot x + 2 \cdot y = 9$

В этом уравнении $x$ и $y$ должны быть целыми и неотрицательными числами, так как они представляют собой количество монет.

Чтобы найти все возможные способы оплаты, мы можем последовательно перебрать все возможные значения для количества двухрублевых монет ($y$). Сумма, которую можно составить из двухрублевых монет ($2y$), не должна превышать общую сумму в 9 рублей. Отсюда следует неравенство:

$2y \le 9$, что означает $y \le 4.5$

Поскольку $y$ должно быть целым числом, его возможные значения: 0, 1, 2, 3, 4. Для каждого значения $y$ найдем соответствующее значение $x$ из уравнения $x = 9 - 2y$.

Рассмотрим каждый из этих вариантов:
• Если $y = 0$, то $x = 9 - 2 \cdot 0 = 9$. Способ 1: 9 монет по 1 рублю.
• Если $y = 1$, то $x = 9 - 2 \cdot 1 = 7$. Способ 2: 7 монет по 1 рублю и 1 монета по 2 рубля.
• Если $y = 2$, то $x = 9 - 2 \cdot 2 = 5$. Способ 3: 5 монет по 1 рублю и 2 монеты по 2 рубля.
• Если $y = 3$, то $x = 9 - 2 \cdot 3 = 3$. Способ 4: 3 монеты по 1 рублю и 3 монеты по 2 рубля.
• Если $y = 4$, то $x = 9 - 2 \cdot 4 = 1$. Способ 5: 1 монета по 1 рублю и 4 монеты по 2 рубля.

Если мы попробуем взять $y = 5$, то $2 \cdot 5 = 10$, что больше 9 рублей. Следовательно, других вариантов, где $x$ будет неотрицательным, нет.

Таким образом, существует 5 различных способов расплатиться за покупку без сдачи.

Ответ: 5