Страница 27 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Мерзляк, Полонский

20. Постройте график функции $y = 2 - |x|$.

Решение.

Если $x \ge 0$, то $y =$

Если $x < 0$, то $y =$

Решение.

Чтобы построить график функции $y = 2 - |x|$, необходимо раскрыть модуль. По определению модуля, $|x| = x$ при $x \ge 0$ и $|x| = -x$ при $x < 0$. Рассмотрим эти два случая, как предложено в условии.

Если $x \ge 0$, то $y = 2 - x$.
Графиком этой линейной функции является прямая. Поскольку мы рассматриваем случай $x \ge 0$, мы строим только часть этой прямой — луч, начинающийся на оси OY. Для построения этого луча достаточно найти координаты двух точек:
- Если $x=0$, то $y=2-0=2$. Получаем точку $(0, 2)$.
- Если $x=2$, то $y=2-2=0$. Получаем точку $(2, 0)$.

Если $x < 0$, то $y = 2 - (-x) = 2 + x$.
Это также линейная функция. На промежутке $x < 0$ ее график — луч. Он выходит из той же точки $(0, 2)$, поскольку при $x$, стремящемся к $0$ слева, значение $y$ стремится к $2$. Для построения найдем еще одну точку на этом луче:
- Если $x=-2$, то $y=2+(-2)=0$. Получаем точку $(-2, 0)$.

Итоговый график функции $y = 2 - |x|$ состоит из двух лучей, которые соединяются в точке $(0, 2)$. Построим его на координатной плоскости.

Ответ: График функции $y=2-|x|$ представлен на рисунке выше. Он состоит из двух лучей, которые выходят из общей вершины в точке $(0, 2)$ и пересекают ось абсцисс (ось ОХ) в точках $(-2, 0)$ и $(2, 0)$.

21. Постройте график функции $y = 2x + |x| - 4$.

Решение.

Решение.

Для построения графика функции $y = 2x + |x| - 4$ необходимо раскрыть модуль $|x|$.
По определению абсолютной величины (модуля), выражение $|x|$ раскрывается следующим образом:
$|x| = x$, если $x \ge 0$
$|x| = -x$, если $x < 0$
В связи с этим, мы должны рассмотреть два случая для построения графика.

1. При $x \ge 0$
В этом случае $|x| = x$, и исходная функция принимает вид:
$y = 2x + x - 4$
$y = 3x - 4$
Это линейная функция, графиком которой является прямая. Поскольку мы рассматриваем только неотрицательные значения $x$ ($x \ge 0$), то нас интересует часть этой прямой — луч, начинающийся на оси $Oy$.
Для построения этого луча найдем координаты двух точек:

• При $x=0$: $y = 3 \cdot 0 - 4 = -4$. Получаем точку $(0; -4)$.
• При $x=2$: $y = 3 \cdot 2 - 4 = 6 - 4 = 2$. Получаем точку $(2; 2)$.

Итак, для $x \ge 0$ график представляет собой луч, выходящий из точки $(0; -4)$ и проходящий через точку $(2; 2)$.

2. При $x < 0$
В этом случае $|x| = -x$, и исходная функция принимает вид:
$y = 2x + (-x) - 4$
$y = x - 4$
Это также линейная функция. Поскольку мы рассматриваем $x < 0$, то графиком будет луч, расположенный в левой полуплоскости.
Найдем координаты двух точек для построения этого луча:

• Точка излома графика находится при $x=0$. Предельное значение функции при $x$, стремящемся к 0 слева, равно $y = 0 - 4 = -4$. Точка $(0; -4)$ является общей для обоих лучей, что означает, что график является непрерывным.
• Возьмем, к примеру, $x=-3$: $y = -3 - 4 = -7$. Получаем точку $(-3; -7)$.

Итак, для $x < 0$ график представляет собой луч, выходящий из точки $(0; -4)$ и проходящий через точку $(-3; -7)$.

Построение итогового графика.
Итоговый график функции $y = 2x + |x| - 4$ состоит из двух лучей, которые соединяются в общей точке $(0; -4)$, образуя ломаную линию.
Таким образом, мы строим на координатной плоскости:
- Луч с началом в точке $(0; -4)$ и проходящий через точку $(2; 2)$.
- Луч с началом в точке $(0; -4)$ и проходящий через точку $(-3; -7)$.

Ответ: График функции представляет собой ломаную линию, состоящую из двух лучей, с общей вершиной в точке $(0; -4)$. Первый луч задается уравнением $y = 3x - 4$ при $x \ge 0$, а второй луч — уравнением $y = x - 4$ при $x < 0$.

22. Задайте формулой функцию, графиком которой является прямая, изображённая на рисунке.

Решение.

Ответ:

Решение.

График, изображенный на рисунке, является прямой. Общий вид уравнения прямой (линейной функции) — это $y = kx + b$, где $k$ — это угловой коэффициент (тангенс угла наклона прямой), а $b$ — это точка пересечения прямой с осью ординат ($Oy$).

1. Найдем коэффициент $b$. Коэффициент $b$ равен значению $y$ при $x=0$. Из графика видно, что прямая пересекает ось $Oy$ в точке с координатами $(0; 4)$. Следовательно, $b = 4$.

2. Найдем угловой коэффициент $k$. Для нахождения коэффициента $k$ выберем на прямой две точки с целочисленными координатами. Мы уже определили одну точку — $A(0; 4)$. Найдем вторую точку, например, точку пересечения с осью абсцисс ($Ox$). Прямая пересекает ось $Ox$ в точке $B(2; 0)$.
Угловой коэффициент $k$ вычисляется по формуле:
$k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
Подставим координаты точек $A(0; 4)$ и $B(2; 0)$:
$k = \frac{0 - 4}{2 - 0} = \frac{-4}{2} = -2$.

3. Запишем итоговую формулу. Теперь, зная коэффициенты $k = -2$ и $b = 4$, подставим их в общее уравнение прямой $y = kx + b$.
Получаем искомую формулу функции: $y = -2x + 4$.

Ответ: $y = -2x + 4$.